开放探究过程提升推理能力
—例谈——“三角形的面积”计算公式的推导教学
浙江杭州市萧山区新街镇第一小学(311217)朱国芳
数学课程标准中明确要求：数学学习内容要有利于学
生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理等数学活动。数学教学活动要建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能。在小学平面图形面积计算公式的推导教学中，应引导学生亲身经历推导全过程，使学生在自主探究，体验感悟中得出结论，从而激发
.com.cn. All Rights Reserved.学生的求知欲望，培养学生初步的推理能力。
笔者认为：对一个数学概念，并不是教师简单地将一个结论抛给学生就可以了，而应让学生将解决问题的思维过程暴露出来，这样教师既教发现，又教猜想，也能教推理和探究。真如布鲁姆所说：“探索是数学教学的生命线，探索得来的知识最深刻难忘。”
下面以三角形的面积计算公式的推导教学为例。一、数一数
数学学科较之其他课程最为显著的特点是其知识内在的系统性、连贯性。新授知识以已学知识为基础，又将为后学知识服务与铺垫的。三角形面积计算公式的推导也一样，它是编排在长方形、平行四边形面积计算公式推导之后的教学内容。所以，我们在教学三角形的面积计算公式推导时，要充分挖掘与利用前面学过的知识。
【案例1】
师：红领巾是我们少先队员的标志，它呈什么形状？它的面积有多大？这节课我们就一起来探究三角形面积的计算方法。
师：我们以前学习的长方形面积计算公式是怎样推导出来的？
生1：是用单位面积的方格图通过数数的方法推导出来的。
师：那么我们能否用同样的方法来求得三角形的面积呢？我们把三角形的红领巾放在平方分米单位面积的方格图中，大家通过数数，来求一求它的面积。
数学2013·11师：你是怎么数数的？
生2：一个一个数，不足一格计半格。
师：一个一个数很麻烦，有没有更简便的方法？
生3：沿高线可等分成两份，每份都恰好占5×3方格的一半，即7.5平方分米。所以红领巾的面积应该是15平方分米。
师：也就是说三角形的面积刚好是整个长方形（10×3）面积的一半。而这里长方形的长其实就是三角形的底，长方形的宽就是三角形的高。所以三角形的面积恰好是它的底×高÷2。
师：那么是不是所有三角形的面积都可以这样来计算呢？用方格图通过数数的方法是不是很麻烦？我们有没有更简便更科学的方法呢？
上例是利用方格图，引导学生通过数数的方法来进行推导的。这是充分尊重学生的认知水平，依据已学的长方形面积计算方法的推导为基础而设计的方案。在这一推导过程中，学生经历了最原始的数数方法，学生也真切感受到数数的局限性，从而激发起强烈的探究欲望。
二、拼一拼
用两个完全一样的三角形可以拼组成一个平行四边形，再根据已学平行四边形的面积计算方法来推导出三角形的面积计算公式，这个方法推导过程简单，学生比较容易理解与掌握。教科书中采用了小组合作学习的方式，引导学生通过动手操作，放手让学生自主探究来感悟三角形面积的计算方法。如图1所示。
10图1
上述教学环节是在教师的直接引导下，或者是要求学生在自学课本基础上通过操作实验而得到的结论。这样的教学设计虽然比较顺畅，但总感觉教师有“越位”之嫌。可否引导学生自主去思考探究呢？
【案例2】
师：在四年级的时候我们已经认识了平行四边形的特征。如果将平行四边形沿对角线剪开，会得到什么结果？
生1：剪成了两个三角形。
师：这两个三角形之间有什么关系呢？（要求学生动手操作）
生2：被剪成的两个三角形完全重合，一样大小。
师：那么反过来，是不是两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形呢？请同学们动手试一试。
生3：恰好可以拼成一个平行四边形。
师：既然这样，现在如果我们要求一个三角形的面积，除了用数数的方法以外，还有没有其他的方法呢？
