上海高考数学真题专题-立体几何专题

第七部 立体几何专题

大致分值 出题形式 难度 常见考点 立体几何判断题， 14~23分 一般0~2道小题，1道大题 有一难度中等，定计算量 多面体相关题，旋转体相关题， 斜二测与三视图相关题， 立体几何综合题 【考点1】立体几何判断题

公理1 如果直线l上有两个点在平面上，那么直线l在平面上.

公理2 如果不同的两个平面、有一公共点A，那么、的交集是过点A的直线. 公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面. 公理4 平行于同一直线的两条直线相互平行. 推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面. 推论2 两条相交的直线确定一个平面. 推论3 两条平行的直线确定一个平面.

等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. 线面平行判定：若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则线面平行. 线面平行性质：若线面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则直线和交线平行. 线面垂直判定：若直线l与平面上的两条相交直线都垂直，则直线l与平面垂直. 推论：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内的所有直线. 推论 若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线平行.

面面平行判定：若平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行. 推论：若平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则面面平行. 推论：垂直于同一条直线的两个平面平行. 面面平行性质：若两个平行平面同时和第三个平面相交，则得到的两条交线互相平行. 推论：若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面. 面面垂直判定：若平面经过另一个平面的一条垂线，则面面垂直.

面面垂直性质：若面面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

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1.（2019春15）已知平面、、两两垂直，直线a、b、c满足：a，b， c，则直线a、b、c不可能是（ ） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面 2.（2017春15）过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A. 三角形 B. 长方形 C. 对角线不相等的菱形 D. 六边形 3.（2016春18）设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（ ） A. 直线l平行于直线m B. 直线l与直线m异面 C. 直线l与直线m没有公共点 D. 直线l与直线m不垂直 4.（2014春13）两条异面直线所成的角的范围是（ ） A. (0,) B. (0,] C. [0,) D. [0,] 2222

5.（2012春17）已知空间三条直线l、m、n，若l与m异面，且l与n异面，则（ ） A. m与n异面 B. m与n相交 C. m与n平行 D. m与n异面、相交、平行均有可能 6.（2016文16）如图，正方体ABCDA1B1C1D1 中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中 与直线EF相交的是（ ） A. 直线AA1 B. 直线A1B1 C. 直线A1D1 D. 直线B1C1 【考点2】多面体相关题

（1）棱柱 如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互平行， 那么这个多面体叫做棱柱. 底面是正多边形侧棱垂直于底面侧棱不垂直于底面

正棱柱. 直棱柱斜棱柱棱柱

底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形

直平行六面体长方体 平行六面体四棱柱

棱长都相等底面是正方形

正方体. 正四棱柱

直柱体的表面积：S全S侧2S底ch2S底（h、c分别为直柱体的高和底面周长） 棱柱的体积：V棱柱S底h（h为棱柱的高）

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7.（2018春14）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的 直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.（2018年15）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马， 设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面 矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9.（2016理6）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD边长为3，BD1与底面 所成角大小为arctan

2

，则该正四棱柱的高等于 3

10.（2013春9）在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的 大小为 11.（2015理4）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a

12.（2016春25）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的体积为93，底面边长为3， 求异面直线BC1与AC所成的角的大小.

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13.（2015春25）如图，在正四棱柱中ABCDA1B1C1D1，AB1，D1B和平面ABCD 所成的角的大小为arctan

14.（2015理19）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA11，ABAD2，E、F 分别是棱AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面AC11FE 所成角的大小.

15.（2013理19）如图，在长方体ABCDABCD中，AB2，AD1，AA1， 证明直线BC平行于平面DAC，并求直线BC到平面DAC的距离.

16.（2013春25）如图，正三棱锥ABCA1B1C1中，AA16，异面直线BC1与AA1所成 角的大小为 32，求该四棱柱的表面积. 46，求该三棱柱的体积. 第4/15页

（2）棱锥

如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面 体叫做棱锥. 如果棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面，那么这个 棱锥叫做正棱锥.

