中考高分的十八个关节+关节5+几何计算方法与作用的归纳

关节五

几何计算方法与作用的归纳

当以比单纯逻辑论证宽泛得多的思想和视角来研究几何图形及其和相关的问题时，“几何计算”的意义和作用，就被大大地加强了。

第一，几何图形的大小及形状、几何图形间的位置关系，在许多时候本来就需要运用相关的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；

第二，当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题，在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；

第三，那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。

因此，《课标》理念下的几何学习，几何计算的份量加大了，层次提高了。

在本关节，我们先将几何计算的基本方法加以归纳，为而后的应用作好充分准备。

一、掌握好几何计算的两种主要方法

几何计算的两种主要方法是： Ⅰ、借助于解直角三角形； Ⅱ、借助于三角形的相似关系。

1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算 （1）要善于依题情恰当地构造直角三角形

例1 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠（如图中阴影）部分的面积是（ ） A、



C

（1）

B A 

D H

（1`）

11

B、 C、sin D、cos sincos

【观察与思考】将原问题抽象为图（1`），在菱形ABCD中，A，顶点A到直线CD和直线CB的距离都为1，求菱形ABCD的面积。

为此，作AHCD,交CD的延长线于点H，则有

S菱形ABCDCDAHADAH，其中

AH1，AD解：应选A。

- 1 -

AH11,即S菱形ABCD

sinADHsinsin

例2 如图，在RtABC中，ACB90，ACBC1。将ABC绕点C逆时针旋转30°得到A1B1C1，

A CB1与AB相交于点D。求BD的长。

【观察与思考】注意到B45,若作DGCB于点G，如图（1`）则

A1 D B1（1） B

可得RtDBG中，DG=BG，同时在RtCDG中，DCG30，而CB=1， 从而可构造关于BD的方程，求得其值。

解：如图（1`），作DGCB于点G，设BD=x，

C

22RtDGB中，B45,DGBGBDx

22在RtDCG中，DCGB1CB30，

A A1 D B1（1`） B

26CG3DG3xx。

22CGBGCB1,即

C

G

6262。 xx1,解得x222BD的长为

62。 2【说明】通过以上两例可以看出，凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形，而在这许多情况下，就需要恰当地构造出相应的直角三角形。

（2）在图形较为复杂的情况下，要善于恰当地将相关数量转化到某直角三角形

例3 如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结CE，若AFCE于点F，且AF平分DAE,

【观察与思考】首先，在RtACF中，sinCAFCD2,求sinCAF的值。 AE5D C F G A 就是去求CF和AC之间的数量关系，如去求出CF用AC表示的代数 B 式。为此，去研究相应的条件：

①由ABCD为等腰梯形，BECD为平行四边形（BE//CD，BE=CD），可知：AC=BD=EC；

CF,剩下的任务 ACE

②由AFCE知AFBD 且AF平分BAD,得ABD是等腰三角形，设AF交BD于点G，则

BG11BDAC 22

③由BG//EC，知ABG∽AEF,

- 2 -



BGABAEBEAECD2355151,EFBG(AC)AC. EFAEAEAE55332651ACAF, 66如此一来，CFECEFAC1ACCF61当然就有sinCAF。

ACAC6

例4 如图，把一副三角板如图（1）放置，其中ACBDEC90,A45,D30，斜边

AB6cm,DC7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到D'CE'如图（2）， 这时AB与CD'相交于点O，D'E'与AB相交于点F。

（1）求OFE'的度数； （2）求线段AD'的长；

（3）若把三角形D'CE'绕着点C顺时针再旋转30°得到D''CE''，这时点B在D''CE''的内部，外部，还是

边上？证明你的判断。

A

D A

D'

（1） E B

C O F B （2）

C

E'

【观察与思考】对于（1），如图（2`），设CB与D'E'相交于点G，则可通过OFE'与FGB,CGE'内角的关系，求得OFE'的值；

对于（2），可先推出AOD'90，并导出OA,OD'的长；

对于（3），设直线CB交D''E''于B'，应在RtB'CE''中计算出CB'的长，为此为基础进行判断。

解：（1）设CB与D'E'相交于点G，如图（2`），则： OFE'BFGBBCGE'

A D'

180BCE'E' B1801590120。 45（2）连结AD'，

C O G F B （2`）

E'

