高考数学考前100个提醒

回归课本: 高考数学考前100个提醒

高三三轮复习资料

一、集合与简易逻辑

1、区分集合中元素的形式，如x|ylgx，y|ylnx，(x,y)|ykxb. 解题时要利用数形结合思想尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具； 2、已知集合A、B，当AB时，切记要注意到“极端”情况：A或B；

求集合的子集时别忘记；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

n012nn3、含n个元素的有限集合的子集个数为2CnCnCnCn,真子集为21 ，，其非空子集、非空真子集的个数依次为21 22.

4、反演律(摩根律)：Cu(AnnB)CuACuB,Cu(AB)CuACuB.

容斥原理:card（AB）=card（A）+ card（B）- card（AB）. 5、A∩B=AA∪B=BABCU BCU AA∩CU B=CU A∪B=U. 6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题(正难则反)。 7、原命题: pq; 逆命题: qp; 否命题: pq；

逆否命题: qp；要注意利用“互为逆否的两个命题是等价的”来解题. 8、若pq且qp，则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）; 9、注意命题pq的否定与它的否命题的区别: 命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定.

命题pq的否定是pq；否命题是pq. 10、要熟记真值表噢！常见结论的否定形式如下：

原结论 否定 原结论 否定

是 不是 至少有一个 一个也没有

都是 不都是 至多有一个 至少有两个

大于 不大于 至少有n个 至多有n1个

小于 不小于 至多有n个 至少有n1个

对所有x,成立 存在某x,不成立 p或q p且q

对任何x,不成立 存在某x,成立 p且q p或q

二、函数与导数

11、 函数f: AB是特殊的对应关系．特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个． 函数的三要素：定义域,值域,对应法则．

研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则．

R；k0 ，R.(k≠0), b=0时是奇函数; 12、一次函数: ykxb，k0 ，依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题.

二次函数：①三种形式:一般式f(x)ax2bxc(a0) (轴-b/2a,顶点?); b=0为偶函

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

数;顶点式f(x)a(xh)2k(a0) (轴?);零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0); ②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; ③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 反比例函数:yc(x0)平移xmnybc的对称中心为(a, b) . xa13、指数式、对数式：aloga10，logaa1，a01，，lg2lg51，1manlogexlnx，abNlogaNb(a0,a1,N0)，alogaNN(对数恒等式).

a，anmmn要特别注意真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数还需讨论的呀. 对数的换底公式及它的变形，logab14、你知道函数ylogcbn,loganbnlogab,logambnlogab. logcamab]或[ab,)上单调

xbaxa0,b0吗？该函数在(,递增；在[ab,0)或(0,ab]上单调递减，求导易证，这可是一个应用广泛的函数！ 对号函数yxa0),(0，)上为增函数; 是奇函数, a0时,在区间(，xa0时,在(0，a],[a,0)递减,在(，a],[a,)递增.要熟悉其图像噢.

315、确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等． 注意：①. f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)x

在(,)上单调递增，但f(x)0，∴f(x)0是f(x)为增函

数的充分不必要条件。

②. 单调区间是最大范围，注意一定不能写成“并”.

③. 复合函数由同增异减判定、图像判定.作用:比大小,解证不等式.

16、奇偶性：f(x)是偶函数f(x)f(x)f(|x|)，脱号性，避免讨论;

f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数必定过原点(f(0)=0); 定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分条件。

奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数则为相反的单调性；

注意：既奇又偶的函数有无数个 (如f(x)0，只要定义域关于原点对称即可)．

17、周期性:①函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2a的周期函数；

②若f(xa)1(a0)恒成立，则T2a； f(x)③满足条件fxafxa的函数的周期T2a.

18、图象变换: “左加右减”（注意是针对x而言）、 “上加下减”(注意是针对f(x)而言).

①函数yfxa的图象是把yfx的图象沿x轴向左(a0)或向右(a0)平移a个单位得到的； ②函数yfx+a的图象是把yfx的图象沿y轴向上

(a0)或向下(a0)平移a个单位得到的； ③函数yfax(a0)的图象

1是把函数yfx的图象沿x轴伸缩为原来的倍得到的； ④函数yafx

a

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

(a0)的图象是把函数yfx的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

19、函数的对称性: ①满足条件faxfax的函数的图象关于直线xa对称；

②点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)；③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)； ④函数yfx关于原点的对称曲线方程为yfx；

⑤点(x,y) 关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的对称

曲线的方程为f(y,x)0；点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线

f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x)0.

ab区别:若faxfbx,则f(x)图像关于直线x对称（自对称）; 2函数yf(xa)与yf(bx)的图像关于直线x两函数yfax与yf(bx)关于直线xab2互对称；

ba互对称.(由axbx确定). 2⑥如果函数yfx对于一切xR，都有f（ax）f（ax）2b， ⑦形如yaxb(c0,adbc)的图像是双曲线，对称中心是点(d,a).

