知识点详解人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形章节测试试题(含详细解析)

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点

P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（ ）

A．5 B．26 C．25 D．32 2、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OB＝

EB，点G为BD上一点，满足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，则∠OGE的度数为（ ）

A．30° B．36° C．37.5° D．45°

3、如图，阴影部分是将一个菱形剪去一个平行四边形后剩下的，要想知道阴影部分的周长，需要测量一些线段的长，这些线段可以是（ ）

A．AF B．AB C．AB与BC D．BC与CD 4、如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．4

5、如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）

A．2.5 B．22 C．3 D．5 6、如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（ ）

A．12 B．15 C．18 D．24

7、如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC方向平移23cm得到四边形

A′B′C′D′，A′D′交CD于点E，则点E到AC的距离为（ ）

A．1 B．3 C．.2 D．23 8、如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（ ）

A．②④ B．①②④ C．①②③④ D．②③④

9、如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（ ）

A．一直增大 C．先增大后减小

B．一直减小 D．保持不变

10、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（ ） A．菱形

B．矩形

C．正方形

D．三角形

第Ⅱ卷（非选择题 70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在ABC中，ABAC2，BAC90，M，N为BC上的两个动点，且MN2，则AMAN的最小值是________．

2、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC=__．

3、如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，DE⊥BC于点E，AB=8 cm，AD=24 cm，BC=26 cm，点

P从点A出发，沿边AD以1 cm/s的速度向点D运动，与此同时，点Q从点C出发，沿边CB以3 cm/s

的速度向点B运动．当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．连接PQ，过点P作

PF⊥BC于点F，则当运动到第__________s时，△DEC≌△PFQ．

4、如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=5，点E是线段CD上的一点（不与点D，C重合），将△BCE沿BE折叠，使得点C落在C'处，当△C'CD为等腰三角形时，CE的长为___________．

5、正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为 ___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长．

2、如图，四边形ABCD是一个菱形绿草地，其周长为402m，∠ABC＝120°，在其内部有一个矩形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边中点，现准备在花坛中种植茉莉花，其单价为30元/m，则需投资资金多少元？（3 取1.732）

2

3、综合与实践

（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 ．

（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝2∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝2∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．

4、如图，在正方形ABCD中，P是直线CD上的一点，连接BP，过点D作DEBP，交直线BP于点

E，连接CE．

11（1）当点P在线段CD上时，如图①，求证：BEDE2CE；

（2）当点P在直线CD上移动时，位置如图②、图③所示，线段BE，DE与CE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

5、如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线，G是CE的中点，AB=2CD，求

证：DG⊥CE．

---------参考答案----------- 一、单选题 1、D 【解析】 【分析】

过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90º，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果． 【详解】

过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60º， ∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60º， ∵DH⊥BC，

∴∠DHC=90º，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°， 在Rt△DCH中，CH=2CD=，DH=CD2CH2=∴BD2BH2DH2(2)2(32332)19， 213233， 2∵四边形BCEF是平行四边形，

∴AD=BC=EF，AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴AF∥DE，AF=DE=1， ∵AF⊥BE， ∴DE⊥BE，

∴BE2BD2DE219118， ∴BE32， 故选D．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题． 2、C 【解析】 【分析】

根据矩形和平行线的性质，得DBCBDA30；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得BOE；根据全等三角形性质，通过证明△OBE∽△ODF，得OEOF；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得OFG，再根据余角的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵矩形ABCD ∴AD//BC

∴DBCBDA30 ∵OB＝EB， ∴BOEBEO180DBC75 2∴FOGBOE75 ∵点O为对角线BD的中点， ∴OBOD

△OBE和△ODF中

DBCBDA30OBOD BOEDOF∴△OBE∽△ODF ∴OEOF

∵EG⊥FG，即EGF90 ∴OEOFOG

∴OFGOGF180FOG52.5

2∴OGE90OGF37.5 故选：C． 【点睛】

本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 3、A 【解析】

【分析】

如图，延长AB，ED交于点H，证明BCDH，CDBH，再利用菱形的性质证明：阴影部分的周长

ABBCCDDEEFAF4AF，从而可得答案．

【详解】

解：如图，延长AB，ED交于点H，

四边形BCDH是平行四边形，

BCDH，CDBH，

四边形AFEH是菱形，

AFEFEHAH，

阴影部分的周长ABBCCDDEEFAF4AF，

故需要测量AF的长度， 故选A． 【点睛】

本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，证明阴影部分的周长4AF是解本题的关键． 4、C 【解析】 【分析】

