第４期 孙征宇，等：损伤弹性梁的静力学行为分析 ４ｌ３ 咖（ ，ｔ）， （ ，ｔ）和１个损伤增量Ｄ．在平面静态的情 况下，通过解耦得到了挠度、转角和损伤分别满足的 微分方程，并得到了它们的通解．对于多种不同的边 界条件，给出了问题的解析解，因而，得到了挠度、转 角和损伤的表达式，并给出了相应的数值算例，同时 定Ｄ（ ，Ｙ，ｚ，ｆ）＝Ｄ（ ，ｔ）Ｄ（Ｙ，ｚ），在具体计算时，必 须事先选择ｂ（ｙ，ｚ）的形式，并使得在梁的上下前后 满足条件 ＝０－令 ｆ￣Ｄ（ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ， ｆｂ（ｙ， ｚ）ｚｄｙｄｚ，Ａｚ Ｊ４Ｄ（ ，ｚ）ｙｄｙｄｚ，ａ， Ｄ（ ，ｚ）Ｄ（ ， 考察了边界条件以及损伤对梁的性能的影响． ｚ）ｄｙｄｚ，则得内力分量的表达式为 １ 损伤弹性梁的运动微分方程 ＝肛ｃＬ４＝ＡＥ 以ｕＯ一 ， 考虑图１所示的位于Ｗｉｎｋｌｅｒ弹性基础上的 Ｑ，＝ ｃＬ４＝ｇ梁．设 轴为梁的中性轴， ， 轴为截面的惯性 ＿２Ａ＿Ｇ（＼ Ｏｖ＋ ）， 主轴．设梁是等截面的，其横截面面积为Ａ，高为ｈ， 长为Ｚ，作用于梁上的载荷平行于 平面，在 ，，和 Ｑ：＝ ｃＬ４＝ｇ＿Ａ＿Ｇ（Ｏｗ＋ ， ２、以船平面上的分量分别计为ｑ（ｘ，ｔ），ｐ（ｘ，ｆ）． ＝肛ｚｃＬ４＝ｌｙＥ￣ ｘ一 。 ， Ｍ：＝ ｙｄＡ－ＩｚＥ 一￣．２ｌｆＤ， 式中， ，Ｑ 和Ｑ＝分别表示横截面上沿Ｏｘ，Ｏｙ和Ｏｚ 轴方向的拉伸和剪切力，Ｍｙ和 分别表示绕Ｏｙ轴 和Ｏｚ轴的弯矩，Ａ为横截面面积， 和，：分别为横 图１损伤弹性梁不意图 截面对 轴和 轴的惯性矩，即 ＝ ｄＡ，，：＝ Ｆｉｇ．１ Ｅｌａｓｔｉｃ ｂｅａｍ ｗｉｔｈ ｄａｍａｇｅ 计及剪切变形效应时，梁的位移场可设为 ］ ｌｆｙ ｄＡ， 为剪切修正系数． ｌ＝ （ ，ｆ）＋ （ ，ｆ）＋ （ ，ｆ）， 由梁的微元段的平衡．得梁的运动微分方程为 Ｍ２＝ （ ，ｔ），Ｍ３＝Ｗ（ ，ｔ）， （１） 式中，“。，“ ，“ 为沿 ， ， 轴方向的位移， 和 ＝ 是截面绕ｚ轴和Ｙ轴的转动角．在小变形的假设 ｏＱ，下，相应地应变分量为 ＋ Ｏｘ２＋ｇ一 移， ＝ 一＋Ｏｘ＋Ｙ ＋ｚ警，， ， 【＝ （ ＋盖＋ ） Ｊ， Ｏｘ＋ ＋ｐ＝ （４） Ｉ ｌ ｏｗ ａ＋ ， （２） Ｏｘ—Ｑ ＝ ≯， 根据具有损伤连续介质力学的本构定律得到应力分 量为 警 ， ０＂ｘ＝Ｅ（ ＋ Ｏｘ＋ｚ 一 式中，ｋ是地基弹性系数．将力的各表达式带入式 （４），可得到用位移分量“（ ，ｆ）， （ ，ｔ），Ｗ（ ，ｔ），转 【 计＝ １ Ｇ（、 ＯＶ＋ ），＂ｒｘｚ＝÷Ｇ（ ＋ ，一 动分量咖（ ，ｔ）， （ ，ｔ）以及损伤增量￣Ｄ表示的计及 式中，￣Ｄ＝Ｄ—Ｄ。为损伤增量， 是材料的特征常数． 剪切变形效应的损伤线弹性梁的耦合运动微分方程： Ｏ２ｏ１）＿＿Ｅ当 ＝０时，可得无损伤状态下的本构关系．根据 以２一 ＝ 越， Ｃｏｗｉｎ的理论 ，在梁的上下前后表面上损伤增量 满足条件 ＝． ０．对于一维弹性梁，损伤增量是坐 Ｇ（窘 ｏｘ）＋Ｔ，－０以２ｖ一－＋ｇ ＝ 标 和时间ｔ的函数，但是在不同的截面上，损伤增 量可以是不同的，并认为是 ，ｚ的已知函数．这样假 妻一 Ｇ（ ＋ ）一 ， 维普资讯 http://www.cqvip.com ４ｌ４ 上海大学学报（自然科学版） 第ｌ４卷 Ｇ（ ＋ ＋Ｔ￣－３ ２ｙ－ｗ＋ｐ＝ Ｅ是口Ｊ以科到，它们不会改变结构的定性性质，而且对 于细长的梁而言，这种影响是很小的． 地ＯＸ２一 Ｇ（ ３ｃｗ＋ ）一 。卢 ＝ ｐｋＩＤ＝一ｃｔＤ ＋ｒｏＤ＋ Ｄ一 。。 