证明题

四、证明题：

1. 设X、Y、Z是拓扑空间，则如果f:X→Y 连续，g:Y→Z连续，则g。f：X→Z也连续。

2. 设X是一个集合，又设对于每一点x∈X ,指定了X的一个子集族U x ,并且他们满足定理2.3.2的条件：

（1）对于任何x∈X，U x ≠Φ；并且如果U∈U x ,则x∈U ；

（2）如果U,V∈U x ,则U∩V∈U x ；

（3）如果U∈U x ，并且UV ，则V∈U x ；

（4）如果U∈U x ，则存在V∈U x ，满足条件：

1º VU ； 2º 对任何y∈V ，有V∈U Y 。

令T = {UX| 如果 x∈U ，则有U∈U x }，证明：T 是X的一个拓扑

3. 设X，Y是两个拓扑空间，f:X→Y。则映射f连续对每一点x∈X，映射f在点x 处连续。

4. 设 X是一个集合，B 是集合X的一个子集族 （即B P (X)） . 如果B满足条件：

①

BBBX ；

② 如果B1,B2∈B ，则对于任何x∈ B1∩B2 ，存在B∈B ,使得 x∈B B1∩B2 .

证明：X的子集族T ={UX | 存在B 是X的一个拓扑。

U

 B 使得

UBBUB }

5. 设X,Y是两个拓扑空间，f:X→Y，证明：若拓扑空间Y有一个基B 使得对于任何一个B∈B ，原像f-1(B)是X中的一个开集，则f连续

6.设X,Y是两个拓扑空间，f:X→Y，证明：若Y中有一个子基S ，使得对于任何一个S∈S ,原像f-1(S)是X中的一个开集，则f连续

7. 定理3.1.5 设Y是拓扑空间X的一个子空间，证明：分别记F 和F的全体闭集构成的族，则FF|Y；

为X和Y

③ 分别记

Uy 和

Uy 为点y在X和Y中的邻域系，则

Uy Uy|Y ．

① 8. 定理3.1.5 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y , 证明： 分别记为点y在X和Y中的邻域系，则

Uy 和

Uy Uy Uy|Y ．

9. 设Y是拓扑空间X的一个子空间，证明：如果B是拓扑空间X的一个基，则B|Y 是子空间Y的一个基。

10. 定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y，证明：如果V y是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则V y|Y 是点y在子空间

Y中的一个邻域基.

11. 定理4.1.1 设X是一个拓扑空间，若 X是一个不连通空间，证明：

X中存在两个非空闭子集A和B使得A∩B=Φ和A∪B=X成立.

12. 定理4.1.1 设X是一个拓扑空间，若X中存在着一个既开又闭的非空真子集，证明：X是一个不连通空间；

13. 定理4.4.2 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的．又设f:X→Y是一个连续开映射．证明： f（X）是一个局部连通空间．

14. 定理4.1.8 设f：X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，证明：则f(X)是Y的一个连通子集.

15.证明： A2空间的任何一个子空间也是A2空间．

16.证明： A1空间的任何一个子空间也是A1空间．

17.证明： A2空间一定是可分空间

18.证明： 任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间．（即A2 空间一定是Lindeloff空间）

19. 若拓扑空间X是一个T0空间 ，证明：如果x,y∈X,x≠y,则{x}{y}。即不同的单点集有不同的闭包。

20. 如果x,y∈X,x≠y,则{x}{y}。即不同的单点集有不同的闭包，证明：拓扑空间X是一个T0空间。

21. 设X是一个拓扑空间，若 X是T1空间，证明： X中的每个单点集都是闭集。

22. 设X是一个拓扑空间，若X中的每个有限集都是闭集，证明：X是T1空间；