生4：可以再加一个和它一模一样的三角形拼成一个平行四边形，然而再根据平行四边的面积计算公式来求三角形的面积就可以了。
师：请大家看课本……此例中，通过“对角线分平行四边形”这一环节，学生提取活动记忆，明确平行四边形可分成两个完全一样的三角形，再由逆向思维明确全等三角形可拼，再来感悟为什么要转化，从而使转化思想建构在学生自己的知识结构中。
在数学教学中，教师要树立正确的目标意识，不应只停留于应试需要，仅仅是教会学生掌握一些知识与技能，侧重于结果目标。特别是在新课程改革背景下，教师要切实转变教育观念。在教学过程中，教师要有长远的目标意识，要重视过程目标，要从学生可持续发展的角度审视自己的教学，注重每一个教学细节，从“教会”学生知识向引导学生掌握“会学”的方法方向去努力。
课改纵横
·专题透析三、补一补
如果单纯地从学生的知识与技能目标角度来说，通过案例1和案例2的教学，足以使学生牢固掌握三角形面积的计算方法。因为相对而言，上述两种推导方法比较简明感性。然而就数学课程标准中提到的过程性目标要求，笔者以为有必要舍得花时间进一步深入挖掘，引导学生拓展思路，让学生能通过其他各种方法来发现或验证三角形面积的计算方法。
【案例3】
师：我们通过数数、拼组的方法推导出了三角形面积的计算公式，那么除此以外，还有没有其他的方法可以验证呢？
师：我们刚刚学过平行四边形面积计算方法的推导过程，有谁能说一说它是通过什么方法推导出来的？
生1：是把平行四边形割补成长方形推导出来的。
师：那么三角形能不能也通过割补法来推导它的面积计算方法呢？
师：如图2-1，我们可以先确定一条底边作高，经这条高的中点作底边的平行线，然而沿这条平行线剪开，将它补到另一边，观察一下，拼成了一个什么图形？或如图2-2，延长三角形两条边的中点连线，并经一顶点作底边的平行线，然后沿中位线剪开，将它补到另一边，观察可拼成什么图形？（引导学生动手操作）
师：通过割补所拼成的图形与原三角形有怎样的关系？师：我们可以将任何一个三角形都通过割补的方法拼成一个平行四边形。图2-1这个平行四边形的底其实就是三角形的底，平行四边形的高恰好是三角形高的一半（中点），所以三角形的面积是底×（高÷2），也就是底×高÷2。图2-2拼成的这个平行四边形的底是原三角形的一半，高与原三角形的相等。所以三角形的面积是（底÷2）×高，也就是底×高÷2。
图2-1图2-2
以上教学，使学生经历不同的求证方法，获得了深刻的学习经验。教师引导学生通过不同途径，采用不同方法，利用不同手段，来验证相同结果，让学生真切感受到数学知识的博大精深，从而激发学生的探究欲望，提高学生的学习兴趣。
四、折一折
数学是一门科学。在数学教学中，应充分挖掘其内在的科学因素，培养学生的探索精神与创新能力。在小学阶段的平面几何教学中，更应致力于科学精神的培养要求。平面几何对于小学生来说都是比较抽象的，而“思维从动作开始，儿童可以理解的首先是自己的动作”。要解决数学的抽象性与小学生思维特点之间的矛盾，就是要让学生动手做数学，而不是用耳朵听数学，要让他们在动手做的过程中获得感性认识。动手操作过程是知识学习的一种循序渐进的探究过程。教师要创造一切条件，创设让学生参与操作活动的环
11数学2013·11.com.cn. All Rights Reserved.·专题透析课改纵横
注重数学阅读，提升数学素养
江苏海安县城东镇西场小学(226000)丁美霞
点儿篱笆把自己围起来，“瞧瞧，我现在可是在篱笆的外面
哦。”
我接着说：“建筑师和物理学家都是正向思维，力求围出的面积最大，而数学家反其道而行之，围出了最小的面积，认为‘自己是站在圆的外面’。这种‘反其道而行之’就是一种逆向思维，它是数学中经常需要用的一种创造性思维。在我们面对‘山穷水复疑无路’时，逆向思维常常能帮助我们‘柳暗花明又一村’。多读书，可以使我们的思维开阔，新学期，让我们一起阅读吧！”
