蚂蚁爬行的最短路径

1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．

回答下列问题：

（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；

（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒

2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 .

第6题

解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线． AB=

22125．

3．（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm

．

解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．

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AB

4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（ ）

A．A⇒P⇒B B．A⇒Q⇒B C．A⇒R⇒B D．A⇒S⇒B

解：根据两点之间线段最短可知选A． 故选A．

5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（ ）

解：如图，AB=

12212210．故选C．

11AB

6． 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（ ）

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解：展开正方体的点M所在的面， ∵BC的中点为M， 所以MC=

1BC=1， 2=

．

在直角三角形中AM=

7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是 cm。

解：将盒子展开，如图所示： AB=CD=DF+FC= 故选C．

1111EF+ GF=×20+×20=20cm． 2222

8. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 .

第7题

解：将正方体展开，连接M、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3， MD1=

MD2DD1322213 ．

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9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.5秒钟．

解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面右面由勾股定理得AB= （2）展开底面右面由勾股定理得AB=

= =5cm；

cm；

所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒． 10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 。

解：将长方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短，AB=

=25．

11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 . D1C1

1A1DB1

C

2AB4第4页 共16页

解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ABC1是直角三角形， ∴AC1=

AB2BC1421242325

22

12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。

解：由题意得， 路径一：AB= 路径二：AB= 路径三：AB=

= =5； =

； ；

∵ ＞5，

∴5米为最短路径．

13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求： （1）蚂蚁经过的最短路程；

（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．

解：（1）AB的长就为最短路线．

然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为

（cm）；

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若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 或

（cm）

（cm），

所以蚂蚁经过的最短路程是 cm．

（2） 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm， 最长路程是30cm． 14．如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？

解：图1中， 图2中， 图3中，

cm． cm． cm．

∴采用图3的爬法路程最短，为 cm

15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。

解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，

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则所走的最短线段是 =6 cm；

第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm， 所以走的最短线段是

=

cm；

第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm， 所以走的最短线段是

=2

cm；

三种情况比较而言，第二种情况最短．

16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 cm

解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得x=25． 故答案为25．

17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是 cm。

解：将台阶展开，如下图， 因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，

所以AB2=AC2+BC2=169， 所以AB=13（cm），

所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm． 答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．

18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm．

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解：

∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．

故答案为：13．

19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？

解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB， 则AB的长即为A处到B处的最短路程．

解：在Rt△ABD中，

因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172． 所以AB=17cm．

故蚂蚁爬行的最短路径为17cm． 20．（2009•佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处． （1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； （3）求点B1到最短路径的距离．

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解：（1）如图，

木柜的表面展开图是两个矩形ABC'1D1和ACC1A1．

故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A1C'1和AC1．（2分） （2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1， 爬过的路径的长是

．（3分）

蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长是

．（4分）

l1＞l2，故最短路径的长是

（3）作B1E⊥AC1于E， 则

•

•

．（5分）

为所求．（8分）

21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 . 第2题

解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C，D分别是BE，AF的中点． AF=2π•5=10π．AD=5π． AC=

AD2CD2≈16cm．

故答案为：16cm．

22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 .

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第3题

解：AB=5212213m

125A B 23．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 6，．

解：因为圆柱底面圆的周长为2π×

6=12，高为5，

所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形， 根据勾股定理，对角线长为 故蚂蚁爬行的最短距离为13．

24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是

=13．

解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为24cm， 则AD=24×=12cm．

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又因为CD=AB=9cm， 所以AC=

=15cm．

故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm． 故答案为：15．

25．（2006•荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是 cm．（结果用带π和根号的式子表示）

解：QA=3，PB1=2，

即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中， 根据勾股定理得：

QP=

26．同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．

问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．

解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图．

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如图，将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位置，连接AM，即是这条最短路线图．

27．如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是 .

第5题

解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=

n4 ， 180∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°， ∴在圆锥侧面展开图中AP=2，AB=4，∠BAP=90°， ∴在圆锥侧面展开图中BP=

2025，

∴这只蚂蚁爬行的最短距离是25 cm． 故答案是：25 cm．

28．如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB=150°，D为VB上一点，VD= ．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）

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解：

=

=

，

∴设弧BC所对的圆心角的度数为n， ∴

=

解得n=90， ∴∠CVD=90°， ∴CD=

=4

，

29．已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．则蚂蚁爬行的最短路程长为 。

解：连接AA′，作OC⊥AA′于C， ∵圆锥的母线长为5cm，∠AOA1=120°， ∴AA′=2AC=53．

30． 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 .

第4题

解：由题意知，底面圆的直径为2， 故底面周长等于2π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2解得n=90°，

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4n， 180所以展开图中圆心角为90°，

根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：16163242．

31．（2006•南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 。

解：由题意知底面圆的直径=2， 故底面周长等于2π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=解得n=90°，

所以展开图中的圆心角为90°，

根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为42．

32．（2009•乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为 。

4n， 180

解：由题意知，底面圆的直径AB=4， 故底面周长等于4π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π= 解得n=120°， 所以展开图中∠APD=120°÷2=60°， 根据勾股定理求得AD= 33，

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2n6， 360所以蚂蚁爬行的最短距离为33．

33．如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．

解：把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形， 则蚂蚁运动的最短路程为AA′（线段）．

由此知：OA=OA′=3r， ∴2πr=

的长为2πr．

n3r，n=120°， 18013OA=r 2222即∠AOA′=120°，∠OAC=30°． ∴OC=

∴AC=OAOC∴AA′=2AC=33r，

33r 2即蚂蚁运动的最短路程是33r．

34．如图①，一只蚂蚁从圆锥底面的A点出发，沿侧面绕行一周后到达母线SA的中点M．蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究． （1）善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r=10cm，母线SA长为40cm，就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；

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（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于60°（如图②），请问：蚂蚁如何行走最合算？ （3）通过（1）、（2）的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周， ①请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？ ②结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法．

解：（1）2π•10=nπ•40÷180° n=90°， AM=

=20

．

（2）∵锥角为60°， ∴底面半径的长和母线的长相等， 但缺少母线的长．（3）①因为银银的数据不合理，因为慧慧缺少条件． ②（1）展成平面图形．

（2）知道母线的长，知道扇形的圆心角度数，以及M是SA的中点，根据三角函数或者构造直角三角形来求解

．

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