在教学实验中发展学生的符号意识

《特别报道　……Ｉ　祭ｊ　ＡＱ固　．◇　摘要：符号意识是学习者在感知、认识、运用数　学符号方面所做出的一种主动性反应，它也是一种积　学符号方面所做出的一种主动性反应和心理倾向，是　极的心理倾向．也就是说，符号意识是人们对符号意　《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》提出的学生发　义、作用的理解，以及主动地运用符号进行运算、推　展的核心概念之一．符号意识是在经历“具体到抽象”　理、解决问题的倾向性．　的过程中形成的，数学实验可以为学生提供丰富的情　识的发展．　进入初中阶段，随着负数、无理数的逐步引人，　“常量”向“变量”的转变，对学生的数学学习提出了　新的挑战．当然，这种变化也为学生符号意识的进一　步发展提供了新的空间．数学实验是学生通过动手、　境，让他们在动手、观察、思考等活动中获得符号意　尤其是字母表示数后产生的数学从“数”向“式”、　关键词：符号意识；数学实验；学生发展　符号是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种　动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，　简略的记号或代号．数字、字母、图形、关系式等构　逐步建构并发展自己的数学认知结构的学习活动．数　成了数学的符号系统．符号是数学的语言，是人们进　学实验可以为学生提供丰富的情境，让学生在从具体　行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具．学生　情境抽象出数学符号的过程中理解符号的意义；帮助　掌握数学符号、运用数学符号能力的培养是重要的教　学生获得运用符号表示数、数量关系和变化规律的体　学目标．　验；促进学生形成使用符号可以进行运算和推理，得　２００１年颁布的《全日制义务教育数学课程标准　到的结论具有一般性的认识；提高学生运用符号解决　（实验稿）》首次提出了“课程内容的学习要发展学生　问题的意识等，有利于发展学生的符号意识．　的符号感”．《义务教育数学课程标准（２０１　１年版）》　中，又将“符号感”改为“符号意识”，并把“符号意　识”作为发展学生的核心概念之一，认为建立符号意　识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和进行数　每一个数学符号都有它特定的含义，理解符号的　学思考的重要形式，明确了“符号意识”主要是指能　意义是学生数学学习中的最基本的要求，也是符号意　够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；　识的最基本要求．数学符号最本质的意义在于它是数　知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有　学抽象的结果，对数学符号的理解应从抽象的符号本　一、在数学实验中理解符号所表示的意义　般性．《（义务教育数学课程标准（２０１　１年版）＞解　身看到其所表征的准确的数学意义，让学生在具体情　读》指出，符号意识是学习者在感知、认识、运用数　境中体验、抽象出数学符号的过程，对于学生理解符　一收稿日期：２０１５—１ｏ＿－０９　基金项目：江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题——初中数学实验的理论与实践研究（Ｂ—ａ／２０ｌ３／０２／０８３）；　苏州市教育科学“十二五”规划课题——中学数学体验式学习课例研究（１４０３０２０２２）．　作者简介：王晓峰（１９７ｏ＿＿），男，中学高级教师，江苏省特级教师，江苏省苏州工业园区教师发展中心中学数学教研员，主　要从事中学数学教育与中学教学研究．　