中考复习专题----最短路径 教案

学习目标：

1.建立数学模型，能利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径。

2.借助特殊三角形、特殊四边形、圆、抛物线等这些基本图形的轴对称性，运用对称变换、平移变换等方法，能清晰的抓住求最短路径问题的本质。

3．在探索最短路径的过程中，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想。学习重点：

利用轴对称、平移等数学知识，将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”及“垂线段最短”问题，增强解决实际问题的能力。学习难点：

综合运用轴对称、平移等数学知识，将不在同一直线上的线段转化在同一直线上，从而解决线段和（周长）最小值问题。教学过程：

问题1：如图1所示，Ａ植树地点，L为水渠，将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管最短？

图1 图2 图3

问题2：如图2所示，Ａ、Ｂ两点为植树地点，L为水渠，将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管总和AC+BC最短？

问题3：如图3所示，Ａ、Ｂ两点为植树地点，L为水渠，将取水口C设在L上何处，才能使铺设的水管总和AC+BC最短？

设计意图：通过对已有知识的复习，提炼最短路径的对称模型，从而解决更多不同背

景下的题目。跟踪训练：

1.如图4，等边△ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，P为AD上一点，则BP+PE的最小值等于 ．

图4图5图62.如图5所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8

3.如图6，已知菱形ABCD的周长为20，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=______．设计意图：

通过等边三角形、正方形、菱形等基础图形为背景，通过找和做对称点总结遇到不同类型题的不同做法。

4.如右图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B.

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在对称轴上是否存在点P，使PA+PC最小？若存在，求出PA+PC的最小值；若不存在，请说明理由.

变式1：在对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出△PAC周长的最小值；若不存在，请说明理由.

变式2：在抛物线的对称轴x=1上求一点P，使点P到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点P的坐标；

设计意图：抛物线是中考题中比较易考的图形，其本身也具有对称性，所以回归到中考题目，抓模型、练分析，分解难点。拓广探索

如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（　　）A.2 B.4 C.22 D.42作业布置：

1.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 .

2.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________。

第2题图教学反思：

中考中的最短路径问题是较容易出现的考点，学生这节课将模型意识学习和掌握的比较扎实，其实不同的题目只是不同的背景，最关键的是要让学生掌握基础模型，将两个定点一条定直线的模型先抓出来，就可以最快速度的解决问题。学生在正方形的第二题容易出问题，因为题目是将P点直接给出，反而混淆了学生，他们不明白P点究竟在哪个位置，其实只要说明清楚点P是动点，位置要靠我们自己确定，学生就比较好理解了。