这样，式（５）简化为 损伤增量Ｄ的运动微分方程为 一ｆ Ｇ ｄｘ２＋ ）… ０， ｘ，ｔ）的运动微分方程为 ＋ ａＺ （６） 损伤Ｄ（笔（ 磐＋Ａｈ ４ ｄＯ一￣２Ａ＿Ｇ、｛ ｄｖ ）＿０， 式中，Ｐ是材料体积密度，ｋ。是平衡惯量， ，卢，∞和 是材料的特征常数． 考虑如下几种边界条件： （１）端部自由．如果在Ｘ＝０或Ｘ＝Ｚ处不受力 的作用，则有端部条件 警＝０， ＝０， Ｇ（ ＋ ）一 Ⅳ ＝０， Ｇ（ ＋ 一Ⅳ ＝０， ＝０． （７ａ） （２）端部简支．如果在Ｘ＝０或Ｘ＝ｌ处梁为简 单支承，则有端部条件 Ｐ ＝ ｕ＝０， ＝０， ＝０， ＝０， １＿ ：０，Ｄ：０． （７ｂ） 一 （３）端部固定．如果在Ｘ＝０或Ｘ＝ｌ处梁是固 定的，则有端部条件 １＿ ／ｄ，＝０， ＝０，Ｗ＝０， ＝０， ＝０， ＝０． （７ｃ） ＿对于其他的边界条件可以类似地给出． ２梁的拟静态行为 ２．１ 梁的拟静态行为的数学模型及通解 ０ 考察损伤弹性梁在静态情况下的力学行为．如 果载荷只作用在 ｙ平面内，即Ｐ（ ，ｔ）＝０，则弯曲 只发生在 平面内．因而，有 ＝０，Ｗ＝０．若不受轴 力作用，故可认为 ＝０．根据Ｃｏｗｉｎ的理论 ３，在上 ｌ下表面上损伤增量满足条件 ＝， ０，即 、ｌ ． 为此，可设损伤增量为坐标Ｙ的３次函数，即 Ｄ（ ，Ｙ， ）＝Ｄ（ ）（ 一 ）． 当然，取损伤增量Ｄ（Ｙ， ）为坐标Ｙ的其他函数形式 ＾‘元 ｌ也是可以的，只要满足条件 １ａｙ ０ｙ＝±号 ＝０即可．不同 的函数形式对于系数 ， ， ， 有一定的影响，但 ｄ２ｂ一 ＋ ＋ Ｏｘｌ／凡 挈ＱＸ－０． （９） 式（８）和（９）是耦合的线性微分方程，通过解耦可以 得到关于９的微分方程和用 表示的 和 ，即 『 ＋ ． ＋ ｄＥＤ＋Ｈ３Ｄ＝０， 方程（１０）的通解和 与 的表达式如下： Ｄ＝Ｃ （Ｘ）＋Ｃ （Ｘ）＋ｃＡ（Ｘ）＋ ＝ Ｃ （Ｘ）＋Ｃ （Ｘ）＋Ｃ （Ｘ）， 卜 一 （ ＋ ＋ 卜 ｃ （ ＋以 ＋ ｃ （ ＋ ＋ ｃ （ ＋ ＋ ｃ （ ＋ ＋ ｃ （ ＋ ＋ （ ＋ ）＋ ｃ：（ ＋ ）＋ ｃ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＋ ｃ５（ ＋ ）＋ ｃ （ ＋ ， ｛； 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 孙征宇，等：损伤弹性梁的静力学行为分析 ４ｌ５ 式中， 一 一材料没有损伤， 在式（８）和（９）中令 ＝０，求得无 言＋ ， ， 损伤时的挠度 和转角 满足的微分方程为 ｆ Ｇ ｄｘ２＋“ｄｘ） 一０’ ）＝ｏ． ，， ＝ ｄ ｖ￣ＡＧ［２一盖， 一 一言＋ ， 、ｄ＋ 式（１３）正是平面Ｔｉｍｏｓｅｎｋｏ梁的微分方程，解耦之 ， ２ｋ（７Ａｈ 一８５Ｅ￣ｌｚ） 后得到 和转角 满足的微分方程 １１５—８５ＡＥＧｅｄｌｆｚ ’ ｄ ｆ， ２ｋ ｄ２ｆ ７ ｋ 风＝ 一詈， ＿＿８４／ ￣／：（ ｘ）＿’ ｆ 一 ＋ ， ，， （ ）＝ｅ ， （ ）＝ｅ ， ｌ【 ＝一 一 一 —— Ｊ２Ｅ Ｉｚ—ｄ３ｘｖ３ Ａ＋ｆ Ａ ２，Ｇ２￣－２一・） ‘耋．一 （ ）＝ｅ ＣＯＳ［（ｐｓｉｎ ） ］， 其通解为 （ ）＝ｅ ｓｉｎ［（ｐｓｉｎ ） ］， ＝Ｃ （ ）＋Ｃ （ ）＋Ｃ＿ｑ （ ）＋ （ ）＝ｅ ＣＯＳ［（ｐｓｉｎ ） ］， ｃ一 。（ ）＋ （ ）， （１５） ｆ６（ ）＝一ｅ一‘ 。 ’ ｓｉｎ［（ｐｓｉｎ ） ］， ｄ３ｖ＝一 一＋／２ ／３Ｂ ２ＢＨｌ＋２ ／３研一６２。／ Ｈ２ 一 一＋Ｉｄｘ３ Ａ（一—— ４２ＥＧｌ２ｚ一￣２ ｄｖ， 一√ 一 ——’ 式中， （ ）为式（１４）中第一个方程的特解，给定载 ／ ２／ 一２ＢＨｌ＋２ ／３ ２ｌ一６２。／ Ｈ２ 荷ｇ（ ），它可以由方程得到．