cxdcc⑧|f(x)|的图象、f(|x|)的图象你会画吗？

20、几类常见的抽象函数模型 ：借鉴模型函数进行类比探究。

①正比例函数型：f(x)kx(k0) ---------------f(xy)f(x)f(y)；

f(x)； f(y)f(x)x③指数函数型：f(x)a ----f(xy)f(x)f(y)，f(xy)；

f(y)x④对数函数型：f(x)logax ---f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)；

yf(x)f(y)⑤三角函数型：f(x)tanx ----- f(xy)。

1f(x)f(y)②幂函数型：f(x)x --------------f(xy)f(x)f(y)，f()2xy21、反函数: 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你别忘记注明该函数的定义域哟！ ①函数存在反函数的条件是一一映射； ②奇函数若有反函数则反函数是奇函数； ③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数； ④互为反函数的两函数具有

相同的单调性； ⑤f(x)定义域为A,值域为B,则有还原性：f[f1(x)]x(xB),

f1[f(x)]x(xA)； ⑥单调函数必有反函数，但反之不然，如y

原函数与反函数图象的交点不全在y=x上（如：单调递减函数y则交点都在y=x上；yf22、题型方法总结

11. x

1），但单调递增函数xxa只能理解为yf1x在x+a处的函数值。

Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同. Ⅱ求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型.

（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。 这里值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。 Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?偶次根式被开方数?对数真数?底数?零指数幂的底数?)实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域； Ⅳ求值域:①配方法；②逆求法（反求法）； ③三角有界法；④单调性法；⑤数形结合； ⑥换元法： 运用换元法时，要特别注意新元t的取值范围； ⑦分离参数法;

⑧不等式法――利用基本不等式ab2ab(a,bR)求函数的最值。

⑨判别式法； ⑩导数法.

Ⅴ解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.

Ⅵ恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题. a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

Ⅶ利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、 递推法、反证法等）进行逻辑探究。如：若xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：奇函数）；

23、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是指：曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处 切线的斜率,即kf(x0),切线方程为yy0fx0xx0.

24、常见函数的导数公式:C0(C为常数)；(xn)nxn1(nQ)． 25、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条;

/

⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f(x)≥0得增区间;

//

解不等式f(x)≤0得减区间;注意f(x)=0的点; ⑶求极值、最值步骤:求导数;求f(x)0的根;检验f(x)在根左右两侧符号,若左正右负,

则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.

特别提醒：（1）x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是

fx0＝0，fx0＝0是x0为极值点的必要而不充分条件。

（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x0)0，又要考虑

检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，

这一点一定要切记！千万别上当噢.

三、数列

S1(n1)26、an, 注意一定要验证a1是否包含在an 中,从而考虑要不要分段.

SS(n2)n1n｛an｝等差anan1d(常数)2anan1an1(n2,nN*,等差中项) 27、

ananb(一次、线性关系)SnAn2Bn(常数项为0的二次);

a,b,A,B?;在等差数列中

ana1a2n1S2n1Sn;仍成等差数列； bnb1b2n1T2n1nan2an-1an1(n2,nN)a｛an}等比nq(定值);

an1an0

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

n1n ana1qsnmmq;m?

28、首项为正的递减(或首项为负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,

转化为解不等式组an0an1an0(或),或用二次函数处理;(等比前n项积?……). 0an1029、等差数列ana1(n1)d;sn等比数列中ana1qn1a1ann(n1)n(n1)nna1dnan(d); 222a1(1qn)a1anq; 当q=1,Sn=na1 ；当q≠1,Sn==.

1q1q30、常用性质：等差数列中：anam(nm)d；若mnpq，则amanapaq；

nm等比数列中：anamq； 若mnpq，则amanapaq；

31、常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、1{anbn}、、

bnana等比;{an}等差,则c(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c1)等差. bnn32、三数等差可设为ad,a,ad; 四数a3d,ad,ad,a3d;

等比三数可设

aaa,a,aq；四个数成等比的错误设法：3,,aq,aq3 (为什么？ q2>0) qqq33、等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……

仍为等差数列,公差为md；等比数列an的任意连续m项的和（且不为零时）

2构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列,公比为q. 注：公比为-1，n为偶数时就不对，此时S4、S8-S4、S12-S8、…不成等比数列？ 34、等差数列an,①项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an ;

②项数为2n时，则

S偶S奇q;项数为奇数2n1时，S奇a1qS偶.

m35、求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减法、倒序相加法.关键是要找准通项结构.

