巧用直线的参数方程解题方法模板

摘要：我们都知道解析几何在高考数学中的重要性，解析几何常常让考生感到 头痛，特别是关于直线与圆锥曲线的位置关系、求轨迹方程等类型的题目。这类型的题目所涉及的知识点多、覆盖面广、综合性比较强。从而考察考生的运算能力和综合解题能力，不少学生常常因缺乏解题策略而导致解答过程繁难、运算量大，甚至半途而废。而想要比较简单的解决此类问题运用直线的参数方程是较合适的方法，运用直线的参数方程去解决一些解析几何问题会比较简便。

关键词:直线的参数方程；平面；空间；弦长。 1、引言

在解决的某一解析几何的问题时，运用直线的参数方程解题是非常合适的。运用的直线的参数方程解题它的优点在于能化繁为简、减少计算过程，而它的缺点就是它的局限性，不是所有的题目都适合运用直线的参数方程解决的。在平面几何里，一些关于焦点弦长、某点的坐标、轨迹方程、等式证明等问题的题目我们可以考虑运用直线的参数方程去解决。在空间几何里用直线的参数方程可以解决的问题有求柱面和锥面的方程、空间中的一些轨迹方程、对称点等相关问题。在平面中或是空间里的解析几何问题，我们都可以考虑运用直线的参数方程去解决，我们会举相关的例题，运用直线的参数方程去解题。

2.1 在平面中运用直线的参数方程解题

直线的参数方程的标准式：过点p0x0,y0倾斜角为的直线l参数方程为 xx0tcosyy0tsin(t为参数,为直线的倾斜角)

t的几何意义是：t表示有向线段p0p的数量，px,y为直线上任意一点。 2.1.1 用直线的参数方程求弦长相关问题

如果知道过某点的某一直线与一个圆锥曲线相交，要求求直线被截的弦长。我们把这一直线的参数方程代入圆锥曲线的方程里，然后韦达定理和参数t的几

何意义得出弦长。

3 例1 过点P1,2有一条倾斜角为的直线与圆x2y29相交，求直线被圆截

4 得的弦的长。

分析: 1、考虑点P在不在圆上； 2、这个题目如果用一般方 法解就要写出直线方程， 然后代入圆方程，要想 求出弦长过程比较复杂、 计算量大；

3、适合运用直线的参数方 程进行求解。

解： 把点P1,2代入圆的方程，得122259 所以点P不在圆上，在圆内 可设直线与圆的交点分别为A、B两点 由题意得直线的参数方程为

2t2 ，（t为参数） 2y2t2x1 代入圆的方程，得

2211tt9 2222 整理后得 t22t40 ① 因为Δ=

2414180

2 设①的两根为t1,t2 ，即对应交点A、B的参数值，由韦达定理得 t1t22 ； t1t2-4 由t的几何意义，得弦长 ABt1t2t1t224t1t2244322

评注: 此类求弦长的问题，一般方法得求出直线与二次曲线的两个 交点坐标，然后用两点间的距离公式求出弦长，这样计算量 会比较大，而运用直线的参数方程参数方程去解，根据参数t 的几何意义和韦达定理就能比较简捷的求出弦长。

小结：我们在运用直线的参数方程解决求弦长问题时，发现在解决例1 此类题型时有一定的规律，这个规律在解决此类问题时可以当 公式来用，对解题速度很有帮助的。下面我对这个规律进行阐述：问题1 求二次曲线

Fx,y0 ① 截直线 xx0tcosyy0tsin （t是参数，为直线的倾斜角）

所得的弦的长。

解： 有①和②消去x,y整理后，若能得到一个关于参数t的二元 一次方程：

at2btc0 ③ 则当有Δ=b24ac0，截得的弦长为

lb24aca （公式一）

证明：设t1,t2为③的两个实根，根据韦达定理有

tbc1t2a t1t2a ④

又设直线与二次曲线的两个交点为p1x1,y1,p2x2,y2，则

x1x0t1cosyt ， x2x0t2cosy ⑤

1y01siny20t2sin 根据两点的距离公式，由④，⑤得弦长

②

lp1p2  x1x22y1y22

t1t22cos2t1t22sin2 t1t22bc4t1t24

aa2b24ac  （证毕）

a 上述公式适用于已知直线的倾斜角，那如果已知直线的斜率呢？ 问题2 求二次曲线

Fx,y0 ① 截直线 xx0atb ，（t是参数，直线的斜率为） ②

ayy0bt 所得的弦的长。

解： 有①和②消去x,y整理后，若能得到一个关于参数t的二元 一次方程：

At2BtC0 ③ 则当有Δ=B24AC0，截得的弦长为 la2b2

利用上述公式我再举个例

例2 若抛物线y24x截直线y2xd所得的弦长是35，求d的值。 解：由直线的方程y2xd，得

bd 直线的斜率k==2，且直线恒过点,0

a2 （公式二） A ∴该直线的参数方程为

xdt ，（t为参数） 2y2t 把参数方程代入抛物线方程，整理后得 4t24t2d0

因为t是实数，所以Δ=4442d1632d0.