自此，班上学生开始对《有趣的数学》《数学家的故事》《帮你学数学》等书籍感兴趣起来。
—掌握阅读时机二、何时读——
数学课堂上的阅读也要求把握好阅读的时机。在理解有障碍时———当大段的文字出现，学生百思不得其解时，教师要和学生一起读，指导断句，读出重点词、关键词，再给学生解读。
在多环节推理时———对于有两个以上环节的推理，学生往往不知先写哪一个，而显得手忙脚乱。这时可让学生跟随教师的手势引导，说出推理过程，要让学生大声朗读，心口并用，熟能生巧，然后再把过程写下来。实践证明，这对培养学生完整、有序地写出推理过程非常有效。
时间让学生通过观察、测量、动手操作，从而对平面图形的转换产生直接感知，这些不仅需要学生的自主探索、亲身实践，更离不开一起合作、共同参与，也只有在学生共同探讨、合作解决问题的过程中才能不断生成和发展。通过自主探究可以更加明确自己的看法，通过合作交流更有机会分享各自的想法。
培养与发展学生的创新思维能力是实施素质教育与推进新课程改革的一项重要教学目标，学生的创新精神是在其自主探索与合作交流的过程中逐步形成的，我们应根据学生的认知规律，排除学生在学习中的心理干扰，采用多种教学手段，不断优化教学方法，引导学生运用多种感官体验学习全过程，使学生能自主感悟抽象的几何图形知识，这样才有利于培养学生的空间观念，发展学生的创新思维能力。
笔者认为：只有突出教学过程的开放性，学生的主体精神力量才能得到呈现，个性特长才能得到强化，才能创造出一个高度自由的思维空间与实践空间。教学过程开放的一种有效方法就是要加强学习过程的开放，因为学习过程的开放，就是注重学生对解决问题思路策略的拓展，其核心是让学生学会数学地思考，从而得出各自最适合解决问题的方法。
（责编金铃）
苏联数学教育家斯托利亚尔说：“数学教学也就是数学
语言的教学。”语言的学习离不开阅读，数学的学习同样离不开数学阅读。
—激发阅读兴趣一、我想读——
心理学实验证明，阅读动机与阅读效率有着明显的正比例关系。所以，在进行阅读指导时，教师应尽量调动学生的阅读需要，增强学生的阅读动机，激发学生的阅读兴趣。
在新学期的第一节课上，我在课堂上讲了一个《谁围的面积最大？》的故事。
农夫在建房子时遇到了难题：怎么样用最少的篱笆围出最大的面积呢？于是他分别请教了一位建筑师、一位物理学家和一位数学家。
建筑师脱口而出：“还不容易，周长相等的情况下，圆的面积最大。”他用篱笆圈出了一个圆。
物理学家连连摇头：“NO！NO！我还可以围一个大很多的圆，将篱笆分解拉开，形成一条足够长的线，这样圈起来的面积自然就最大了。”
讲到这儿，我问：“同学们，你们猜数学家的回答是什么？”同学们纷纷发表自己的见解，被我一一否定之后，都饶有兴趣地等待着我继续讲故事。
数学家轻蔑地说：“瞧我的！”说着，他只用了极少的一.com.cn. All Rights Reserved.境，多给学生活动的时间，多给学生动手操作的机会，多给学生一点自由，学生就会在“动”中感知，在“动”中领悟，在“动”中发挥创新的潜能。
【案例4】
师：下面我们来一起来学习“折信封”的游戏。我们可以将三角形的三个角都向内折叠，仔细观察会有什么现象？（引导学生动手操作）
生1：可以折叠成一个小长方形。
师：叠成的长方形面积与原三角形面积有何关系？生2：三角形的面积刚好是两个这样的小长方形面积。师：被叠成的小长方形的长与原三角形的底有什么关系？宽与原三角形的高有什么关系？
生3：长是底的一半，宽是高的一半。
师：那么这个长方形的面积可怎样表示？
（底÷2）×（高÷2）。生4：
师：那么原三角形的面积可以怎样求？生5：长方形面积再乘以2。师：也就是（底÷2）×（高÷2）×2，即底×高÷2。
图3
在平面几何教学中需要大量的实践活动，要有充分的
数学2013·1112
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