正锥体的表面积：S全S侧S底棱锥的体积：V棱锥

1

chS底（h、c分别为斜高和底面周长） 2

1

S底h（h为棱锥的高） 3

17.（2018春7）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC4，AA15，O是

A1C1的中点，则三棱锥AA1OB1的体积为

18.（2012理14）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC2，若

AD2c，且ABBDACCD2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD体积

最大值是 19.（2013文19）如图，正三棱锥OABC的底面边长为2，高为1， 求该三棱锥的体积及表面积. 20.（2014年19）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形PP3， 12P如图，求△PP3的各边长及此三棱锥的体积V. 12P 第5/15页

21.（2014春27）如图，在体积为APAB1，BAC21的三棱锥PABC中，PA与平面ABC垂直， 3，E、F分别是PB、AB的中点，求异面直线EF与PC 所成的角的大小. （结果用反三角函数值表示） 【考点3】旋转体相关题

（1）圆柱和圆锥

圆柱的表面积：S全S侧2S底2rh2r（h、r分别为圆柱的高和底面半径） 圆锥的表面积：S全S侧S底rhr（h、r分别为母线长和底面半径） 圆柱的体积：V圆柱S底hrh（h、r分别为圆柱的高和底面半径） 圆锥的体积：V圆锥2

2

2

11S底hr2h（h、r分别为圆锥的高和底面半径） 3322.（2016春附5）已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为

23.（2012文5）一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为

24.（2012理8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为 25.（2011理7）若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为

26.（2014文7）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示） 27.（2014理6）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）

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28.（2015理6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大 小为

29.（2019年14）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两 个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

30.（2015春18）底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ） A. 2 B. 31.（2014春24）如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，

3 C. 2 D. 33 3AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线 PB中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以 E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥

顶点P的距离为（ ） A. 1 B. 32.（2013文10）已知圆柱母线长为l，底面半径为r，O是 上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线， 若直线OA与BC所成角的大小为 33.（2015文19）如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为 36 C. D. 2210 46

，则

l r的中点，已知PO2，OA1，求三棱锥PAOC的 半圆弧AB的中点，E为劣弧CB

体积，并求异面直线PA与OE所成角的大小. 第7/15页

（2）球 2球的表面积公式：S4r（r是球的半径） 球的体积公式：V球

43r（r是球的半径） 3

球面距离求法：确定两点的直线距离，求出圆心角 34.（2017年4）已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于 35.（2016春14）半径为1的球的表面积为（ ） A.  B.  C. 2 D. 4 43

36.（2014春21）若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（ ） A. 2:3 B. 4:9 C. 8:27 D. 22:33 37.（2013春21）若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:16 38.（2011春20）某甜品店制作一种蛋筒冰激凌，上部分是半球形，下半部分呈圆锥形 （如图），现把半径为10cm的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个蛋皮围成圆锥的侧面 （蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰激凌的表面积和体积.（精确0.01） （3）祖暅原理 祖暅原理：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等 高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等 39.（2013理13）在xOy平面上，将两个半圆弧(x1)2y21(x1)和 (x3)2y21(x3)、两条直线y1和y1围成的封闭图形记为D， 如图阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为 ，过(0,y)（|y|1）作的水平截面，所得截面 面积为41y28，试利用祖暅原理、一个平放 的圆柱和一个长方体，得出的体积为

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【考点4】三视图

将三个视图展示在同一个平面上，使俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方，我们 把整个构图叫做这个长方体的三视图. 40.（2011文7）若一个圆锥的主视图是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥侧面积为 41.（2014文8）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个 小长方体的体积之和等于

【考点5】立体几何综合

（1）异面直线所成角 异面直线所成角的范围(0,90]. 求异面直线所成的角，主要有以下方法： ① 平移，将异面直线平移至相交，常用“作平行”和“取中点”的方法. 