2 由公式二，有1222 解得 d-4

1632d35 4 评注：我们通过运用直线的参数方程得到了公式一和公式二，在 解决关于弦长问题时运用公式一或者公式二解题就会更加 方便。如果题目已知的是直线的倾斜角，就应该考虑用公 式一；如果题目已知的是直线的斜率，就应该先考虑用公 式二。

2.1.2 运用直线的参数方程解中点问题 例3 已知经过点P2,0，斜率为

4的直线和抛物线y22x相交 3于A,B两点，若AB的中点为M，求点M坐标。 解：设过点P2,0的倾斜角为，则tan 则cos34，sin 554， 3 可设直线的参数方程为

3x2t5 （t为参数） 4yt5把参数方程代入抛物线方程y22x中，整理后得 8t215t500

设t1,t2为方程的两个实根，即为A,B两点的对应参数，根据韦达定理 t1t215 8 由M为线段AB的中点，根据的几何意义可得 PMt1t215 216 所以中点M所对应的参数为tM15,将此值代入直线的参数方程里，得 1631541x251616 M的坐标为

4153y5164413 即M,

164 评注：在直线的参数方程中，当t0时，则MA的方向向上；当t0 时，则MB的方向向下，所以AB中点M对应的参数t的值是 这与求两点之间的中点坐标有点相似。 2.1.3 运用直线的参数方程求轨迹方程

运用直线的参数方程，我们根据参数t的几何意义得出某些线段的 数量关系，然后建立相关等式，最后可得出某动点的轨迹。

例4 过原点的一条直线，交圆x2y11于点Q,在直线OQ上取一

2t1t2， 2 点P,使P到直线y2的距离等于PQ,求当这条直线绕原点旋转时点P 的轨迹。

解：设该直线的方程为 xtcosytsin 0，t为参数，为直线的倾斜角

把直线方程代入圆方程，得 tcos2tsin121 即 t22tsin0 根据公式一，可得

b24ac4sin22sin，0 OQOQa 可设p点坐标为px,y，起对应的参数值为t，则有OPt， 因为PQOPOQ,所以PQt2sin

易知，点p到直线y2的距离是y2，即tsin2; 由题意有 t2sin=tsin2 等式两边同时平方，化简后得 t24cos20 解得 t24或cos0

当t24时，轨迹的一支为x2y24； 当cos0时，sin0，从而得另一支轨迹 xt0 即x0； yt因此所求轨迹系是由圆x2y24和直线x0组成。

评注：遇到此类题目，考虑运用直线的参数方程先把弦长求出来， 在根据题意建立相关等式，根据等式消元化简得出结果，本 题的关键主要是建立等式t2sin=tsin2。 2.1.4 运用直线的参数方程证明相关等式

运用直线的参数方程，根据参数t的几何意义，我们可以得到一些 线段的数量关系，对证明一些几何等式很有帮助。

例5 设过点Ap,0的直线交抛物线y22px于B、C,求证： 证明：设过点Ap,0的直线的参数方程为

111 222pABACxptcos （t为参数，为直线的倾斜角）

ytsin 因为直线与抛物线交B、C两点，故0。 把直线参数方程代入抛物线方程，整理后得 sin2at22pcosat2p20

设t1,t2为两根，即点B、C的对应参数值，根据韦达定理得

2p22pcos t1t2; t1t22

sinsin2 根据参数t的几何意义有AB=t1，AC=t2，所以

11t1t22t1t211 22222ABACt1t2t1t224p22pcos22sinsin22p2 sin21p22

评注：在证明一些相关等式问题时，引用直线的参数方程辅助证明， 会让证明思路更加清晰易懂，在证明过程中根据参数t的几何 意义，用参数t去替换其它变量，把所要证的等式化繁为简。