在等差数列中求Sna1a2...ana1a2......amam1...an； 在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论：q1时，Snna1；

a1(1qn)q1时，Sn.在等比数列中你还要时刻注意到q0.

1q常见和：123nn(n1)22，122n21n(n1)(2n1)，

6

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

122n(n1)2. ]；

2123...nnn1n11(1) 你还记得常用裂项形式(拆项消去法)吗？ 如： ；

(n1)!n!(n1)!132333n3[11112n1111()；; 11；2222n(n1)nn1n(nk)knnk(n1)nn(n1)111111111[][()()] ；

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)2nn1n1n2n212111n1n; 11; n21n21n1n1n1n常见放缩公式：2(n1n)2n1n1n2nn12(nn1)．

36、求通项常法: （1）已知数列的前n项和Sn,你现在会求通项an了吗？（2）先猜后证; （3）叠加法(迭加法)：an(anan1)(an1an2)叠乘法(迭乘法)：

(a2a1)a1；

anaaaaann1n232. a1an1an2an3a2a1n（4）构造法(待定系数法):形如ankan1b、ankan1b（k,b为常数）的递推数列。

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决. （6）倒数法 形如anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan1b37、“分期付款”中的单利问题、复利问题你熟悉吗？

四、三角

38、一般说来，周期函数加绝对值或平方，其周期减半．（如ysinx，ysinx

的周期都是, 但ysinxcosx的周期为

2π，ytanx的周期为）． 22,2弧长公式l||R,扇形面积公式S1lR1||R,1弧度57.305718.

2239、函数y=Asin(x)b（0,A0）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=

频率?=kπ时奇函数;

=kπ+时偶函数.③对称轴处y取最值,对称中心处y为0;

2 （问问自己：正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称轴、对称中心你熟记了吗？）

求单调区间：①确保x系数为正；②让角进入单调区间;

④变换:

正左移负右移；b正上移负下移;

左或右平移||1横坐标伸缩到原来的倍ysinxysin(x)ysin(x)

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

ysinxysinxysin(x); 纵坐标伸缩到原来的A倍上或下平移|b|yAsin(x)yAsin(x)b.

1横坐标伸缩到原来的倍左或右平移||40、解斜三角形ABC,易得：ABC,

①sinAsinBAB; abABsinAsinB;

2②锐角ABC中,AB90sinAcosB,cosAsinB,tanAcotB,

a2b2c2; 类比得钝角ABC结论．

③tanAtanBtanCtanAtanBtanC,射影定理abcosCccosB； ④正弦定理:

sin2Asin2BAB或A+B;

abc2R; 内切圆半径r=2SABC;

abcsinAsinBsinC222 ⑤余弦定理：abc2bccosA,cosA⑥SABCbca2bc222(bc)a2bc221;

11abcahaabsinCpr224Rp(pa)(pb)(pc),p?

⑦术语:坡度、仰角、俯角、方位角、方向角.

41、在三角中， 1sinxcosxsecxtanxtanxcotxtan22224sin2

cos0这些统称为1的代换，常数“1”的代换有着广泛的应用．

42、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视为锐角) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

记住奇,偶,象限指什么？三角函数“正号”记忆口诀：“一全正二正弦,三两切四余弦”． 43、重要公式：如sin21cos21cos22；cos； 22tan21cossin1cos1sincos;

1cos1cossin1sincos22221tan2cos2cossin2cos112sin;

1tan2sin33sin4sin3,cos34cos33cos.

巧变角(角的拆拼)：如()()，()(),

2()()，2()()，22

44、辅助角公式：asinxbcosx2，

22等.

a2b2sinx(其中角所在的象限由a,

b确定)在求最值、化简时起着重要作用. ab的符号确定，角的值由tan在用反三角函数表示直线的倾斜角、两向量的夹角、两条异面直线所成的角等时，

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

你要注意到它们各自的取值范围及意义：①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是0,,[0,],[0,]；

22 ②直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角的取值范围依次是[0,),[0,),[0, ③向量的夹角的取值范围是[0,].

2]；

五、平面向量

45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、逆向量、共线向量、相等向量、平行向量.

注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） ．．46、加、减法的平行四边形与三角形法则: ABBCAC;ABACCB.

47、ababab,向量数量积的性质：设两个非零向量a，b,其夹角为,则：

①aba•b0;若a(x1,y1)，b(x2,y2),则a//b,ab的充要条件要熟记. ②aa•aa,a22a；|a•b||a||b|.

248、想一想如何求向量的模？a在b方向上的投影是什么？ (是个实数,可正可负可为零!). 49、 若e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a1e12e2(1,2唯一).

