1.要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：
（1） 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量； （2） 求出该平面的法向量；
⑶求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这 就是
该店到平面的距离。
uuuu r AB ?n
例子：点A到面 的距离d —r— （注：AB为点A的斜向量，n是 面的法向量,
n
点B是面内任意一点。）
2.求立体几何体积（向量法） 体积公式：
1、柱体体积公式：
V S.h
2
、 椎体体积公式： V 23S.h
3、 球体体积公式： V 4
3 R
课后练习题
例题：在三棱锥 B— ACD中，平面ABD丄平面 ACD,若棱长 AC=CD=AD=AB=1且/ BAD=30°, 点D到平面ABC的距离。
要求平面 外一点P到平面
的距离,
可以在平面
内任取一点A,则点
P到平面 的距离即为d=
I PA I
|PA n| |PA n| |PA|| n|
|n|
建立如图空间直角坐标系，则
2
,0>0
）, B（^2^,0,弓），
C
（
0,弓,o）, D
（
今Q0）
••• AC 仕,#,0）, AB （#,0匕），DC （ 士$0）
求设门=(x,y,z)为平面 的一个法向量，则
n AB n AC
叨 x Jz 0
1 x
~2y 0
••• y 身x, z 3x，可取 n ( . 3,1,3)
代入
d
|DC n| |n| 得，
d
3 3
计，即点D到平面ABC的距离是需。
39
1.已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点，求点D到平面
解：设n
ABC的距离.
2x 2y z 2x 2y 5z
uuu r DAgi d=―pF— n 49
49.17
(x, y, z)是平面ABC的一个法向量，则由 ngAB 0及ngBC1 0,得
2 yx
0 3 -
3
，取x=3,得n (3,2, 2),于是点D到平面ABC的距离为 0 2 z x
3
2.已知四边形 ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC丄平面 ABCD，且GC=2 ,求点B到平面EFG的距离.
解：建立如图2所示的空间直角坐标系 C-xyz，则 G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0) , • GE =(2,4,-2),
GF =(4,2,-2), BE =(2,0,0).
设平面EFG的一个法向量为 n (x,y,z)，则由
ng3E 0 及 ngGF x=y z 3y
0，得
2x+4y 2z 0 4x 2y 2z 0
uuu r, BEcn
，取 y=l,得 n
(1,1,3),于是点B到平面EFG的距离为d=一」
n
2 ■ 11
211 11
3•在棱长为1的正方体ABCD-A 1B1C1D1中，求点C1到平面A1BD的距离。解：建立如图3所示的空间直角坐标系
D-xyz，则A1(I,0,I),B(I,I,0),C1(0, 1,1).
设平面A1BD的一个法向量为n (x, y,z)，则由ngDA10及ngDB 0,得
z=-x
，取x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点C1到平面A1BD的距离为d= y=-x
_____ ”
2 23
- 3
解：由题设易知 AO 丄 BD , OC 丄 BD ,••• OA=1 , OC=、3 ,.•. OA 2 +OC 2 =AC 2 ,「•/
AOC=90 ，即 OA 丄 OC.
以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系 O-xyz ,则 A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,
' 3,0),D(-1,0,0) , •
2 2
,0), AD=(-1,o,-1), AC=(0, ,3,-1),而=(-|,-¥
,0).
设平面ACD的一个法向量为n (x,y,z)，则由ngAD 0及ngAC 0，得
x=-z
，取z= 3 ，得n =(-Jl,1, JI),于是点E到平面ACD的距离为
uuu r,
EDgn 7I 厉
d= —r— = —^=.
n 77 7
5.如图，在直三棱柱 ABC — AiBiCi 中，/ ABC = 90°, AB = BC = AAi= 2, M、N 分别是
AiCi、BC1的中点.
(I )求证: BCi丄平面AiBiC; (n)求证: MN //平面 AiABBi; (川)求三棱锥 M — BCiBi的体积.
(I )v ABC— A1B1C1 是直三棱柱，••• BBi 丄平面 AiBiCi,： BiB 丄 AiBi. 又 BiCi 丄 AiBi,丄平面 BCCiBi,： BCi 丄 AiBi.
••• BBi= CB = 2 ,• BCi 丄 BiC,： BCi 丄平面 AiBiC .
(n )连接AiB，由M、N分别为AiCi、BCi的中点，得 MN // AiB,
又AiB
平面 AiABBi, MN 平面 AiABBi,： MN //平面 AiABBi .
(川)取CiBi中点H，连结MH .
••• M 是 AiCi 的中点，• MH // AiBi,
. AiBi
「又AIBI丄平面 BCCiBi,「. MH丄平面 BCCiBi,「. MH是三棱锥
BC1B1MH
M — BCiBi 的高,
1 112 •••三棱锥 M — BCIBI的体积 V — S
4 1 -
3 3 2 3
1 1
6.如图，在三棱柱 ABC ABG中，AC BC, AB BB
AC BC
BB1 2, D 为 AB 中点，且 CD DA1
(1)求证： BB1 平面ABC (2)求证： BC1 / 平面 CAD (3)求三棱椎 B1-A1DC的体积
7.G
如图，在棱长为2的正方体中，E,F分别为DD1、(1) 求证：EF //平面 ABC1D1(2)求证 EF B1C
(2) 求三棱锥B1 EFC
C的体积。A
B
的中点。
DB
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