ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测
知识梳理
知识点一 集合的基本概念 一组对象的全体构成一个集合．
(1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性．
(2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示.
数集 符号 自然数集 N 正整数集 N* 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法、区间表示法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示．
知识点二 集合之间的基本关系 关系 相等 子集 真子集 定义 集合A与集合B中的所有元素都相同 A中的任意一个元素都是B中的元素 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A 表示 A＝B A⊆B AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 知识点三 集合的基本运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形语言 意义 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 重要结论
1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A．
3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A．
4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
双基自测
题组一 走出误区
1．(多选题)下列命题错误的是( ABCD )
A．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为1或－1或0. B．方程x－2 020＋(y＋2 021)2＝0的解集为{2 020，－2 021}． C．若A∩B＝A∩C，则B＝C．
D．设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁UA＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}． 题组二 走进教材
2．(必修1P5B1改编)若集合P＝{x∈N|x≤2 021}，a＝45，则( D ) A．a∈P C．{a}⊆P
B．{a}∈P D．a∉P
[解析] 452＝2 025>2 021，∴a∉P，故选D．
3．(必修1P7T3(2)改编)若A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，B＝{x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是( B )
A．A＝B C．AB
B．AB D．A⊆B
[解析] 因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k－1，k∈Z}＝{x|x＝2(2k)－1，k∈Z}，集合B表示2与整数的积减1的集合，集合A表示2与偶数的积减1的集合，所以AB，故选B．
题组三 考题再现
4．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁UA＝( C )
A．{1,6}
B．{1,7}
C．{6,7} D．{1,6,7}
[解析] 依题意得∁UA＝{1,6,7}，故B∩∁UA＝{6,7}．故选C．
5．(2019·北京，5分)已知集合A＝{x|－1 B．(1,2) D．(1，＋∞) [解析] 由题意得A∪B＝{x|x>－1}，即A∪B＝(－1，＋∞)，故选C． 6．(2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( A ) A．(－∞，1) C．(－3，－1) B．(－2,1) D．(3，＋∞) [解析] 因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A． KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究 考点一 集合的基本概念——自主练透 例1 (1)(多选题)已知集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则下列表示正确的是( ABD ) A．－2∈A C．3k2＋1∉A B．2 021∉A D．－35∈A 3 ∈Z}，则集合A中的元2－x (2)(2019·华师大第二附中10月月考)已知集合A＝{x|x∈Z，且素个数为( C ) A．2 C．4 B．3 D．5 (3)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则2 020a的值为1；若1∉A，则－1＋5－1－5a不可能取得的值为－2，－1，0，，. 221 [解析] (1)当－2＝3k＋1时，k＝－1∈Z，故A正确；当2 021＝3k＋1时，k＝673∉Z， 3故B正确；当－35＝3k＋1时，k＝－12∈Z，故D正确．故选A、B、D． 3(2)∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3.又∵x∈Z，∴x的取值为5,3,1，－1，故集合A 2－x中的元素个数为4，故选C． (3)若a＋2＝1，则a＝－1，A＝{1,0,1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则a＝0或－2，当a＝0时，A＝{2,1,3}，当a＝－2时，A＝{0,1,1}，不合题意；若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或－2，显然都不合题意；因此a＝0，所以2 0200＝1. ∵1∉A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1解得a≠－1，－2.又∵a＋2、(a＋1)2、a2＋3a＋3 互不相等，∴a＋2≠(a＋1)2 －1±5得a≠；a＋2≠a2＋3a 2 ＋3得a≠－1；(a＋1)2≠a2＋3a＋3得a≠－2； －1＋5－1－5 综上a的值不可以为－2，－1,0，，. 22 名师点拨 ☞ (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合． (2)集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 考点二 集合之间的基本关系——师生共研 例2 (1)已知集合A＝{1,2,3}，集合B＝{x|x∈A}，则集合A与集合B的关系为( C ) A．A⊆B C．A＝B B．B⊆A D．不能确定 nπ ，n∈Z}，且B⊆A，则集合3 (2)(2020·江西赣州五校协作体期中)已知集合A＝{x|x＝sin B的个数为( C ) A．3 C．8 B．4 D．15 k1k2 (3)(多选题)设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则下面不正确的是 3663( ACD ) A．M＝N C．N M B．MN D．M∩N＝∅ (4)已知集合A＝{x|x2－2 020x＋2 019<0}，B＝{x|x ，n∈Z}＝{0，，－}，且B⊆A，∴集合B的个数为23＝8，322 故选C． (3)解法一：(列举法)，由题意知 111157 M＝{…－，－，，，，，…} 266266111125 N＝{…－，0，，，，，，…} 663236显然MN，故选A、C、D． 