AOD'OD'FOFD'OD'F180OFE'3018012090

又ACBC,AB6cm,而ACO301545，OAOBOC3cm。

- 3 -

在RtAOD'中，AO3，OD'CD'CO734cm

AD'32425cm。

（3）点B在D''CE''内部，理由如下：

设BC（或延长线）交D''E''于点B'，B'CE''153045,

在RtB'CE''中，CB'2CE''72cm， 2又CB32cm72cm，即CBCB',点B在D''CE''内部。 2【说明】从这两个例子可以看出，在图形复合，情况比较复杂时为了在直角三角形中完成计算，还常需要和题目的条件，图形的其他特征相结合，通过有关的性质及定理，把一些数值和数量关系转化到这个直角三角形中去，因此，这样的计算也必须以熟练地掌握几何图形的基本性质为基础。

2、掌握好用两个三角形相似关系实施与完成几何计算

当两个三角形相似时，就会构成相关线段的比例等式，而在比例等式当中，若有一条线段是未知的，而其他线段是已知的或是未知线段的代数式，那么这样的比例等式就成了未知线段的方程，借此方程求出未知线段，因此，用两个三角形之间的相似关系，也可以实施与完成许多几何计算。

（1）要有借助相似三角形完成几何计算的高度意识

例5 已知，三个边长分别为2，3，5的正方形如图排列，则图中阴影分部的面积为 。

【观察与思考】可以用直接法或间接法，但都需要计算出有关线段的长，这就 需要借助于图中的直角三角形的相似关系。

解：如图（1`），RtBCM∽RtBEN∽RtBHI 2 3 5

CMENIH51 BCBEBH1021CM21。

215 EN5

22则

（1） J G A F N H I S阴影S梯形MNFG15153331 224B E

（1`） 【说明】正是借助于图中的相似三角形，使得线段CM，EN，从而线段GM，FN的计算得以落实。

D M C

例6 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，OEBC于点E，连结ED，交OC于点F，作FGBC于点G。

（1）CG和CB有怎样的数量关系？说明理由；

- 4 -

（2）若想在CB上确定一点H，使CB4CH，请依据（1）得出的结果，说出画图的方法（不必说明理由）

【观察与思考】显然，图中有一些相似三角形，比如：

A O F D （1） C

CFG∽COE∽CAB（Ⅰ组）；EFG∽EDC（Ⅱ组）

OEF∽CDF（Ⅲ组）；FEC∽FDA（Ⅳ组）等。 B

E G

通过分析可知，应用到第Ⅰ组，因为其中含有线段CG和CB（即CFG与 CAB） 而其中的CF又包含在第Ⅲ组的三角形中，这样就有：

解：（1）有结论CB3CG.在OEF和CDF中，由OE//CD，易知OEF∽CDF，

CFCD2CF2CFCF61,即,也即。 OFOE1CO3CA2CO23

在CFG和CAB中，FG//AB,

A O F M B

E G H

D C

CFG∽CAB，CGCF1,得CB3CG. （1`） CBCA3（2）应这样确定点H，连结DG，交CO于点M，作MHCB于H，则应用CB4CH 如图（1`）。

【说明】从以上两例可以看出，在不少情况，需从较多的三角形相似关系中选取最为直接的能够实现计算目的的两对或几对相似三角形，这既需要对图形性质有深刻的认识，也需要善于对问题情意及要达到的目的的进行深入分析。

（2）要善于发现和构造相似三角形

例7 如图，已知ABC中，ACB90,ACBC，点E，F在AB上，ECF45,设ABC的面积为S。

1求证：SAFBE.

2【观察与思考】注意到ECFAB45，就容易发现有 ACF∽BEC。

【证明】在ACF和BEC中，

A E F B

C AB45,ACFACEECFACE45ACEABEC，

ACF∽BEC，得

SAFAC，即AFBEACBC。 BCBE11ACBCAFBE。 22【说明】利用相似三角形解决问题，首先就要善于从图形中找到相似三角形，这就需要对三角形相似的条件不仅熟

悉，且能灵活运用。

- 5 -

例8 如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP5,BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E，F，Q为垂足，则EQ：EF的值是（ ）

A、5:8 B、5:13 C、5:16 D、3:8

P

Q （1）

A D E

F B C

D F C

,得【观察与思考】容易看出RtBEQ∽RtBPAEQ155BPBP。 2816EQAP,既 BQAB而根据正方形的性质，易知，如图（1`），把FE平移至CG的位置， 由RtCGBRtBPA,有EFCGBP，

P

5EQ:EFBP:BP5:16

16解：选C。

A Q

【说明】在本题是将三角形相似、三角形全等结合起来，分别将线段EQ，EF借助BP表示出来，从而算出这两条线段的比。

例9 某装修公司要在如图（1）所示的五角星图形中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯，若BC共需要装闪光灯（ ）