２０１５年第１１期　特别报道》　Ｔ辱舄－｝　翳　Ｑ…．　，号的意义至关重要．　问题２：根据图形的排列方式找规律．　（１）如图１，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边　例如，负号是从生活中意义相反的量引入的，但　在进行了有理数的运算后，学生对负数的认识往往会　形的边上，按照这样的规律摆下去，则第５个图形需　停留在这些运算上，而对正数与负数表示意义相反的　要黑色棋子的个数是第ｎ个图形需要黑色　，量的含义的理解却往往会被淡化．为此，我们可以通　棋子的个数是　过“翻牌游戏”对此重新加以认识与强化．　问题ｌ：取７张扑克牌，全部反面朝上放在桌子　上，每次翻３张牌（包括已经翻过的牌），你能否经过　若干次的翻牌将所有的扑克牌都变为正面朝上？若能，　口０　ｏ　你最少需要翻几次？　问题２：取７张扑克牌，全部反面朝上放在桌子　上，每次翻２张牌（包括已经翻过的牌），你能否经过　若干次的翻牌将所有的扑克牌都变为正面朝上？若能，　你最少需要翻几次？　问题３：在桌子上放奇数张反面朝上的扑克牌，　每次翻偶数张扑克牌（包括已经翻过的扑克牌），你能　经过若干次翻牌将所有扑克牌都变为正面朝上吗？　学生要对翻牌后的结果进行解释，首先就要对牌　面进行赋值：＋１表示正面朝上，一１表示背面朝上，而　后思考积的符号的变化规律，这样就可以一步一步地　探究出结论．可以看出，该实验在探索、思考、解决　问题的过程中，不仅可以让学生感受到负号在有理数　乘法中的作用，而且通过对牌面进行赋值这一关键之　处，再次强化了学生对负号所表示的意义的理解．　二、皇罄学　验中体验运用符号表示数、数　音量关系和变化规律　一　对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”，运用符　号表示数、数量关系和变化规律是“用”符号的重要　方面．“字母表示数”是区分小学与中学数学学习的一　个重要标志，而其主要的一个功能就是为数学抽象提　供必要的工具．因此，“字母表示数”的学习对于学生　符号意识的形成与建立至关重要．为此，可以在“字　母表示数”的教学中通过实验达到这个目的．　问题ｌ：　按下列数字的排列规律写出第ｎ个数（ｎ　为正整数）．　（１）２，５，８，１１，１４，…　（２）２，４，８，ｌ６，３２，…　ｒ　１　２’生　３’４’　５’　６’　…　２０１５年第１１期　（１）　（２）　（３）　（４）　图１　（２）如图２，每个图形都是由边长为１个单位长度　的小正方形按照某种规律排列组成的．　（１）　（２）　（３）　图２　口］　①若每个图形中含有若干个基本图形“同”，在　方格纸中画出第４个图形，观察图形，填写表１，由　此猜想第ｎ个图形由——个小正方形组成；　表１　图形　ｌ　２　３　４　５　￡　　Ｉ小正方形个数　４＋１　２×４＋ｌ　／４尥＂ｌ＇Ｎ②若每个图形中含有若干个基本图形“Ｈ”；掷－ｉ．￣由ｉ画出第４个图形，观察图形，填写　２，由　，在　此猜想第ｎ　形　＿一　个　、　方　；。　’一　表２　　ｆ图形　１　２　３　４　５　小正方形个数　５　２×５—１　③若每个图形中含有若干个基本图形“日，’，在方　格纸中画出第４个图形，观察图形，填写表３，由此　猜想第　个图形由——个小正方形组成．　表３　图形　１　２　３　４　５　小正方形个数　３＋２　５＋２×２　（３）图３是一组有规律的图案，第１个图案由　４个基本图形组成，第２个图案由７个基本图形组成，　第３个图案由　个基本图形组成，……，第ｎ个　《特别报道　……Ｉ暮８　Ｊ　鼹Ａ◇国　Ｑ，　图案由　个基本图形组成．　①边长分别为　，３６＋ｏ；　②边长分别为ａ＋２ｂ，ａ＋ｂ．　