解法二：(描述法) M＝{x|x＝ 2k＋1k＋4 ，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z} 66 ∵2k＋1表示所有奇数，而k＋4表示所有整数(k∈Z) ∴MN，故选A、C、D． (4)A＝{x|1 名师点拨 ☞ 判断集合间关系的3种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第(1)、(2)题) 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第(3)题) 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第(4)题) 结构法 数轴法 〔变式训练1〕 (1)(2020·辽宁锦州质检(一))集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系是( D ) A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝∅ D．M⊆/ N且N⊆/ M 1 (2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y＝()x， 2x∈R}，则下列不正确的是( ABD ) A．M＝N C．M＝∁RN B．N⊆M D．(∁RN)∩M＝∅ (3)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若A⊆B，则m的取值范围是(－2,5). [解析] (1)因为1∈M,1∉N,6∈N,6∉M，所以M⊆/ N且N⊆/ M，故选D． 0，x≥0，(2)由题意得y＝x－|x|＝ 2x，x<0， ∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝∁RN.故选A、B、D． 10 (3)化简A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，当m>0时，x>－，因为A⊆B，所以－ m101010 <－2，解得m<5，所以0 角度1 集合的运算 例3 (1)(2019·天津，5分)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}， 则(A∩C)∪B＝( D ) A．{2} C．{－1,2,3} B．{2,3} D．{1,2,3,4} (2)(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知集合M＝{x|－4 (3)(2020·百校联考)已知集合A＝{x|x－3≤0且4x－5>0}，B＝{y|y＝x＋，x≥1}，则∁BA 35＝( C ) 85 A．[，]∪[3，＋∞) 15485 C．[，]∪(3，＋∞) 154 85 B．[，)∪(3，＋∞) 15485 D．[，)∪[3，＋∞) 154 [解析] (1)由条件可得A∩C＝{1,2}，故(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}． (2)方法一：∵N＝{x|－2 (3)因为A＝{x|x－3≤0且4x－5>0}，B＝{y|y＝x＋，x≥1}，所以A＝(，3]，B＝[， 3541585 ＋∞)，故∁BA＝[，]∪(3，＋∞)．故选C． 154 角度2 利用集合的运算求参数 例4 (1)已知集合A＝{0,1,2m}，B＝{x|1<22x<4}，若A∩B＝{1,2m}，则实数m的 取值范围是( C ) 1 A．(0，) 211 C．(0，)∪(，1) 22 1 B．(，1) 2D．(0,1) － (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}≠∅，若A∩B＝B，则实数m的取值范围为[2,3]. [解析] (1)B＝{x|0<2－x<2}＝{x|0 2 (2)由A∩B＝B知，B⊆A． 2m－1≥m＋1， 又B≠∅，则m＋1≥－2， 2m－1≤5. 解得2≤m≤3， 则实数m的取值范围为[2,3]． [引申1]本例(2)中若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}情况又如何？ [解析] 应对B＝∅和B≠∅进行分类． ①若B＝∅，则2m－1 [引申2]本例(2)中是否存在实数m，使A∪B＝B？若存在，求实数m的取值范围；若不存 在，请说明理由． m＋1≤－2， [解析] 由A∪B＝B，即A⊆B得 2m－1≥5， m≤－3， 即不等式组无解，故不存在实数m，使A∪B＝B． m≥3， [引申3]本例(2)中，若B＝{x|m＋1≤x≤1－2m}，AB，则m的取值范围为(－∞，－3]. m＋1≤－2，[解析] 由题意可知解得m≤－3. 1－2m≥5， 名师点拨 ☞ 集合的基本运算的关注点 1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． 2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． 3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解． 〔变式训练2〕 (1)(角度1)(2019·浙江，4分)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝( A ) A．{－1} C．{－1,2,3} B．{0,1} D．{－1,0,1,3} (2)(角度1)设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝( D ) A．(2,3] C．[1,2) B．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪[1，＋∞) (3)(角度2)设集合M＝{x|y＝2x－x2}，N＝{x|x≥a}，若M∪N＝N，则实数a的取值范围是( B ) A．[0,2] C．[2，＋∞) B．(－∞，0] D．(－∞，2] [解析] (1)由题意可得∁UA＝{－1,3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A． (2)∁UA＝{x|x<0或x>2}，则(∁UA)∪B＝{x|x<0或x≥1}，故选D． (3)M＝{x|0≤x≤2}，∵M∪N＝N，∴M⊆N，∴a≤0，故选B． MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛┃·素养提升 集合中的新定义问题 例5 (2020·江西九江联考)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已 1－ 知M＝{y|y＝－x2＋2x，0 [解析] M＝{y|y＝－x2＋2x,0 211 ＝(0，＋∞)，M∩N＝(，1]，所以M⊗N＝(0，]∪(1，＋∞)． 22 名师点拨 ☞ 集合新定义问题的“3定” (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素． (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题． (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素． 〔变式训练3〕 对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{y|y＝－2x，x∈R}，则A⊕B＝( C ) 9 A．(－，0] 49 B．[－，0) 4 9 C．(－∞，－)∪[0，＋∞) 49 D．(－∞，－]∪(0，＋∞) 4 99 [解析] A＝{y|y≥－}，B＝{y|y<0}，A－B＝{y|y≥0}，B－A＝{y|y<－}，(A－B)∪(B－ 44 9 A)＝{y|y≥0或y<－}，故选C． 4 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容