复习：7.3圆与圆的位置关系

执教人：枣庄二十八中 王海波

课型：复习课

授课时间：2013年5月9日 星期四 第1、2节课 考试要求：

1.探索并了解圆与圆的位置关系.

2.探索并掌握两圆的圆心距d与两圆的半径R、r之间的关系.

复习重点与难点：

重点：能灵活应用两圆的圆心距d与两圆的半径R、r之间的关系解决有关两圆位置关系的

问题.

难点：利用相切（相交）两圆的性质解决有关的问题.

教法及学法指导：

本节课主要形式是通过学生的课堂练习，发现问题，我及时点拨，阐明考的知识点及如何利用知识点解决问题，形成学生自己的知识体系；再通过例题拓展知识的应用，给学生以示范，提高学生应用知识的能力，增强规范意识；最后通过达标检测，查缺补漏，从而做到“堂堂清”，提高课堂效率．

教学准备：多媒体课件．

教学过程：

一、课前热身，回顾知识

（学生在课前独立完成复习指导丛书128页的知识回顾，初步回顾的知识点.）

1.设两圆的半径分别是R和r，两圆的圆心距为d，则它们之间的数量关系是：两圆外离 ；两圆外切 ；两圆相交 ；两圆内切 ；两圆内含 . 2.如果两圆相切，连心线 ；如果两圆相交，连心线 .

设计意图：学生完成复习指导丛书128页的知识回顾，自己梳理知识，为课上的复习奠定基础并最大限度的节约时间；与此同时，如此设计可给学生足够把握知识点的时间，为灵活运用知识点解题打好基础.

二、题组训练，夯实基础

师：同学们，你们已经熟练掌握本考点的基础知识，下面我们一起来看它的简单应用（引领学生完成多媒体上的基础题组训练）.

题组一：

1.（12·江苏）已知两圆半径分别为7、3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【 】 A.外离 B.内切 C.相交 D.内含

2.（12·新疆）若两圆的半径是方程x﹣5x+6=0的两个根，且圆心距是5，则这两圆的位置关系是【 】

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 点拨:不解方程，利用根与系数直接可求出两圆半径之和．

3.（12·常德）若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为【 】 A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交

4.（12·巴中） 已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的范围是【 】

A. 05.（12·桂林）已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是【 】 A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 6.（12·南充）如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1.点⊙P（a，0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为【 】

A．3 B．1 C．1，3 D．±1，±3

（巡视发现多数同学有漏解现象）点拨如下： 【师】⊙P与⊙O相切时，有几种情况？ 【生】内切和外切两种情况．

【师】当⊙P与⊙O外切时，圆心距是多少？内切呢？

【生】因为⊙O 的圆心在原点，当⊙P与⊙O外切时，圆心距为1+2=3， 当⊙P与⊙O第内切时，圆心距为2-1=1．

【师】你能求出线段OP的长？线段OP的长与a的值有何关系？ 【生】线段OP的长就是圆心距，它和a的值相等．

当⊙P与⊙O第一次外切和内切时，⊙P圆心在x轴的正半轴上， ∴⊙P（3,0）或（1,0）．∴a=3或1．

当⊙P与⊙O第二次外切和内切时，⊙P圆心在x轴的负半轴上， ∴⊙P（-3,0）或（-1,0）．∴a =-3或-1．故选D．

6题图

2

【师生反思】本题所考察的知识点是圆与圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）.

设计意图：本题组注重各知识点的直接应用，主要以填空和选择的形式出现，课堂上可以采取抢答的方式解决．通过学生口述的解题思路回顾知识点，这种处理方式学生参与度高，使枯燥无味的复习课充满竞争和无限生机．特别是答案不唯一的题目，尽力做到考虑全面、不遗漏.

题组二：

1.（12·贵州）已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，那么这两圆的位置关系是 ．

【师生反思】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）．因此，∵两个圆的半径分别为2和3，圆心距为4，3﹣2=1，3+2=5，即两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差，∴这两个圆的位置关系是相交．

2．（12·兰州）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是 ． （巡视发现多数同学不知所措）点拨如下：

【师】要求弦AB的取值范围，首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小？ 【生】当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．

【师】现在，你能求出弦AB的取值范围？

【生】能，如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，

∴D为AB的中点，即AD＝BD．

在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，∴AD＝4．∴AB＝2AD＝8．

当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB＝10． ∴AB的取值范围是8＜AB≤10．

【师】很好，请根据刚才同学的分析，自己独立完成本题．

【师生反思】考察的知识点是直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理．

设计意图：利用d、R、r间关系判定圆与圆的位置关系是本节的重要内容，也是考试的重点，通过这个题组，让学生熟练掌握解题的一般方法，当然，在学生思维受阻时，教师应及时给予点拨．

三、典例剖析，深化知识

例1 （12·湖北）平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为 ．

解析：分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析： （1）⊙M与⊙N外切，MN=4+1=5， ONMN2OM2522221，

∴圆心N的坐标为（21，0）．

（2）⊙M与⊙N内切，MN=4﹣1=3，ONMN2OM232225， ∴圆心N的坐标为（5，0）．

综上所述，圆心N的坐标为（21，0）或（5，0）．

【师生反思】会利用相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理解答有关两圆相切的有关问题．值得注意的是两圆相切包括外切和内切两种情况，一般答案不唯一，从而做题时尽力做到考虑全面、不遗漏，将错误消灭在萌芽状态.

