分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性探究

第３０卷第１２期（下）　２０１４年１２月　赤峰学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｆｅｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．３０Ｎｏ．１２　Ｄｅｅ．２０１４　分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性探究　冉营丽，孟琳琳　（郑州华信学院摘视　基础教学部，河南　郑州４５１１００）　要：本文针对分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性问题进行了分析，希望所得结果能够引起大家的关注和重　关键词：分数阶微分方程；积分边值；问题正解存在性　中图分类号：０１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３—２６０Ｘ（２０１４）１２—０００８—０３　０引言　我们以射线法为例进行研究，选择一个微分方程的一　般形式：　ｙ．ｔ（ｘ）＝ｆ（ｘ，Ｙ，Ｙ’），ａ≤ｘ≤ｂ　（２．１）　最近这些年，关于分数阶微分方程方面的问题逐渐成　为许多专家和学者研究的热点话题．分数阶微分方程较多的　应用在数学领域、流体流变学领域，其涉及到的理论知识十　分复杂，关于分数阶微分方程解的存在性，很多专家和学者　都进行了大量的研究和试验．　１　分数阶微分方程积分边值问题正解存在性研究的意义　上述方程边值的条件主要有三个类型，其中第一类是：　ｙ（ａ）＝ｏｔ，ｙ（ｂ）＝Ｂ　（２．２）　第二类是：　ｙ’（ａ）＝　，ｙ’（ｂ）＝ｐ　第三类是：　（２．３）　在现实的问题当中，微分方程能够更准确的将化学、物　理、生物等方面的问题做出合理的描述，而且在科学研究等　领域，分数阶微分方程也具有十分广泛的应用．举个例子来　ｏｔｏｙ（ａ）一Ｏｔｌｙ’（ａ）＝０【，Ｂｏｙ（ｂ）＋ｐｌｙ’（ｂ）＝ｐ　其中，Ｏｔｏｅｔｌ≥０，　ｌ≥Ｏ，ｃｔｏ＋ｏｔ０≠０，１３ｏ１３ｌ≠０．　（２．４）　说，在对扩音器进行反馈和分析的时候，都能够应用到这种　理论【Ｉ】．但是对于边值问题的提出和研究，主要是从应用物理　和应用数学等领域得出的，除此之外，在热传导领域和流体　学等领域对于分数阶方程积分边值的研究和应用也十分广　泛．　２微分方程边值问题的研究　运用数值法对边值问题进行计算求解，求解之前需要　在理论上进行验证，也就是说对边值问题的解是否合理进　行解答．如果边值问题的解不存在，那么采用数值方法来对　数据进行计算是没有意义的．所以，下面给出一个边值问题　存在唯一解的充分条件，如下：　方程（２．１）中的函数ｆ及　０Ｖ　，　在区域　２．１边值问题的提出　给出一个微分方程：ｆ（ｘ，Ｙ，Ｙ’，…，ｙ　＝０　ａＶ　Ｑ＝｛（ｘ，Ｙ，Ｙ’）Ｉａ≤ｘ≤ｂ，一∞＜ｙ，Ｙ’＜。。）　