取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出

△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．

【详解】

解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．

∵AC=BC=8，∠BCA=60°，

∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴， ∴CD=CG=2AB=4，∠ACD=60°， ∵∠ECF=60°， ∴∠FCD=∠ECG， 在△FCD和△ECG中，

FCECFCDECG， DCGC1∴△FCD≌△ECG（SAS）， ∴DF=GE．

当EG∥BC时，EG最小， ∵点G为AC的中点， ∴此时EG=DF=2CD=BC=2． 故选：C．

114【点睛】

本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键． 5、D 【解析】 【分析】

利用矩形的性质，求证明OAB90，进而在RtAOB中利用勾股定理求出OB的长度，弧长就是OB的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可． 【详解】

解：四边形OABC是矩形，

OAB90，

在RtAOB中，由勾股定理可知：OB2OA2AB2，

OBOA2AB25，

弧长为5，故在数轴上表示的数为5，

故选：D． 【点睛】

本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键． 6、B 【解析】 【分析】

根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是

△BCD的中位线，可得OE＝2BC，所以易求△DOE的周长． 【详解】

解：∵▱ABCD的周长为36，

∴2（BC＋CD）＝36，则BC＋CD＝18．

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12， ∴OD＝OB＝2BD＝6． 又∵点E是CD的中点，

∴OE是△BCD的中位线，DE＝2CD， ∴OE＝2BC，

∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝2BD＋2（BC＋CD）＝6＋9＝15， 故选：B． 【点睛】

本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质． 7、C 【解析】 【分析】

根据题意连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，根据菱形的性质可以证明三角形ABD是等边三角形，根据平移的性质可得AD∥A′E，可得斜边的一半即可得出结论． 【详解】

AE43AECA，6，进而求出ADAC63111111A′E，再利用30度角所对直角边等于

解：如图，连接BD，过点E作EF⊥AC于点F，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，BD⊥AC， ∵∠BAD=60°，

∴三角形ABD是等边三角形， ∵菱形ABCD的边长为6cm， ∴AD=AB=BD=6cm， ∴AG=GC=3 3（cm），

∴AC=6 3（cm），

∵AA′=2 3（cm），

∴A′C=4 3（cm）， ∵AD∥A′E， ∴

AECA， ADACAE43， 663∴

∴A′E=4（cm），

∵∠EA′F=∠DAC=2∠DAB=30°，

1∴EF=2A′E=2（cm）． 故选：C． 【点睛】

本题考查菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和平移的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 8、B 【解析】 【分析】

根据易得DF=CD，由平行四边形的性质AD∥BC即可对①作出判断；延长EF，交CD延长线于M，可证明△AEF≌△DMF，可得EF=FM，由直角三角形斜边上中线的性质即可对②作出判断；由△AEF≌△DMF可得这两个三角形的面积相等，再由MC＞BE易得S△BEC＜2S△EFC ，从而③是错误的；设∠FEC=x，由已知及三角形内角和可分别计算出∠DFE及∠AEF，从而可判断④正确与否． 【详解】

①∵F是AD的中点， ∴AF=FD，

∵在▱ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF，

∴∠BCD=2∠DCF，故①正确； ②延长EF，交CD延长线于M，

1

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

AFDMAFDF ， AFEDFM∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF， ∴FC=FE，

∴∠ECF=∠CEF，故②正确； ③∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM ， ∵MC＞BE，SECM12CMCE2SEFC，SBEC12BECE ∴S△BEC＜2S△EFC ，

故S△BEC=2S△CEF ， 故③错误； ④设∠FEC=x，则∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x， ∴∠EFC=180°﹣2x，

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x， ∵∠AEF=90°﹣x，

∴∠DFE=3∠AEF，故④正确， 故选：B． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的面积等知识，构造辅助线证明三角形全等是本题的关键和难点． 9、D 【解析】 【分析】

过点C作CHOB于H，CGOA于G，先根据矩形的判定与性质可得OGCH,CGOHOBHB，再根据三角形全等的判定定理证出OBPHCB，根据全等三角形的性质可得OBCH4,OPHB，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得DGCGOBHB，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】