例2（12·佛山）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA． （1）若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？

（2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．

解析：（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案； （2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4－x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可． （规范学生解题步骤，多媒体出示如下）

解：（1）作图如下：能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b＞4． （2）连接BD，交AC于E，

∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE．

设CE=x，则AE=4－x， ∵BC= b=3，AB= a=2， ∴由勾股定理得：

BE232x222(4x)2

解得：x21． 8212315)． 881315315ACBE4． 282∴BE32(∴四边形ABCD的面积是2答：四边形ABCD的面积是315． 2【师生反思】“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”这一性质的应用是突破这道题的关键．再者明白“对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线积的一半”可得到事半功倍的效果．

例3 （12·宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1

的半径r1=2，⊙O2的半径r2=2．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E．

（1）求证：

PA2； PB（2）若PQ=2，试求∠E度数．

解析：（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，得出（2）由cos∠CPQ=

PAPC4PAPB2． ，从而PBPDPCPD22PQ1CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°．由圆周角定理，得出，求出∠

PC2∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可．

（规范学生解题步骤，多媒体出示如下）

（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=2， ∴PC=4，PD=22．

∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°．

∴PC、PD分别是⊙O1、⊙O2的直径， 在⊙O1中，∠PAB=∠PCD， 在⊙O2中，∠PBA=∠PDC， ∴△PAB∽△PCD． ∴

PAPC4PAPB2． ，即

PBPD22PCPD（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2， ∴cos∠CPQ=

PQ1． PC2∴∠CPQ=60°．

∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=22，PQ=2， ∴sin∠PDQ=

PQ2． PD2∴∠PDQ=45°．

∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°． 又∵PD是⊙O2的直径，∴∠PBD=90°． ∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°．

在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°．

答：∠E的度数是75°．

【师生反思】用“同弧所对的圆周角相等”判定两三角形相似，再利用相交两圆的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理解决此类综合性的题目．让学生体会“夯实基础”的重要性．

设计意图：围绕考点，挑选部分中考题作为典型例题，让学生通过典型例题解答，复习回扣考点的同时掌握一些解题方法和处理技巧.在教学中，注重学生的自主快乐探究，使学生在轻松的氛围下复习.

四、 总结收获，提炼反思

师：今天我们复习了哪些数学知识？ 我最大的收获是„„ 我表现不足的地方是„„ 我想进一步研究的问题是„„

设计意图：学生互相说出自己的感受和收获，一方面使学生能够进一步明确各知识点，另一方面使学生能够理解间的联系，利于学生理解和掌握知识点.

五、当堂达标，反馈矫正

（1、2、3为必做题，4、5为选做题）

1．（12•宿迁）若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2,r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是 _________ ．

2．（12•成都）已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是 _________cm．

3．（12•贵州）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，下图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是 _________ ． ．．．

4．（12• 烟台）如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为_________cm2．

5．（12• 广西）定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是2cm，动圆在直线l上移动，当两圆相切时，OP的值是 _________ cm．

设计意图： 复习的目的是为了更好的适应中考，因此，我选取了几个难易适中却有代表性的中考题，进一步帮助学生开拓思维，辅之以分层设置的难易题组，完成必做题巩固基础的同时，可有选择性的做选做题，极具检测的实效性．

六、布置作业，课堂延伸

A组：复习指导丛书 129页-131页 第2、3、4、5、7、9、12题 ． B组：复习指导丛书 129页-131页 第1、6、8、10、11、13、14、15题． 预习：课本九年级下册第三章 弧长及扇形面积 圆锥侧面积； 复习指导丛书 考点四 圆的有关计算．

设计意图：课后分层布置作业以适应不同层次学生不同的学习需要，在最短的时间内获得最大的收获．从基础题出发，进一步夯实双基，保证在中考时基础题不失分，中档题少失分，高档题尽可能多得分，让同学们离自己的理想更近一步．

板书设计:

第七讲 考点3 圆与圆的位置关系 一、例1 二、例2 三、例3 投 影 区 学生板演处 教学反思：

本节课的基本思路是以基础题组的训练复习巩固知识点，以助同学们构建和完善知识网络；以典型例题的讲解——点拨解题思路及常用解题方法，来锻炼同学们思维的深度和广度；以当堂达标练习，提高课堂效率，真正做到“堂堂清”．

整堂课我主要采用学生做，学生讲，学生补充，注重突出学生的数学活动，变“教学”为“导学”，真正体现学生为主体，教师为主导的教学思想，对于基础知识的复习，不是对照课本将公式和定义一一讲解一遍，而是根据具体题目，就题论题，让学生通过题目来对知识点进行复习回顾，由于课前进行了精心的集体备课，使整节课具有连贯性，比较流畅，紧凑容量大.

如此下来一节课，给我最大的感受就是要学会把握时间．在基础知识方面，可以适当的多用一些时间，“磨刀不误砍柴工”，再多变的题目都还是由课本生发，夯实基础最重要；在各种题型的时间把握上，就要特别注意——稍简单些的可以稍稍减少些时间；而对于重难点，不贪多但必须讲一题透一题，应多放些时间，让学生讨论深入，明晰思路，再辅以点拨，效果可能会更好．