A 、100盏 B、101盏 C、 102盏 D、103盏

【观察与思考】研究ABC，由BCA B C E

G

B

51米，则

51计算出AB的长来，如图（2） 在ABC中，ABAC,BC（正五边形的外角）=72°，A36, 作CBDA,交AC于点D，则AD=BD=BC，又BCD∽ABC， 得：

（1）

DCBC， BCABA BC2ABACADDCBC

AB即ABBCABBC0，也既(22D B （2） C

AB2AB)10 BCBC解得

AB51。 BC251(51)2。 2210100 0.2- 6 -

AB灯的盏数应为

解：选A。

【说明】在本题，关键是根据特定条件，构造出BCD∽ABC。

可以看出：认识到相似三角形的计算功能，善于选用相似三角形，进而适时又恰当地构造出相似三角形，是充分发挥相似三角形在几何计算中重要作用的思想基础和知识基础。

二、重新认识几何计算的数学功能

通过几何计算，不仅仅是求出几条线段的长，几个角的度数，几个图形的面积，其更多的作用： 几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段； 几何计算是用代数形式刻划变动中图形性质的主要凭借。

也就是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。这里，我们只举两个较简单的例子，实为而后进一步探讨与研究的提示。

BC是边长为4的等边三角形，例1 如图（1），AD为BC边上一个动点，作DE//CA，交AB于点E，DFAC于点F，当BD的长取什么值时，可使FEAB？

【观察与思考】本题是研究数量与位置关系的对应性，可借助“逆向探究”的方法。如图（1`），假若FEAB，则AFE30,必有DFE60,从而有RtEFD∽RtDCF。由此求出BD的长，再逆过来予以判定。

解：如图，若DFE60,则EFA30,进而FEA90,又有FED30 A RtDCF∽RtEFD。

设BDx,则DC4x,DFE （1） F 3(4x),EDBDx， 2B D

C

又CFDF3。 DFED3123(4x)3x，解得x

5212时，可使FEAB成立。 5B E A 3（1`）

60° D

F C

当BD

【说明】在本题，虽用了直角三角形一些数量关系，但更主要是要借助于三角形相似。

- 7 -

例2 在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，ABC60，点E，F分别在线段AD，DC上，（点E与点A，D不重合）且BEF120,设AEx,DFy。

A （1）求y与x的函数表达式；

（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

【观察与思考】这是由数量关系刻画几何量之间的对应关系，或说是几何 与代数结合的问题，其解决的依据就是通过“几何计算”。

解：（1）在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=6，ABC60，

B

C

E D F AD120,AEBABE18012060, BEF120,AEBDEF18012060, ABEDEF.ABE∽DEF.AEAB。 DFDEAEx,DFy,x6 y6xy与x的函数表达式是

11x(6x)x2x(0x6)； 6612132（2）yxx(x3)。

6623当x3时，y有最大值，最大值为。

2y【说明】象本题这样的几何与代数综合题，正是以“几何计算”作为主要解决工具的。

充分重视解直角三角形和两三角形相似的数学功能吧，让它们在更多的综合型问题中发挥更大的作用！

练习题

1、 已知，如图平行四边形ABCD中，DEAB于E，DFBC于F，AB=8，AD=6，平行四边形ABCD的面

积为40，求sinEDF的值。

C D

- 8 -

F A E

B

2、一副三角尺如图摆放在一起，连结AD，求ADB的余切值。

D

B

A C

3、如图，在正方形ABCD中，M为DC的中点，N为BC上的一点，且BN=3NC，求cosMAN。

A D

M

B N C

4、如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB//CD，AD=BC，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF。

C 已知CEAB。 D （1）求证：EF//BD；

F （2）若AB=7，CD=3，求线段EF的长。

A E

5、如图，在RtABC中，E为斜边AB上一点，AE=2，E B=1，四边形DEFC为正方形 则阴影部分的面积为 。 C

D F

A E

B

B

6、如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD3cm,BC7cm,B60,P为BC上一点，连结AP，过点P作PE交DC于点E，使得APEB。 （1）求AB的长；

（2）ABP和PCE是否相似，并说明理由； （3）若DE:EC5:8,求BP的长。

- 9 -

A D E B

P

C

7、已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A，D，E三点，求该圆的半径的长。

A C B

E D

8、如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作BC//OP交⊙O于点以C，连结AC。 （1）求证：ABC∽POA； （2）若AB2,PA2,求BC的长。（结果保留根号）

A O

P B C

9、如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是内接正方形，在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上，已知正方形CDEF的面积为16，请计算出正方形FGHK的面积。

D E K A C O F H G B - 10 -