解：如图，过点C作CHOB于H，CGOA于G，

则四边形OHCG是矩形，

OGCH,CGOHOBHB，

∵CBP是等腰直角三角形， ∴BCBP,CBP90， ∴HBCOBP90， ∵CHOB，

∴HBCHCB90， ∴OBPHCB，

OBPHCB在OBP和HCB中，OBHC90，

BPCB∴OBPHCB(AAS)， ∴OBCH4,OPHB， ∴OGOB，

∵CDO45,CGOD， ∴OCD是等腰直角三角形， ∴DGCGOBHB，

∴PDDGPGOBHB(OPOG)OBHB(HBOB)2OB8，

∴PD的长度保持不变， 故选：D． 【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键． 10、B 【解析】 【分析】

先画出图形，再根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边平行且相等，那么其必为平行四边形，然后根据邻边互相垂直得出四边形是矩形． 【详解】

解：如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴EHBDFG，EFACHG，FGBD,EFAC， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵ACBD， ∴EFFG，

∴平行四边形EFGH是矩形， 又AC与BD不一定相等，

EF与FG不一定相等，

矩形EFGH不一定是正方形，

1212故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 二、填空题 1、10 【解析】 【分析】

过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时，AMAN最小为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题． 【详解】

解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，

则四边形ADMN是平行四边形， ∴MD＝AN，AD＝MN，

作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M， 则AM＝A′M， ∴AM＋AN＝A′M＋DM，

∴三点D、M、A′共线时，A′M＋DM最小为A′D的长， ∵AD//BC，AO⊥BC， ∴∠DAA＝90°，

∵ABAC2，BAC90，， ∴BC＝22 BO＝CO＝AO＝2，

∴AA22，

在Rt△ADA中，由勾股定理得：

AD＝ADAA222222210 ∴AMAN的最小是值为：10，

故答案为：10 【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形将

AN转化为DM是解题的关键．

2、63 【解析】

【分析】

根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OD，然后判断出△AOD是等边三角形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OD＝2AC＝2×12＝6，∠ADC=90°， ∵∠AOD＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝OA＝6，

∴DCAC2AD21226263．

11故答案为：63． 【点睛】

本题考查了矩形的性质和勾股定理以及等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质得出△AOD是等边三角形． 3、6或7 【解析】 【分析】

分两种情况进行讨论，当Q在F点的右侧时，Q在F点的左侧时，根据△DEC≌△PFQ，可得FQEC，求解即可． 【详解】

解：由题意可得，四边形ABED、ABFP为矩形，BEAD24cm，CQ3tcm、APtcm ∴CEBCBE2cm，BFtcm

∵△DEC≌△PFQ ∴FQCE2cm

当Q在F点的右侧时，FQBCCQBF(264t)cm ∴264t=2，解得t6s

当Q在F点的左侧时，FQBF(BCCQ)t(263t)(4t26)cm ∴4t262，解得t7s 故答案为：6或7 【点睛】

此题考查了全等三角形的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是根据题意，求得对应线段的长，分情况讨论列方程求解． 4、或

5220 3【解析】 【分析】

根据题意分CDCC，CCCD，DCDC三种情况讨论，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题． 【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形

∴C90，CDAB8,BCAD5 ∵将△BCE沿BE折叠，使得点C落在C'处， ∴BCE≌BCE

CECE,BCEBCE90，BCBC，

设CEx，则DECDx8x

①当CDCC时，如图

过点C作CFCD,CGBC，则四边形CGCF为矩形

CDCC

1CGDFFCCD4，EF4x

2在RtBCG中

BGBC2CG252423

CFCG532

在RtCFE中

CE2CF2EF2

即x2224x

522解得x

5 2CE②当CCCD时，如图，设CC,BE交于点O，

设OEy

BCBC,ECEC

BE垂直平分CC

11OCOCCCCD4

22OBBC2OC23

在RtOCE中OE2OC2CE2 即y242x2

在RtBCE中，BE2BC2CE2 即3+y52x2

20xy4x3联立，解得 222163+y5xy32222EC20 3③当DCDC时，如图，

又BCBC

DB垂直平分CC

BCBC,ECEC

BE垂直平分CC

此时D,E重合，不符合题意 综上所述，EC52205或 32故答案为：或【点睛】

20 3本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，分类讨论是解题的关键． 5、8 【解析】 【分析】

根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解． 【详解】

解：S阴影=S正方形ABCD×4×4＝8． 故答案为：8． 【点睛】

本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会于转化的思想思考问题． 三、解答题 1、213 【分析】