在区间Ｉ上的点　。，Ｏｆ．２，…，０【ｋ及值ｙ（ａ　，ｙ　ｈ　…，ｙ㈣　（　Ｏ（ｉ＝ｌ　２一，ｋ，ｋ＞１），对该方程设定一些条件，对于这个方程　在Ｉ上面满足这些条件时候的边值和界值进行求解．　当该区间Ｉ的端点是Ｋ＝２，０【　、０【：时，就能够证明，此　内连续，并且　（ｉ）　ｏｙ　＞ｏ，Ｖ（ｘ，ｙ，ｙ・）∈ｎ；　（ｉｉ）　ｏｙ　在Ｑ内有界，即存在常数Ｍ，使得　时两点的边值问题．关于边值问题的提出涉及到了诸多的领　域和学科，不仅仅与物理学有着密切的关系，而且也涉及到　ｆ　ｌ　Ｖ（ｘ’ｙＹ’Ｙ１）∈Ｑ，　则边值问题（２．１）一（２．４）的解存在且唯一【引．　３预备知识　了材料力学、流体力学和波动力学．此外，边值问题在现代控　制理论这一学科当中也具有重要的研究价值．常微分方程能　够用来求解和进行解析的类型非常少，基于这点原因对边　值问题进行求解也是具有相当难度的，但是为了适应实际　问题的需要，采用近似求解也是一种不得已的方法．因此，我　们首先需要回答这样一些问题：边值问题的解是否存在？是　否惟一？这就是边值问题的基本论题［２１．　２．２分数阶微分方程积分边值问题的可解性研究　假如二阶线性常微分方程边值存在解，并且是唯一正　解，并定义出现行算子Ｌ：Ｌｙ＝一Ｙ”＋ｐ（ｘ）ｙ’＋ｑ（ｘ）ｙ．　这样我们可以进行考虑，需要对两个线性微分方程初　值问题进行合理的解释：　』Ｌｕ＝ｒ（ｘ），ａ≤ｘ　和ｆｈ＝０，　≤ｘ　【ｕ（ａ）＝ａ，　Ｕ’（ａ）＝Ｏ　ｔｖ（ａ）＝０，ｖ　（ａ）＝１　设ｕ（ｘ）和ｖ（ｘ）分别为上述两个问题的解，那么就不难验证　一８一　ｙ（ｘ）＝ｕ（ｘ）＋　ｖ（ｘ）是更上一个问题的解，其中ｖ　）≠ｏ．　这样，通过以上的验证和描述，我们可以采用基于叠加　原理的打靶式方法进行研究，该方法的主要步骤如下：　１．根据边值问题构造相应的初值问题；　２．分别求出两个初值问题的解，这里面为ｕ（ｘ）和ｖ（ｘ）；　３．以上述问题为例，将ｕ（ｘ）和ｖ（ｘ）进行组合，最终所得到　的函数ｙ（ｘ）就是上面边值问题的解．　ｕ（ｘ）和ｖ（ｘ）都是二阶常微分方程的初值问题，因此在进　行求解的时候需要将变量代换引入进来，将这个问题进行　转化，转化为与该方程相适应的一阶方程的初值问题就能　够更好地解决．如令：　Ｕ１＝Ｕ，Ｕ２＝ＵｔＶＩ＝Ｖ，Ｖ２＝Ｖｔ　，则该式可以写成　ｆｕ　ｕｚ　｛１１２’＝ｐ（ｘ）ｕ２＋ｑ（ｘ）ｕｌ一　，　ｌ　Ｕｌ（ａ）＝ａ，ｕ２（ａ）＝０　该式可以写成　ｆＩ　ＶＩＩ＝Ｖ２　｛Ｖ２’＝ｐ（ｘ）ｖｚ＋ｑ（ｘ）ｖｌ，　ｉｖ　（ａ）＝Ｏ，ｖ２（ａ）＝ｌ　这样就可以利用Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ方法求解．　对于更为普遍的线性边值问题：　｝Ｌｙ；－ｙ”＋ｐ（ｘ）ｙ’＋ｑ（ｘ）ｙ＝ｒ（ｘ），ａ≤ｘ≤ｂ　｛　ｏｙ（ａ）－ｃｑｙ’（ａ）＝０【，ｃｔＯＣｔｌ＞Ｉ０　，　ｌ￣ｏｙ（ｂ）＋１３ＩＹ’（ｂ）＝Ｂ，ｐ　１≥０，ｌａｏｌ＋ｌ￣ｄ≠０　用基于叠加原理的打靶法的步骤为：　１．