同时， ｒ２ 一√————— ———一， （ ）＝ｅａｌｘＣＯＳ ｌ ， （ ）＝ｅａｔｘｓｉｎ ｌ ， ，．，、 Ｂ＝（一２研＋９Ｈ． ＋ （ ）＝ｅａ２ｘＣＯＳ ２ ， ０（ ）＝ｅａ２ｘｓｉｎ ２ ． ￣／４（一研＋３Ｈ２） ＋（一２研＋９ 一２７ ）２— 根据式（１５）可画出无损伤状态下挠度和转角曲线， ２７ ） ， 以便与考虑损伤时的相应结果比较． 厂＿＿ ２．２数值算例 Ｐ ４Ｐ Ｊ， ， 一 取一个等截面的弹性梁，长度ｚ＝４ ｍ，截面积 Ｐｌ＝（３２ （２ Ｊ／３Ｂ 一２研＋６ ） ＋（２２／３Ｂ ＋ Ａ＝１ ｍ ，高ｈ＝１ ＩＴＩ，材料常数取为∞＝１ ＭＰａ，ａ＝ ４ＢＨｌ＋２４／３研一６２ 力Ｈ２） ／１４４Ｂ ） ， ８ ＧＰａ・ｉｎ ， ＝１２ ＧＰａ， ＝１５ ＧＰａ，Ｇ＝４ ＧＰａ，Ｅ＝ ａｒｃ （ ） ．２０ ＧＰａ，ｋ＝２．１×１０ ｋＮ／ｍ ，剪切常数 ＝５／６，载荷 ｑ。＝１×１０。Ｎ／ｍ．由式（１１）可以得到不同边界条件 在通解中的待定常数Ｃ ，ｉ＝１，…，６，将由梁的端部 下的ａ¨进一步由式（１２）可以得到待定常数Ｃ ，ｉ＝ 条件决定．一般这些方程可以表示如下形式： １，…，６，再将它们带人式（１１），可以得到问题的解， Ｃｌ 并可画出损伤、挠度以及转角随坐标变化的曲线． 一Ｈ， Ｃ２ ０ （１）两端简支的情况．这时边界条件为 Ｃ３ ０ ，（１２） ｌ ＝。 。， 警Ｉ ：。 。， ｌ ＝。 。’ （ｃｄ 一Ｈ， ．１５ａ） ０ ｏ， ＝ｏ， ｚ＿０． ｃ６ Ｏ 系数矩阵中的 与具体的边界条件有关．给定材料 Ｃｌ＝一０．０００ ３６２ ２８８， 参数、几何参数以及载荷参数，由式（１１）可以得到 Ｃ２＝一０．００７ ４４２ ７３， 不同边界条件下的 ，由式（１２）得到常数Ｃ ，ｉ＝１， Ｃ３＝０．０００ ７６１ ４２８， …＝，６，因此可以得到问题的解．为了方便比较。假设 ０．０００ ８１５ ９４３， 维普资讯 http://www.cqvip.com ４ｌ６ 卜海大学学报（自然科学版） 第ｌ４卷 Ｃ ＝０．００７ ０４３ ５９． Ｃ ＝一０．０１０ ６５４ ７． 同理可解得无损伤状态下 Ｃ ＝０．０００ ４１８ ４９６． Ｃ ＝０．０００ ２６０ ０２， Ｃ ＝一０．００１ ５４８ ７９， Ｃ． ＝一０．Ｏ０２ ２９８ ６． 相应损伤、挠度和转角曲线示于图２一图４中． Ｏ ０ Ｅ 二Ｏ 坦０ ０ 图２损伤曲线 Ｆｉｇ．２ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｄａｍａｇｅ 图３挠度对比曲线 Ｆｉｇ．３ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ （１ Ｏ０ｌ ５ ｏ．ｏｏｌ Ｏ ｇ ｏ．ｏｏｏ ５ ｏ ｏｏｏ ｏ 霪 ｏｏｏ ５ 一Ｏ．ＯＯ１ Ｏ —Ｏ ｏ０Ｉ ５ 图４转角对比曲线 Ｆｉｇ．４ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｒｏｔａｔｉｏｎ ａｎｇｌｅ （２）两端固定的情况．这时边界条件为 ｌ＝。＝Ｏ， ｌ＝。＝Ｏ，Ｄ ｌ ＝。 Ｏ，（１５ｂ） ｌ：ｆ＝０， ｌ：ｆ＝０，Ｄ ｌ ：ｆ＝０， 利用式（７ｃ）和（１２），可得 Ｃｌ＝一０．０００ ３０４ １０９， Ｃ２＝一０．００６ ２４７ ５２， Ｃ３＝０．００１ ２７４ ２３， ＝０．０００ ７８０ ４４３， Ｃ ＝０．００５ ２７７ ３９， Ｃ ＝一０．０１６ ２６６ １． 同理可解得无损伤状态下 Ｃ ＝０．０００ ５１０ ２０３， Ｃ ＝０．０００ ０５７ ８９５ １． Ｃ。＝一０．０００ ４６９ ５６． Ｃ， ＝一０．