③ 向量法，设空间直线a与b所成的角为，(0,]，它们的方向向量分别为d1和d2， 2



d1和d2的夹角为，[0,]，根据空间两条直线所成角的定义，可知cos|cos|. ② 补形，延长异面直线，或者将题中几何体进行添补，然后再平移至相交. （2）直线与平面所成角 直线与平面所成角的范围[0,90]. 求直线与平面所成的角，主要有以下方法： ① 定义法，根据直线与平面所成角的定义，找斜线及其射影的夹角. ② 垂线法，过直线上某一点作平面的垂线. 

④ 向量法，设直线l与平面所成角为，[0,]，d是l的一个方向向量，n是 2

的一个法向量，d与n的夹角为，根据直线与平面所成角的定义，可知sin|cos|. （3）二面角的平面角

二面角的平面角的范围[0,180]. 求二面角的平面角，主要有以下方法： ① 定义法，在两个半平面中分别作交线的垂线.

② 垂线法，过一个平面上一点作另一个平面的垂线，再作交线的垂线. ③ 垂面法，找到一个与两个半平面均垂直的平面，截得的交线所形成的角.

③ 等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离.

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④ 等体积法，通过几何体体积相等，求出直线上的点到平面的距离. 

⑥ 向量法，设二面角大小为，[0,]，二面角两个半平面的法向量分别为n1和n2，



n1和n2的夹角为，根据二面角的定义，可知或.

（4）距离的计算

线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离. 求点到平面的距离，主要有两种方法：① 垂线法，过点作平面的垂线，求垂线的长度.

② 等体积法，通过几何体体积相等，求出高，即点到平面的距离.

⑤ 射影法，面积射影定理cos

S

. S



③ 向量法，已知平面上一点A与平面外一点M，n是平面的一个法向量，设点M

|nAM|

到平面的距离为d，则d. |n|



42.（2019年3）已知向量a(1,0,2)，b(2,1,0)，则a与b的夹角为 所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4,3,2)，则AC1的坐标为 43.（2017年7）如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱 44.（2011春13）有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB与CD所成角的大小是

45.（2019春17）如图，正三棱锥PABC中，侧棱长为2，底面边长为3，M、N分 别是PB和BC的中点. （1）求异面直线MN与AC所成角的大小； （2）求三棱锥PABC的体积. 第10/15页

46.（2012文19）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点，已知 BAC2，AB2，AC23，PA2，求：

（1）三棱锥PABC的体积；

（2）异面直线BC与AD所成的角的大小.（结果用反三角函数值表示）

47.（2012理19）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，

E是PC的中点，已知AB2，AD22，PA2，求： （1）三角形PCD的面积； （2）异面直线BC与AE所成的角的大小. 48.（2019年17）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM2，CD3，AD4，AA15. 与平面ABCD的夹角； （1）求直线AC1（2）求点A到平面A1MC的距离.

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49.（2017春17）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA13. （1）求四棱锥A1ABCD的体积； （2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小. 50.（2017年17）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和 AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5. （1）求三棱柱ABCA1B1C1的体积； （2）设M是BC中点，求直线A1M 与平面ABC所成角的大小. 51.（2011文20）已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA12，求： （1）异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四面体AB1D1C的体积.

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52.（2012春19）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，高为2， M为线段AB的中点，求： （1）三棱锥C1MBC的体积； （2）异面直线CD与MC1所成角的大小. （结果用反三角函数值表示） 53.（2011理21）已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1 的交点. （1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为， 求证：tan

2tan； （2）若点C到平面AB1D1的距离为求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高.

4， 3

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54.（2018年17）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设PO4，OA、OB是底面半径，且AOB90，M为 线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小. 55.（2018春19）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2点O、A、在图2与图3中，图3是一个射灯投影的直观图，是投影射出的抛物线的平面图，B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OCAB于C，AB3米，OC4.5米. （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）. （图1） （图2） （图3）

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56.（2016文19）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱， 如图，AC长为5A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧. ，63

（1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.

57.（2016理19）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，

2A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧. ，33

（1）求三棱锥CO1A1B1的体积； 如图，AC长为

（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小.

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