再重新构造一个方程，创造出两个与之相适应的处置　问题：　ｆＬｕ＝ｒ（ｘ）．ａ≤ｘ≤ｂ　ｔ　ｕ（ａ）＝－ｃ１０【，ａｔ（ａ）＝－ｃｏａ　和　ｆＬｖ＝０，ａ≤ｘ≤ｂ　【ｖ（ａ）＝ａ１，Ｖｔ（ａ）＝ａ０　其中Ｃ。和ｃ。是满足条件ｃｌｏｔ１一ｃ１（ｘｏ＝ｌ的两个任意的　常量　．　２．对初值问题进行求解，设它们的解分别为ｕ（ｘ）和ｖ（ｘ）．　３．将ｕ（ｘ）和ｖ（ｘ）做线性组合ｙ（ｘ）－ｕ（ｘ）＋壁　ｖ（ｘ），　由此计算得到的函数ｙ（ｘ）就是这个方程的解．　此外，再讲一个特殊方程的边值问题，我们将其称之为　固有值问题，也有人称之为本证值问题．这是一个含参数　齐次边值的问题，也就是说在这个方程里，无论是边界条件　还是微分方程都是齐次的，所以保证齐次边值的问题具有　非零解数值　，就是特征值，对这些非零解本身就是一个特　征函数，也可以称其为特征向量．　常型斯图姆一刘维尔问题（简称ＳＬ问题）是最典型的特　征值问题：　［ｐ（ｘ）誓　ｒ（ｘ）一ｑ（ｘ）］）ｒ＝０　ｙ’（ａ）一ｈｙ（ａ）＝０　ｙｔ（ｂ）－Ｈｙ（ｂ）＝０　在上述式子中，（０【，ｂ）是一个有限区间，１，ｐ　，ｑ（ｘ），１／ｒ（ｘ）　是实的有界连续函数．　常型问题一般都存在数不清的特征值，以　０＜　。＜　…　表示，每一个　，都有一个对应的非零解　（ｘ），我们将　其称之为特征函数．｛ｙ　（ｘ）｝组成（　，ｂ）上的完备正交系．对任意　函数ｆ（ｘ），有特征展开式　ｆ（ｘ）＝　（ｘ）　式中　是ｆ（ｘ）的广义傅里叶系数，等于ｆ（ｘ）与ｙ　（ｘ）的乘积　沿（　，ｂ）的积分．当ｆ（ｘ）满足边界条件，且ｆ｝＿（ｘ）绝对连续时，展　开式一致收敛．当ｆ（ｘ）平方可积时，展开式平方平均收敛．　斯图姆曾经证明了一个一般ｌ生的比较定理：如果ｇ（ｘ）＜Ｇ　（ｘ）永恒存在，那么ｙｔ．＋ｇ（ｘ）ｙ＝０任意一个解的相邻两个点之间　都必然会有ｚ”＋Ｇ（ｘ）ｚ＝Ｏ的任一解的一个零点．因此证明出　ｓＬ问题的第ｎ＋１个特征函数ｙｎ（Ｘ）在（　，ｂ）中恰有ｎ个零点，　这就是我们所说的振动定理．比较定理与解的振动性质的研　究，近年来已被推广到偏微分方程领域．　当（ｏｆ．，ｂ）不是有限区间，或者１／ｐ（ｘ），ｑ（ｘ），１／ｒ（ｘ）中至少有一　个不是有界连续时，就称微分方程为奇型ｓＬ方程．这样边界　条件的体罚和展开形式相对来说就较为复杂．按照Ｈ．夕　尔　的理论来说，对于某个复数　，微分方程的任何解都在ｂ点　邻域平方可积，这样一来，ｂ属于圆款；否则称ｂ属于点款．而　前面的方程，对于ｂ点来说，需要提线性边界条件；而对于　后面的方程，只提平方可积条件就可以了．若　点为奇点，　也有同样的分类．当区间仅有一端为奇点，特征展开式为　ｘ）＝ｆ　Ｆ（ｋ）ｃｐ（ｘ，　ｄｐ（　，　式中　ｒ　ｂ　Ｆ（　＝ｌ　ｆ（Ｉ）‘Ｐ　（ｔ，ｋ）ｄｔ（１ｃ＝１，２），　ｘ，　）为满足　处边界条件的解；ｐ　为不减函数，　称为谱函数．