北航计算流体力学第14课

矩形网格下曲壁的差分

B

矩形网格(直壁)

矩形网格(曲壁)

uyAui,j121ui,j2ui,j1i,j11y

yAyCi,j形式变得十分复杂。

贴体网格：网格线与物面边界重合。

CBDA构筑贴体网格的TTM方法

TTM方法的物理意义就是利用等温线构筑网格线。

等线

等线

两个矩形域中的等温线

矩形域中两组等温线的叠加

22x2y20 或写成 22022xyy0xxy y0xxy我们要做的工作就是把等温线和的坐标点x,y找到。实际上就是在上述方程中把x,y从自变量变换成因变量（函数），变换结果如下：

ax2bxcx0 ay2bycy0式中，

ax2y2 , bxxyy , cx2y2

可以用五点格式求解上述方程

axi1,j2xi,jxi1,j2x2bi1,j1xi1,j1xi1,j1xi1,j14xi,j12xi,jxi,j12

cayi1,j2yi,jyi1,j2y2bi1,j10yi1,j1yi1,j1yi1,j14yi,j12yi,jyi,j12

c0它们均为线性方程组，可以用迭代法（点迭代，线迭代，ADI法和超松弛法）求解。

初始网格（椭圆网格生成方程所需要的初始代数网格点分布）

收敛网格（椭圆网格生成方程最终生成的网格）

）

构筑网格的基本要求

1．网格要足够光滑；（考察x , x , y , y或x , y , x , y随

的分布）

2．网格线在物理量密度大的地方能够加密； 3．网格最好与物面正交。 例如，绝热壁条件

T0 （n为物面外法向） n也就是 T0

xiyj

式中，i,j为直角坐标系的单位矢量。温度梯度为：

TTTTTTTijxxiyyjxy

TT xiyjxiyj于是 T0，成为：

TTxiyjxiyjxiyj0 T22Txy0 即， xxyy如果网格线与物面正交，就有

0

即，

ijij0

xyxy也就是 xxyy0， 于是绝热条件成为

T0 

圆锥体的横截面网格

xyy(a)(b)x(c)(d)测度x , y , x , y在

平面上的分布

椭圆网格生成方程所需要的初始代数网格点分布

椭圆网格生成方程最终生成的网格

xy(a)xy(b)(c)(d)测度x , x , y , y在平面上的分布

二．坐标变换

一般情况下，流场不可能是矩形，而我们又希望在矩形域中求解差分格式，所以必须进行坐标变换。

坐标变换：

x,y x,y

物理域

yCDB

DCAx

A计算域

B

 设

yH2H1L物理域

x

jJMj1i1iIM均匀矩形网格计算域

xyHH1H12xL

jJM2j1i11物 理 域

3iIMjJMj1i112计 算 域

3iIM

椭圆网格生成方程所需要的初始代数网格点分布

椭圆网格生成方程最终生成的网格

B2B2CB1B1AB3B4B3CAAB4C双连域的分割

打开的双连域

从尾迹处剪开，使流场成为单连域。

B3CCB4B2AAB1计算域

多连域的代数网格点分布

由椭圆型偏微分方程组生成的网格

B1B4B6B8B2B3B5B7未展开的多连域

B2B4B3B7B5B1计算域

B6B8

在计算域中，偏微分成为：

uuuuuxxxxxxu x同理：

uuuuuyyyyyyu y实际并不需要知道x,y和x,y的具体表达式，只需知道

x, y, x, y就行了。

x,y坐标变换：

x,y全微分：

xx, 反变换：

yy,dxydxdxdxydy   ydydxdxdxydy同理：

dxxdxxdxd  dyydyydyd比较两个全微分，可得

xdd yxyxyyx设 Jx y11，有

xyxyxJy , yJx , xJy , yJx

计算域中的Euler方程

直角坐标系下（物理域）Euler方程为：

UFG0 txy式中，

uvu2puvu G2 U Fuvvpvepuepvep1u2v2 补充 e12如果在计算域中求解，就需把Euler方程变换到计算域中去，设坐标变换为

tx,y x,y则，计算域中Euler方程为

UFG0 式中，

UVuuUpuVp111xxU F G

JvJvVypJvUypeepVepU 式中

Uuxvy Vuxvy称为逆变速度（Contravariant Velocity）

设物理速度为V，则

Vuivj

式中，i,j为直角坐标下的单位矢量，而

xiyj xiyj

于是逆变速度可写成

UV VV

可见，逆变速度就是计算域中的速度，U是物理速度在方向上的投影，V是物理速度在方向上的投影。