００２ ５９９ ９６． 相应损伤、挠度和转角曲线示于图５一图７中． ０ ０ ０ ￡ ０ ０ ０ ０ 图５损伤曲线 Ｆｉｇ．５ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｄａｍａｇｅ ０【）１ ＯＯｌ Ｉｌ０ｌ Ｅ ００１ ＼ （）０ｌ ０００ 蠼 ０００ ０００ ０ ） 图６挠度对比曲线 Ｆｉｇ．６ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ 图７转角对比曲线 Ｆｉｇ．７ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｒｏｔａｔｉｏｎ ａｎｇｌｅ （３）一端固定一端简支的情况．这时边界条件为 ｌ ：０＝０， ｌ ：０＝０，Ｄ ｌ ：０＝０， ｌ ： ：。，旦Ｏ ｘ ｌ ：。， ｌ ： ：。，‘ ５ｃ 利用式（７ｂ），（７ｃ）和（１２），可得 Ｃｌ＝一０．０００ ３６５ ８１６， 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 孙征宇，等：损伤弹性梁的静力学行为分析 ４ｌ７ Ｃ，＝一０．００５ ９５３ ７６． Ｃ ＝０．０００ ７７４ ２７９， Ｃ４＝０．０００ ７６５ ５７， Ｃ ＝０．００５ ５４５ ２９， Ｃ ＝一０．０１７ ２９６ ７． 同理可解得无损伤状态下 Ｃ，＝０．０００ ３７１ ５８９， Ｃ ＝０．０００ ２０３ ６９７， Ｃ。＝一０．０００ ３８１ ４９， Ｃ ＝一０．００３ ９００ ｌ６． 相应损伤、挠度和转角曲线示于图８～图１０中． 量 ＼ Ｑ ￥ 图８损伤曲线 Ｆｉｇ．８ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｄａｍａｇｅ 图９挠度对比曲线 Ｆｉｇ．９ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ０．Ｏｏ０ ６ ０．Ｏｏ０４ 勺０． Ｋ】２ 罢０．００００ 一０．０００ ２ 搬－０．０００４ 一０．０００ ６ —０．Ｏｏ０ ８ －０．００ｌ ０ —０．００ｌ ２ 图１Ｏ转角对比曲线 Ｆｉｇ．１０ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｒｏｔａｔｉｏｎ ａｎｇｌｅ （４）一端固定一端自由的情况．这时边界条 件为 Ｉ ｘ＝０＝０． Ｄ Ｉ ：０＝０， ￣２４Ｇ｛ ａｖ＋ ） ＿０， ＝０．（１５ｄ） 利用式（７ａ），（７ｅ）和（１２），可得 Ｃ。＝０．０００ ０２４ ５９３ ４， ’ Ｃ，＝一０．００５ ８１８ ９６． Ｃ ＝０．０００ ２１ １ １８５， Ｃ ＝０．０００ ３８２ ２５， Ｃ ＝０．００５ ５８３ １８， Ｃ ＝一０．０１９ ２７９ ５． 同理可解得无损伤状态下： Ｃ，＝一０．０００ ３４５ ８６． Ｃ ＝一０．０００ １ ｌ０ ８５， Ｃ９＝０．０００ ０３５ ８６７． Ｃ ＝一０．００２ ９８７ ３． 相应损伤、挠度和转角曲线示于图１１～图１３中． ＇ 鲁 ＼ Ｑ ￥ 图ｌｌ损伤曲线 Ｆｉｇ．１１ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆｄａｍａｇｅ （）０４ ００４ ｏ０３ 鲁 ｏｏ３ ｏｏ２ ００２ 煅 ００ｌ ００ｌ Ｏｏ０ 图１２挠度对比曲线 Ｆｉｇ．１２ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ 图１３转角对比曲线 ｉＦｇ．