2022年考研数学一真题

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题

一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．

（1）已知f(x)满足limx1f(x)1，则（ ） lnxx1x1（A）f(1)0. （B）limf(x)0. （C）f(1)1. （D）limf(x)1.

（2）已知zxyf()，且f(u)可导，xyxzzyy2(lnylnx)，则（ ） xy

11,f(1)0. （B）f(1)0,f(1). 221（C）f(1),f(1)1. （D）f(1)0,f(1)1.

2ππxn（3）设有数列xn，其中xn满足，则（ ） 22（A）f(1)（A）若limcos(sinxn)存在，则limxn存在.

nn（B）若limsin(cosxn)存在，则limxn存在.

nn（C）若limcos(sinxn)存在，则limsinxn存在，但limxn不一定存在.

nnn（D）若limsin(cosxn)存在，则limcosxn存在，但limxn不一定存在.

nnn（4）已知I11ln(1x)1x2xdxIdxI，，2302(1cosx)01cosx01sinxdx，则（ ）

1（A）I1I2I3. （B）I2I1I3. （C）I1I3I2. （D）I3I2I1. （5） 下列4个条件中，3阶矩阵A可以相似对角化的一个充分但不必要条件为（ ）

（A）A有3个不相等的特征值. （B）A有3个线性无关的特征向量. （C）A有3个两两线性无关的特征向量.

（D）A的属于不同特征值的特征向量相互正交.

(6) 设A,B均为n阶矩阵，若方程组Ax0与Bx0同解，则( )

AO（A）方程组y0只有零解.

EB（B）方程组EOAy0只有零解. AB1

ABB（C）方程组y0与OBO（D）方程组Ay0同解. AABBBAA与y0y0同解.

OAOB111(7) 设向量组11,2,31,4, 若向量组1,2,3与1,2,4等价, 则

112可取 ( )

（A）{0,1}. （B）{|R,2}. （C）{|R,1,2}. （D）{|R,1}. (8) 设随机变量XU(0,3)，随机变量Y服从参数为2的泊松分布，且X与Y协方差为1，则

（C）9.

（D）12.

kD(2XY1)（ ）

（A）1. （B）5.

（9）设随机变量X1,X2,X3,X4独立同分布,且X1的4阶矩存在.设kE(X1),k1,2,3,4,则由切

1n2比雪夫不等式,对于任意的0,有PXi2ni1( ) 224221242212（A）. （B）. （C）. （D）. 2222nnnn(10)设随机变量XN(0,1)，在Xx条件下随机变量YN(x,1)，则X与Y的相关系数为（ ）

（A）

3211. （B）. （C）. （D）.

3242二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分．

(11) 函数f(x,y)x2y在点(0,1)的最大方向导数为_______. (12)

22e21lnxdx_______. x22(13) 当x0,y0时, xykexy恒成立, 则k的取值范围是_______.

(14) 已知级数

n!nxe的收敛域为(a,),则a_______. nn1n(15) 已知矩阵

A和EA可逆, 其中E为单位矩阵, 若矩阵B满足(E(EA)1)BA, 则

2

BA_____.

(16) 设A,B,C随机事件，且A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互独立.若

1P(A)P(B)P(C),则PBCABC________.

3三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17) (本题满分10分) 设函数y(x)是微分方程y

(18)(本题满分12分)

已知平面区域D(x,y)y2(19)(本题满分12分)

12xy2x的满足y13的解，求曲线yyx的渐近线.

x4y,02y(xy)2dxdy. 2，计算I22xyDL是曲面：4x2y2z21，x0,y0,z0的边界，曲面方向朝上，已知曲线L的方向和曲面

的方向符合右手法则，求I

(20) (本题满分12分)

设函数f(x)在，有二阶连续导数，证明：f(x)0的充分必要条件为对不同的实数a,b，

yzL2coszdx2xz2dy2xyzxsinzdz

f(ab)21bfxdx. aba

(21) (本题满分12分) 已知二次型f(x1,x2,x3)ijxxii1j133j.

（1）写出f(x1,x2,x3)对应的矩阵；

（2）求正交变换x=Qy,将f(x1,x2,x3)化为标准形； （3）求f(x1,x2,x3)0的解.

(22)(本题满分12分) 设X1,X2,,Xn来自均值为的指数分布总体的简单随机样本，设Y1,Y2,,Ym来自均值为2的指

为未知数，利用样本

数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中

0X1,X2,

,Xn,Y1,Y2,,Ym，求的最大似然估计量，并求D().

3