2.2 在空间中用直线的参数方程解题

在空间中过点Mx0,y0,z0，方向向量为vX,Y,Z的直线l的坐标式参数

xx0Xt方程为 yy0Yt，（t为参数） 直线l标准方程为：

zz0Ztxx0yy0zz0t。 XYZ2.2.1 用空间直线的参数方程求柱面和锥面方程

已知柱面、锥面的准线方程，可以根据母线的参数方程或者标准方程 很方便的求出柱面或者锥面方程。

x2y2z21例6 若柱面的母线的方向向量v1,01，准线方程是 ，

2xyz0求柱面方程。

解：设P1的母线的参数方程为 1x1,y1,z1为准线上任意一点，过点Pxx1t yy1x1xt ，（t为参数）即 y1y

zz1t 代入准线方程得

22xty2zt1

2xtyzt0z1zt 消去参数t，可得到所求柱面方程

xyzy22xy2z1

22评注：此题假设准线上任意一点，然后过此点写出对应的参数方程， 通过参数t的引入便可变形代入相关方程，最终消去参数t得 到所求柱面方程。

x2y2z21例7 已知锥面顶点为3,1,2，准线为 ，求锥面的方程。

xyz0 解： 设P1与顶点3,1,2的 1x1,y1,z1为准线上任意一点，连接点P 母线为

x3y1z2， x13y11z121 将它们的比值记为，得

t y11ty1 ， （t为参数）

x13tx3z12tz2 代入x1,y1,z1所满足的方程 x1y1z11x1y1z10222，得

2223tx31ty12tz21

tx3y1z220消去t，由上式的第二式得 t2 ，代入第一式，

x3y1z2化简整理后得锥面的一般方程为

3x35y17z26x3y110x3z22y1z20222 评注：此题的关键是母线方程的表示，然后引入参数t，得到一个参数方程。

通过参数t代入化简得出所求的锥面方程。 2.2.2 用空间直线的参数方程求空间轨迹

空间的点或者直线的轨迹的空间解析几何的一个重要课题，是重点 也是难点，在求解过程中，通常非常复杂，但对于某些轨迹问题，运 用直线的参数方程去解决会相对简单。

例8 一直线分别交坐标面y0z,x0z,x0y于三点A、B、C，当直线变动时，直线上的三定点A、B、C也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四个点P，它与A、B、C三点的距离分别为a、b、c。当直线按照这样的规定（即保持A、B、C分别在三坐标面上变动），试求P点的轨迹。

解：设点P的坐标为Px0,y0,z0，直线的方向余弦为cos,cos,cos。则直

xx0tcos线的参数方程为 yy0tcos ，（t为参数）

zz0tcos 令x0，即的与y0z面的交点A，根据t的几何意义，则x0acos。 ta， 同理可得，y0bcos，z0ccos。

xyz 由以上三式可得020202cos2cos2cos21

abc222x2y2z2 所以P点轨迹方程为2221，是一个椭球面。

abc 评注：通过运用直线的参数方程，然后根据t的几何意义，用t去表示 点P的坐标，通过观察代入某式子得出轨迹方程。 2.2.3 用空间直线的参数方程求对称点

运用空间直线的参数方程我们可以求出定点关于定平面、定直线对 称的点的坐标。

例9 求定点P01,2,1关于定平面2xyz10的对称点。 分析：1、可设对称点为点P1；

2、点P0和点P1到平面的距离是相等的； 3、P0P1与平面是垂直的。

解：设P1x1,y1,z1是所求的对称点，则平面2xyz10到P0和P1的有向距离是等值异号，即

21121112212122x1y1z11 222211 化简后得 2x1y1z130 （1）

又P0P1的一组方向向量为x1x0,y1y0,z1z0，由于P0P1与平面

2xyz10垂直，故有

x11y12z11t, (t为参数) 211x112t 即， y12t （2）

z11t 把（2）代入（1），得212t2t1t30

4 解得， t= 代入（2），得

354x1123342 y12，

3341z1133521即所求的对称点为P1,,。

333 评注：此题的关键是根据P0P1与平面垂直引入参数t，然后用参数t表示 其它未知量，通过代入求出参数t的值，所求的未知量也就相应 得出。

结语

我们运用直线的参数方程对以上例题进行解答，在解题过程中，我们能体会到直线的参数方程的魅力所在，它使我们在解决某类问题时可以化繁为简、容易理解。从中我们还发现直线参数方程的参数t和韦达定理的和谐统一，这会让我们发现数学中的一种美，从某种意义上说它是一种简洁美，它让我们在解题过程中更加简单、更有效率。而且直线参数方程的加盟，为我们的解题带来了无穷的想象空间和更为广阔的解题思路，正是因为直线参数方程给我们带来如此多的便捷和快乐，所以掌握用直线的参数方程解题的方法应该是我们不二的选择。

参考文献

[1]彭耿铃.巧用直线的参数方程解题例说[J].福建中学数学，2009，（8）. [2]刘培杰.新编中学数学解题方法全书[M],高中版.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.

[3]吴业分、肖利华.浅谈直线参数方程及应用[J].中国教科创新导刊，2009，（537）.

[4]李养成.空间解析几何[M],新版.北京：科学出版社，2007.

[5]张许伟.空间直线参数方程应用初探[J].苏州教育学院学报，

，（1）. 1988