（２）分别选取适当数量的Ａ型，Ｂ型，ｃ型三种卡　片，将它们拼成一个长方形，并且使所拼长方形的面　（１）　（２）　（３）　图３　积分别为：①３ａ２＋４ａｂ＋ｂ２；②２ａ２＋５ａｂ＋３６。．　思考：你能拼成一个面积为　＋４ａｂ＋ｂｚ的长方形　本实验通过一组有规律的数或一组有规律的图形　或减少）卡片的数量，　发现规律．前几个数或图形可以简单地数出来，当问　吗？如果不能，是否可以添加（及的数或者图形是一个一般意义上的ｎ时，该如何说　明？引发学生的认知冲突，这就自然地促使学生寻找　其中所蕴含的一般规律，以及这一规律与字母ｎ之间　的对应关系，进而用含有　的代数式表示这一规律．　本实验各个环节过渡自然，符号意识能够在体验观察、　操作、分析、归纳、验证、概括的实验过程中得以自　然生成，从而加深学生对运用符号表示数、数量关系　和变化规律的理解．　三、在数学实验中认识符号可以进行运算　和推理，得到的结论具有一般性　运算和推理是数学活动最重要的基本形式，是符　号意识做为一种“意识”需要强化的两个方面．数学　实验是一种“做”数学的学习方式，实验的过程中，　学生既要动手、又要动脑，有时还要调动其他感官共　同参与其中，因此数学实验具有很强的体验性，我们　可以通过数学实验强化符号意识的两个方面．　例如，在学习“多项式的因式分解”时，我们可　以通过实验的方式对二次三项式的因式分解进行探索．　问题１：（１）图４的正方形是用Ａ型，Ｂ型，Ｃ型　三种卡片拼成的，试用不同的方法表示大正方形的面　积，你得到了什么？　（２）将一张Ｂ型纸片和一张Ａ型纸片按图５放置，　试用不同的方法表示阴影部分的面积，你得到了什么？　ｂ　ａ　Ｃ　Ａ　Ｂ　Ｃ　图４　图５　问题２：（１）分别选取适当数量的Ａ型，Ｂ型，　Ｃ型三种卡片，拼出下列长方形．　使之拼成一个长方形？　（３）分别选取适当数量的Ａ型，Ｂ型，Ｃ型三种卡　片，如果允许覆盖（视为减去），你能尝试拼出下列长　方形吗？　①边长分别为　，３ｂ一口；　②边长分别为ａ＋２ｂ，ａ—ｂ．　思考：你能运用拼图前、后面积之间的关系说明　长方形的代数意义吗？　问题３：根据上述拼图所获得的经验，试从１，２，　３，４这４个数中选择适当的数填人代数式口　＋口　＋　口ｂ　的方框中，使所得的二次三项式能够因式分解，　并写出分解的结果．　问题１是将图形语言用符号语言进行表示，在动　手操作中感受数与形之间的关系，体会符号语言的简　洁性和抽象性．问题２则是让学生在反复操作中，感　受卡片数量与系数之间的关系，初步形成拼图的一般　方法，并理解图形与所得式子之间的关系，这里渗透　了图形与符号之间的转换．问题３则上升到理性思考　的角度，得到拼图与因式分解之间的内在关系，引导　学生感受二次三项式的因式分解．　又如，在学习“分式的性质”时，我们可以通过　实验的方式对分式的性质进行探索．　问题１：把糖放进一个大玻璃杯Ａ中，加水，使　糖充分溶化并摇匀，得到一大杯糖水．我们用式子　Ｏ　表示糖水的甜度，其中ａ表示糖水中糖的质量，ｂ表　示糖和水的总质量．　（１）将大玻璃杯中的糖水倒人３个小杯中，此时３　个小杯中糖水的甜度与原先大杯中糖水的甜度相比如　何？试用数学式子描述你的结论．　（２）从大玻璃杯Ａ中舀出一勺，放人另一个大玻　璃杯Ｂ中，此时大玻璃杯Ｂ中的糖水甜度如何？若舀　出２勺放人大玻璃杯Ｂ中，此时大玻璃杯Ｂ中的糖水　甜度又如何？若舀出３勺，４勺，５勺呢？试用数学式　２０１５年第１１期　特别报道》　Ｔ篡　ｌｌ　Ｂ　ｌＱｊ＝ｌ　◇………………………………………………………………．．　子描述你的结论．　这３小杯糖水全部倒进一个空的大玻璃杯Ｃ中．　昆合　问题１：试利用刻度尺和天平，分别测量出一枚　问题２：将一些５角和１元硬币混合在一起并叠　（３）从大玻璃杯Ａ中随意倒出３小杯糖水，再把　５角和一枚１元硬币的厚度和质量．　后的糖水的甜度如何？