１３ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｒｏｔａｔｉｏｎ ａｎｇｌｅ （下转第４２２页） 维普资讯 http://www.cqvip.com ４２２ 上海大学学报（自然科学版） 第ｌ４卷 显比没有考虑化学反应的颗粒物沉降得快．而且，考 ｓｃａｖｅｎｇｉｎｇ ｂｙ ｗａｔｅｒ ｄｒｏｐｓ ｉｎ ａｉｒ［Ｊ］．Ｊ Ａｔｍｏｓ Ｓｃｉ， １９８１，３８（４）：８５６—８６９． ＨＳＵ Ｃ Ｔ，ＳＨＩＮ Ｓ Ｍ，ＣＨＡＮＧ Ｃ Ｙ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ＳＯ２ 虑了颗粒物内部化学反应，流场相中Ｓ０，浓度变化 较大，即颗粒物的液相化学反应使得气态污染物去 除效应明显．因此，在数值研究颗粒污染物扩散和传 质的过程中，气态污染物在液态颗粒内部的化学反 应是重要的因素． 参考文献： ＷＩＬＬＡＭ Ｗ Ｎ，ＧＬＥＮ Ｒ Ｃ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｅａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｆ ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ ｂｙ ｆａｌｌｉｎｇ ｗａｔｅｒ ｄｒｏｐｓ［Ｊ］．Ｃａｎａｄｉａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｅｍｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９９４，７２（２）：２５６—２６１． ＣＨＥＮ Ｗ Ｈ．Ｕｎｓｔｅａｄｙ ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｌｆｕｒ ｄｉｏｘｉｄｅ ｂｙ ａｎ ａｔｍｏｓｐｈｅｉｒｃ ｗａｔｅｒ ｄｒｏｐｌｅｔ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｎａｒｌ ｃｉｒｃｕｌａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ａｔｍｏｓｐｈｅｒｉｃ Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ，２００１，３５：２３７５—２３９３． 周力行．湍流两相流动与燃烧的数值模拟［Ｍ］．北京： 清华大学出版社，１９９１：９２—１０５． ｉｎｄｏｏｒ ａｅｒｏｓｏｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ『Ｊ］． Ｅｎｖｉｒｏｎ Ｓｃｉ Ｔｅｃｈｎｏ１． １９８９，２３（２）：１５７—１６６． 李汝辉．传质学基础［Ｍ］．北京：北京航卒学院出版 社．１９８７：３１８－３２１． ［２］ 亢燕铭．荣美丽，钟珂．等．水平表面上超细气溶胶粒 子的沉积［Ｊ］．应用力学学报，２００３，２０（４）：１４—１９． ［３］ ＢＡＢＯＯＬＡＬ Ｌ Ｂ．ＰＲＵＰＰＡＣＨＥＲ Ｈ Ｒ．ＴＯＰＡＬＩＡＮＣ Ｊ Ｈ．Ａ ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ａ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ＳＯ １Ｊ］Ｊ］ 陶文铨．数值传热学［Ｍ］．西安：西安交通大学出版 社，１９８８：２６０—２７５． （编辑：陈海清） （上接第４１７页） 参考文献： ［１］ ＫＡＣＨＡＮＯＶ Ｌ Ｍ．Ｔｉｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｕｐｔｕｒｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｕｎｄｅｒ ｃｒｅｅｐ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ『Ｊ］．Ｉｚｖ Ａｋａｄ Ｎａｕｋ ＳＳＳＲ Ｏｔｄ Ｔｅｋｈｎ Ｎａｕｋ，１９５８。８：２６—３１、 ３ 结 论 我们根据损伤连续介质力学理论，在小变形条 件下建立了计及剪切变形效应的具有损伤的线弹性 梁的静、动力学行为分析的数学模型．在平面静态的 ［２］ ＲＡＢＯＴＮＯＶ Ｙ Ｎ．Ｃｒｅｅｐ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｓｔｕｃｔｒｕｒａｌ ｍｅｍｂｅｒｓ 『Ｍ］．Ａｍｓｔｅｒｄａｍ：Ｎｏａｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ，１９６９：５９－６８． 情况下，对问题进行解耦，得到了损伤Ｄ、挠度 和 转角 的通解；根据不同边界条件，可以决定其中 ［３］ ＮＵＮＺＩＡＴＯ Ｊ Ｗ，ＣＯＷＩＮ Ｓ Ｃ．Ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃ ｍａｔｅｒｉａｌｓ ｗｉｔｈ ｖｏｉｄｓ『Ｊ］、Ａｒｃｈ Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈ Ａｎａｌ，１９７９，７２：１７５—２０１． 的待定常数，由此可以得到具体问题的解析解，进一 步可以得到损伤、挠度以及转角的变化曲线．可以看 到，端部条件对损伤和挠度以及转角的影响非常明 『４］ ＣＯＷＩＮ Ｓ Ｃ，ＮＵＮＺＩＡＴＯ Ｊ Ｗ．Ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃ ｍａｔｅｒｉａｌｓ ｗｉｔｈ ｖｏｉｄｓ［Ｊ］、Ｊ Ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ，１９８３，１３（２）：１２５—１４７． 显．端部固定的梁，其损伤略大于端部简支梁；对于 一［５］ 盛冬发，程昌钧，扶名福．损伤粘弹性力学的广义变分 原理及应用［Ｊ］．应用数学和力学，２００４，２５（４）：３４５— ３５３． 端固定一端自由的梁，损伤从固定端向自由端不 回落到一个稳定值，且损伤会对自由端转角造成较 断增长，并在中点偏左部分达到最大值，然后会缓慢 大的影响．也考察了损伤对梁的力学特性的影响，可 以看出，损伤会使得桩的挠度以及转角都相应的增 大，这也正符合了材料中存在空穴缺陷造成其力学 性能劣化的基本规律． ｆ ６］ ＳＨＥＮＧ Ｄ Ｆ，ＣＨＥＮＧ Ｃ Ｊ．Ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｂｅｈａｖｉｏｒｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｖｉｓｃｏｅｌａｓｔｉｃ ｔｈｉｃｋ ｐｌａｔｅｓ ｗｉｔｈ ｄａｍａｇｅ［Ｊ］．Ｉｎｔ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｌｉｄｓ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００４，４１：７２８７－７３０８． ［７］盛冬发，程昌钧，扶名福．考虑损伤的粘弹性梁的纯弯 曲［Ｊ］．固体力学学报，２００４，２５（４）：３８３—３８８． （编辑：陈海清）
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