当ｐ（　为纯阶梯函数时，展开式成为前述的级　数形式（１　ｏ），当ｐ　没有跳点，展开式成为广义傅里叶积分目．　对于区间两端都为奇点的情形，展开式为　ｆ　（　，Ｆ２（　］［辜塞：　］　ｒ　ｈ　Ｆ（　）＝Ｊ　ｆ（ｔ）ｑ￣ｋ（ｔ，ｋ）ｄｔ（１【＝１，２），　式中【ｐ　为谱矩阵；巾－，巾：　４实际应用　４．１　当ｆ（ｘ）为ｐｍ（Ｘ）ｅ　与ｅ　ｌ（ｘ）ｃｏｓｔｏｘ＋ｐ　（ｘ）ｓｉｍｏｘ］时，特解的　形式及解法．　一９一　当ｆ（ｘ）为ｐｍ（ｘ）ｅ　与ｅ　【ｐＩ（ｘ）ｃｏｓ（０ｘ＋ｐ　（ｘ）ｓｉｎ￣ｘ］时特解的不　同形式．　一ｆ（ｘ）＝ｅ　Ｊ　ｌ　ｆＩ　ｓｉｎｘｃ０ｓｘ・ｅ　Ｊ　ｅｏｓｘｄｘ　ｄｘ＋ｃ　ｌｌ　…Ｌ　Ｊ　Ｊ　二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为　）ｒｔｔ＋ＰＹ’＋ｑｙ＝ｆ（ｌｘ），　＝ｅ—　１（ｓｉｎｘ－１）ｅ　【＋Ｃ］＝ｓｉｎｘ－ｌ＋Ｃｅ－￣，　又因为ｆ（ｘ）　１，代人上式，Ｉ得Ｃ＝２，因此所求函数　ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋２ｅ－￣－Ｉ．　这里我们只讨论ｆ（ｘ）为ｐｍ（ｘ）ｅ　与ｅ　。（ｘ）ｃｏｓｏ￣ｘ＋ｐ　（ｘ）　ｓｉｎ￣ｘ］型．　３．已知ｆ（ｌ０）＝１及ｆ’（ｘ）＝１＋Ｉ　［６ｓｉｎ２【＿ｆ（ｔ）】ｄｔ，求ｆ（ｘ）．　解：方程两边对ｘ求导，得ｒｔ（ｘ）＝６ｓｉｎＺｘ—ｆ（ｌｘ），即　ｆ”（ｘ）＋ｆ（ｘ）＝３（１－ｃｏｓ２ｘ）。　４．１．１　ｆ（ｘ）＝ｐ　（ｘ）ｅ　利用待定系数法求通解．　据分析可设特解ｙ　＝Ｑ　（】　，推得ｙ＊＝ｘｋＱｍ（ｘ）ｅ　其中Ｑ　（ｘ）是与Ｐ　同次多项式．ｋ按　是特征方程的单根、重根，不　此为二阶常系数线性齐次方程。其对应齐次方程的特　是根可取为１、２．０．　例：求下列方程的特解或通解．　１、ｙ＂－２ｙ’３ｙ＝３ｘ＋ｌ，（特解）ｙ　＝一ｘ＋｝．　２，ｙ”一５ｙ’＋６ｙ＝ｘｅ￣，（通解））ｒ＝ｃｌｅ矗＋ｃ２ｅ　（ｘ２＋２ｘ）ｅ　．　４．１．２　ｆ（ｌｘ）：ｅ　ｌ（Ｘ）ＣＯＳＯＪＸ＋ｐ　（ｘ）ｓｉｎｏＪｘ］　利用上面结果及欧拉公式、性质推得　＝ｘｋｅ￣ＩＲ２　￣（ｘ）ｃｏｓｏＪｘ＋Ｒ　回ｌ（ｘ）ｓｉｎｏＪｘ］．　（１）当　＋ｉ‘０是特征根时，ｋ＝ｌ，　（２）当　＋ｉｔｏ不是特征根时，ｋ＝０．　例：求下列微分方程的特解　ｙ”＋ｙ＝ｘｃｏｓ２ｘ．　解：　过程略．特解为ｙ车一手ｃｏｓ２ｘ＋争ｓｉｎ２ｘ．　１．曲线上每点（ｘ，ｙ）处的切线在Ｙ轴上的截距为２ｘｄ，且　曲线过点（１，２），求此曲线方程．　解：设曲线的切线方程为Ｙ－ｙ－－ｙ’（Ｘ－ｘ），　令Ｘ＝Ｏ，于是切线在ｙ轴上的截距为－ｘｙ’＋ｙ，从而　－ｘｙ‘＋ｙ＝２ｘｙ２，　即ｙ＇－｝ｙ＝一２ｙ２　为贝努利方程，设ｕ＝ｙｑ，上方程化为ＵＩ＋　ｕ＝２，　其通解为，ｕ：ｅ　ｌＩ　（　Ｊ　ｊ　÷２　ｄｅ　　ｄｘ＋Ｃ））：＝ｘ】【＋　所以上：ｘ＋　’　，　Ｙ　ｘ　因曲线过（１，２），代入上式，求得ｃ—　１，于是所求的曲　线方程为上：　一　．　