根据平行四边形的性质可得BCAD5，ADOC，BODO勾股定理求得AC，BO，进而求得BD 【详解】

解：四边形ABCD是平行四边形

BCAD5,OAOC11AC,OBODBD 221212 AB⊥AC，

BAC90

在RtABC中，AB3,BC5

ACBC2AB252324

1AC2 2AO在RtABO中，AB3,AO2

BOAO2AB2223213

BD2BO213 BD213 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2、2598元 【分析】

根据菱形的性质，先求出菱形的一条对角线，由勾股定理求出另一条对角线的长，由三角形的中位线定理，求出矩形的两条边，再求出矩形的面积，最后求得投资资金． 【详解】

连接BD，AD相交于点O，如图：

∵四边形ABCD是一个菱形， ∴AC⊥BD， ∵∠ABC=120°， ∴∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形， ∵菱形的周长为402m， ∴菱形的边长为102m， ∴BD＝102m，BO＝52m，

∴在Rt△AOB中，OAAB2OB2∴AC＝2OA＝106m，

102252256m，

∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH＝2BD ＝52m，EF＝2AC＝56m， ∴S矩形＝52×56＝503m，

2

11则需投资资金503×30=1500×1.732≈2598元 【点睛】

本题考查了二次根式的应用，勾股定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质与定理是解题的关键． 3、（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析 【分析】

（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；

（2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝2∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；

（3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝2∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解． 【详解】

解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，

11

在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC ， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN=45°， ∴∠ABM+∠CBN=45°，

∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下：

如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，

∵∠A+∠C＝180°，

∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝2∠ABC，

∴∠ABM+∠CBN=2∠ABC＝∠MBN，

∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下：

如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，

11

∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°，

∴∠BAM=∠C， ∵AB＝BC， ∴△ABM≌△CB M'，

∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'， ∴∠MA M'=∠ABC， ∵∠MBN＝2∠ABC，

∴∠MBN＝2∠MA M'=∠M'BN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N=CN-C M'， ∴MN=CN-AM． 故答案是：MN=CN-AM． 【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）图②中BEDE2CE，图③中DEBE2CE 【分析】

（1）在BE上截取BFDE，连接CF，可先证得BCF≌DCE，则CFCE，BCFDCE，进而可证得△AED为等腰直角三角形，即可得证；

（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的BE，DE与CE之间的数量关系． 【详解】

11解：（1）证明：如图，在BE上截取BFDE，连接CF． ∵四边形ABCD是正方形，

BCDC，BCD90，

DEBP，BCD90，

PBCBPCPDEDPE90，

BPCDPE，

PBCPDE， BFDE，BCDC，

BCF≌DCE(SAS)，

CFCE，BCFDCE，

FCEFCDDCEFCDBCFBCD90，

∴△ECF是等腰直角三角形，

在RtFCE中，FE2CF2CE22CE2，

EF2CE，

BEDEBEBFEF2CE；

（2）图②：BEDE2CE，理由如下： 如下图，在EB延长线上截取BFDE，连接CF．

∵四边形ABCD是正方形，

BCDC，BCD90，

DEBP，BCD90，

PBCBPCPDEDPE90，

BPCDPE， FBCEDC

BFDE，BCDC，

BCF≌DCE(SAS)，

CFCE，BCFDCE，

FCEFCDDCEFCDBCFBCD90，

∴△ECF是等腰直角三角形， 在RtFCE中，FE2CF2CE22CE2，

EF2CE，

BEDEBEBFEF2CE；

图③：DEBE2CE

如图，在DE上截取DF=BE，连接CF．

∵四边形ABCD是正方形，

BCDC，BCD90，

DEBP，BCD90，

PBCBPCPDEDPE90，

BPCDPE，

EBCFDC

BEDF，BCDC，

BCE≌DCF(SAS)，

CECF，BCEDCF，

FCEFCBBCEFCBDCFBCD90，

∴△ECF是等腰直角三角形，

在RtFCE中，FE2CF2CE22CE2，

EF2CE，

DEBEDEDFEF2CE．

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 5、见解析 【分析】

连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=AB，再根据AB=2CD，得到CD=AB，从而可得CD=DE，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【详解】

证明：连接DE，如图：

1212

∵AD是边BC上的高，CE是边AB上的中线， ∴AD⊥BD，E是AB的中点， ∴DE=AB， ∵AB=2CD， ∴CD=AB， ∴CD=DE， ∵G是CE的中点， ∴DG⊥CE．

1212【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质．解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，明确在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．