试用数学式子表示大玻璃杯Ｃ　放起来，再用不透明的薄纸紧密包扎在一起．你知道　中糖水的甜度与原先３小杯糖水的甜度之间的关系．　其中５角和１元硬币各有多少吗？（或这一把硬币的总　）设计出一种方案，并加以解决．　问题２：（１）将大玻璃杯Ａ中的糖水倒入一些到小　金额是多少？问题ｌ是为问题２而准备的．在实际教学中，也　杯中，小杯中再加人一些糖，此时糖水甜度会如何变　化？试用类似上述的数学式子来描述．　（２）将大玻璃杯Ａ中的糖水再倒入一些到另一个　小杯中，小杯中再加入一些水，此时糖水的甜度如何？　类似地，试用数学式子来描述．　问题３：在你所得到的数学式子中，其中各个字　母表示的都是正数，如果它们是负数，这些数学式子　还成立吗？试说明理由．　问题１是以糖水甜度为背景的数学实验，由浅人　深、由表及里、由现象到本质、由具体到抽象地再现　了分式中的相等关系——分式的基本性质与等比定理．　问题２是通过加糖、加水实验，从生活中感受、抽象　出数学式子，也就是分式中的不等关系．问题３则是　反思从具体事实到形式化抽象的数学过程的区别．本　实验口、舌、手、眼、脑多种器官并用，通过合情推　理，展现了从“具体的模型——糖水实验”到“抽象　的模式——分式的基本性质、等比定理，以及分式中　的不等关系”被发现的全过程．　四、在数学实验中提高运用符号解决问题　的意识　符号意识更多地表现为以学生为主体的一种主动　用符号的意识．因此，符号意识的培养仅靠一些单纯　的符号推演训练和模仿记忆是难以达到应有的效果的．　教师在教学中要引导学生经历发现问题和提出问题　（运用符号抽象和表达问题）、分析问题和解决问题　（使用符号进行运算、推理和数学思考）的全过程，在　这一过程中积累运用符号的数学活动经验，逐步提高　学生的符号意识．　例如，我们可以通过“硬币数量是多少？”的数学　实验，引导学生在用二元一次方程组解决实际问题的　过程中，加强学生应用符号解决问题的意识．　２０１５年第１１期　可以直接提出问题２．为减少硬币在测量时产生的厚度　和质量的误差，可以引导学生先同时测量若干枚硬币　总的厚度和总的质量，如ｌ０枚，２０枚等，然后通过　计算得到一枚５角和一枚ｌ元硬币的厚度和质量．在　该实验中，学生经历了如下的问题解决的过程：　（１）产生符号意识（用字母分别表示两种硬币的数量）；　（２）通过操作寻找相等关系（测量出这些硬币总的厚　度和总的质量）；（３）主动用数学符号表示寻找到的相　等关系（列出方程或方程组）；（４）通过计算解决提出　的问题（解出得到的方程组）．可以看出，该问题的解　决涵盖了符号的理解、操作、表达与思考这四个方面．　显然，该实验能够促进学生进一步体会运用符号解决　问题的必要性和优越性，提高学生主动运用符号解决　问题的意识．　数学符号不能简单地作为一种人为的习惯而直接　灌输给学生，这样做的后果就是强化其抽象性，并妨　碍学生感悟它．有效的方法是通过呈现一些具有现实　意义的问题情境，让学生在思考或理解情境的过程中，　自觉地使用适当的数学符号，并在使用的过程中逐渐　感受它们，而数学实验所包含的情境、体验、思考等，　也正好提供了符号意识形成的条件与途径．　参考文献：　［１］中华人民共和国教育部制订．全日制义务教　育数学课程标准（实验稿）［Ｍ］．北京：北京　师范大学出版社，２００１．　［２］中华人民共和国教育部制定．义务教育数学　课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范　大学出版社，２０１２．　［３］教育部基础教育课程教材专家工作委员会．《义　务教育数学课程标准（２０１１年版）》解读［Ｍ］．　北京：北京师范大学出版社，２０１２．　［４］马复，凌晓牧．新版课程标准解析与教学指　导・初中数学［Ｍ］．北京：北京师范大学出版　社．２０１２．