Ｙ　二ｘ　２．已知ｆ（ｘ）为可微函数，且ｆ（ｘ）＝１　Ｊ。［ｓｉｎｔｃｏｓｔ—ｆ（ｔ）ｃｏｓｔ］ｄｔ，　求ｆ（ｘ１．　解：方程两边对ｘ求导，得　ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘｃｑｓｘ－ｆ（ｘ）ｅｏｓｘ，　为一阶线性微分方程，解得　一ｌ０一　征方程为１＂２＋１＝０，特征根为ｒ。卢±ｉ，所以其对应齐次方程的　通解为　ｙ＝Ｃｌｃｏｓｘ＋Ｃ２ｓｉｎｘ，　且非齐次方程的右端函数为３（１－ｃｏｓ２ｘ），２ｉ不是特征　根，所以非齐次方程的特解可设为ｙ　＝Ａ＋Ｂｃｏｓ２ｘ＋ｃｓｉｎ２ｘ，代　人原方程，比较系数得Ａ＝３，Ｂ＝Ｉ，Ｃ＝０，所以　ｙ　＝３＋ｃｏｓ２ｘ，　于是原方程所求通解为　ｆ（ｘ）：ｙ＝ｙ＋ｙ木＝Ｃ１ｃ０ｓｘ＋Ｃ２吕ｉｎｘ＋３＋ｃｏｓ２ｘ，　又因ｆ（ｌｏ）：１，ｆＩ（０）＝１，代入上式，求得Ｃ　＝－４，Ｃ２＝１，因此所　求函数为ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－４ｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋３．　５结语　在本研究当中，笔者主要针对微分方程边值问题正解　的存在性问题进行了分析，同时研究了积分边值问题的非　线性方程分数阶正解的存在性，从中可以得出，积分边值问　题至少会存在一个正解，并且这是一个充分条件．通过本研　究的论证可以得出，分数阶微分方程是存在正解的，但是关　于正解的求法还需要更多的学者进行讨论和研究．　参考文献：　［１］高雷阜，王金希，吴洪涛．Ｂａｎａｃｈ空间中一类变分包含解的　存在性和唯一性Ⅱ】．辽宁工程技术大学学报（自然科学　版），２０１２，１４（０２）：１５４—１５５．　（２］夏顺友，黄南京．到锥度量空间上的半连续集值映射的连　续性Ⅱ】．辽宁工程技术大学学报（自然科学版），２０１２，１１　（０２）：２５－２６．　［３　ＪＨｕｓｓｅｉｎ　Ａ．Ｈ．　Ｓａｌｅｍ．ＦＲＡｃＴＩｏＮＡＬ　ＯＲＤＥＲ　ＢｏＩ　）ＡＲ．Ｙ　ＶＡＩ　Ｉ庖　ｐＲｏＢＬＥＭ　ＷＩＴＨ　ＩＮＴＥ—　ＧＲＡＬ　ＢＯＵＮＤＡＲＹ　Ｃ０ＮＤＩＴＩｏＮＳ　ＩＮＶＯＩⅣＩＮＧ　ＰＥＴＴＩＳ　ＩＮＴＥＧＲＡＬⅡ】．Ａｃｔａ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ　Ｓｃｉｅｎｔｉａ．　２０１１，１７（０２）：７５．　［４］周昌宇，刘文斌．一类分数阶微分方程边值问题单调迭代　解Ｕ】．黑龙江科技学院学报，２０１０，１５（０４）：０２—０４．　Ｃｓ］朱思念，王刚．一类非线性分数阶ｍ点边值问题可数多正　解的存在性Ⅱ】．四川理工学院学报（自然科学版），２０１１，１１　ｆ０３）：２４．