山东省烟台市2021高三上学期期末考试数学试题

高三数学

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求。

1.已知集合P{x|0x4}，Q{x|ylg(x3)}，则PQ

D.{x|0x3}

A.{x|3x4} B.{x|3x4} C.{x|0x3}

2.已知命题p:xR，x+x0，则p为

A.x0R，x0+x00 C.xR，x+x0

B.x0R，x0+x00 D.xR，x+x0

3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S952，S422，则a7 A.4

B.5

C.6

D.7

4.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品. 如图所示，现有棱长为2cm的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则

该饰品的表面积为（单位：cm）

2A.1243 B.1643

C.1233 D.1633 5.若3cos28sin5，则tan

A.25 5B.

25 5C.5 3D.25 56.右图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以452m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延 伸，OA10m，AB100m，现计划从B处起修一条新路与道 路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的 B最小长度为（单位：m）

B.1003

D.1503

C北东OAA.1002 C.1502 7.如图所示，平面向量OA,OB的夹角为60，点P关于点A的对称点为点Q，|OB|2|OA|2，点Q关于点B的对称点为点R，则|PR|为

A.3 B.23 C.4 D.无法确定

cosx,x08.已知函数f(x)，若方程f(x)f(x)0有n个不同的实根，从小到大依次为

kx,x0x1,x2,x3,,xn，则下列说法错误的是 ．．

A.x1x2x3xn0 B.当n1时，k1

C.当n3且k0时，tanx31 x3D.当k1时，n3 2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9.将函数ycos(2x3)的图象向左平移

4个单位长度得到函数f(x)图象，则

A.ysin(2x3)是函数f(x)的一个解析式

B.直线x7是函数f(x)图象的一条对称轴 12C.函数f(x)是周期为的奇函数

D.函数f(x)的递减区间为[k5,k](kZ) 121210.已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，过F且斜率为22的直线交抛物线C于A、

2B两点，其中A在第一象限，若AF3，则

3 C.以AF为直径的圆与y轴相切 D.OAOB3 2A.p1 B.BF11.已知a0，b0，下列命题中正确的是

A.若ab2，则lgalgb0 B.若aba2b0，则a2b9

C.若ab2，则

111a115，则abab1466  D.若

bab22a1b2312.已知函数f(x)x(e1)，g(x)(x1)lnx，则 A.函数f(x)在R上无极值点

B.函数g(x)在(0,)上存在唯一极值点

xC.若对任意x0，不等式f(ax)f(lnx)恒成立，则实数a的最大值为

22 elntD.若f(x1)g(x2)t(t0)，则的最大值为

x1(x21)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1 ex2y213.已知F1,F2为双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点，过F1作x轴的垂线交C于A、

abB两点，若|AB|2|F1F2|，则C的离心率为 . 14.已知数列{an}满足a12，amanamn(m,nN)，用[x]表示不超过x的最大整数，则

数列{[log2an]}的前10项和为 . 15.测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量某建筑物高度，如图所示， 已知该建筑物CP垂直于水平面，水平面上两点A,B的距离

P 为200m，PAB60，PBA45，PAC30，则该

ACB建筑物CP的高度为 （单位：m）.

16.一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式V3(3Rh)h2，其中R为球的半径，h为球缺的高.若一球

与一棱长为6的正四面体的各棱均相切，则该球的半径为 ，该球被此正四面体的一个侧面所截得的球缺（小于半球）的体积为 .（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10分）

在①3acosACbsinA， 2②abcosC3csinB，

③(2ac)(abc)2abccosC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

222 问题：已知ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c，b2， ，求ac的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）

已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，a11，S313. 9（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn(2n1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

19.（12分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD底面ABCD，M为线段PC的中点，PDAD，N为线段BC上的动点. （1）证明：平面MND平面PBC；

（2）当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30？指出点N的位置，并说明理由.

20.（12分）

在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机的着陆点为原点O，飞机降落曲线大致为yaxbx，其中x（单位：m）表示飞机距离着陆点的水平距离，y（单位：m）表示飞机距离着陆点的竖直高度. 假设飞机开始降落时的竖直高度为

32PMDABNC距离着陆点的水平距离为x0，飞机在整个降落过程中始终在同一个竖直平面内飞行，4500m，

且飞机开始降落时的降落曲线与水平方向的直线相切. （1）用x0分别表示a和b；

（2）若飞机开始降落时的水平速度150m/s，且在整个降落过程中水平速度保持不变，另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度y(t)（即y关于降落时间t（单位：s）的导函数

y(t)的导数）的绝对值不超过1m/s2，求飞机开始降落时距离着陆点的水平距离x0的最小值.

21.（12分）

x2y211ab0)的离心率为，F1,F2为椭圆C的左、右焦点，过F1斜率已知椭圆C:22（ab2不为零的直线l1交椭圆于P,Q两点，F2PQ的周长为8. （1）求椭圆C的方程；

（2）设A为椭圆C的右顶点，直线AP,AQ分别交直线l2:x4于M,N两点，试判断以MN为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由.

22.（12分）

已知函数f(x)eax1(aR，e为自然对数的底数）.

x（1）若f(x)在定义域内有唯一零点，求a的取值范围； （2）若f(x)xe在[0,)上恒成立，求a的取值范围.

2x