特别：OP＝1OA2OB则121是三点P、A、B共线的充要条件。 50、三角形中向量性质：①ABAC过BC边的中点：(1AB|AB|AC|AC|)(AB|AB|AC|AC|)；

②PG(PAPBPC)GAGBGC0G为ABC的重心；

3GAGBGC最小;

③ H为ABC的垂心HAHBHBHCHCHA,

HA＋BCHB＋CAHC＋AB；

④|BC|PA|CA|PB|AB|PC0P为ABC的内心；向量(ABAC)

|AB||AC|(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

外心OOAOBOC;

⑤向量面积公式你记住了吗？设A(xA,yA),B(xB,yB),SAOB11 SABC|AB||AC|sinA|AB|2|AC|2(ABAC)2．

2212222222222222xAyBxByA．

51、定比分点公式中P分P1P2的比为,则P1P=PP2,＞0内分;＜0且1外分.

OP＝

OP11OP2;若λ＝1 则OP＝(OP2);设P(x,y),P1(x1,y1), 1+OP21

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

xP2(x2,y2)则yx1x2x3x1x2x1x2xxG132 ;中点 ； 重心;

y1y2yy1y2yy1y2y3G12352、平移公式你记住了吗?（这可是平移问题最基本的方法）.

六、不等式

53、如果不等式两边同时乘以一个代数式，如果正负号未定，要注意分类讨论噢!

54、比较大小的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号

得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ； (8) 图象法。

a2b2ab2ab(a,b0); 55、常用不等式：1122abx11xyxy112或x2;2或2;(ab)4(a,b0) xxyxyxab111(abc)9(a,b,c0).

abcab利用重要不等式ab2ab 以及变式ab等求函数的最值时，你要注意

2到a，bR，且“等号成立”时的条件？积ab或和a＋b其中之一应是定值。 注意：①一正二定三等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方. 56、|a||b|abab (何时取等号？)；|a|≥a；|a|≥－a.

57、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比、平方差比；

②综合法—由因导果; ③分析法--执果索因．基本步骤：要证…需证…,只需证…； ④反证法--正难则反。 ⑤放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的：

⑴添加或舍去一些项，如：a1a；n(n1)n. ⑵将分子或分母放大（或缩小），如：

221111,. n2n(n1)n2n(n1)lg3lg52)lg15lg16lg4；. 2n(n1)⑷利用常用结论：n(n1)，

2⑶利用基本不等式，如：lg3lg5(Ⅰ、k1k1k1k12k；

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

Ⅱ、

11111111 ； （程度大） 22k(k1)k1kk(k1)kk1kk111111() ； （程度小） k2k21(k1)(k1)2k1k1Ⅲ、

⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：

已知xya，可设xacos,yasin；

已知xy1，可设xrcos,yrsin(0r1)；

⑦最值法,如：方程kf(x)有解kD(D为f(x)的值域)；

22222af(x)恒成立a[f(x)]最大值,af(x)恒成立a[f(x)]最小值．

58、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方;④公式法. 不等式的解集的规范书写格式是一般要写成集合的表达式!

解指对不等式应该注意指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.

59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号. 奇穿偶回。在解含有参数的不等式时，是要进行讨论的（特别是指数和对数的底

0a1或a1）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是…．

七、立几

60、位置： ①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法;

②直线与平面呢? ③平面与平面呢?

61、你知道三垂线定理的关键是一面四直线，垂线是关键，垂直三处见，故曰三垂线. 62、求空间角： ①异面直线所成角的求法： （1）范围：(0,2（2）求法： ]；

平移以及补形法、向量法。用“平移法”时要注意平移后所得角是所求角或其补角。 ②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中 最小的角。（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；

③二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法、法向量法。 63、 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间有什么联系?

三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心; 侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则: S侧cosθ=S底;正三角形四心?内切外接圆半径?

64、空间距离: ①异面直线间距离:找公垂线; ②平行线与面间距离(两平行面间

距离)→点到面距离: 直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法hPAnn.

③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

正四面体(设棱长为a)的性质：高h16a，全面积S3a2，体积V3642126a3；

相邻面所成二面角arccos；外接球半径R3a；内切球半径r12a.

直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体)．在直角四面体OABC 中,OA,OB,OC两两垂直,令OAa,OBb,OCc,则⑴底面三角形ABC为锐角三角形；

2 ⑵直角顶点O在底面的射影H为三角形ABC的垂心；⑶SBOCSBHCSABC； 2222 ⑷SAOBSBOCSCOASABC；⑸

1OH21a21b21c2；⑹外接球半径R12 abc．22265、求球面两点A、B距离: 关键是求出球心角。①求|AB|; ②算球心角∠AOB弧度数;

③用公式L球面距离=球心角×R; 纬线半径r＝Rcos纬度.

球内接长方体l4Rabc;S4R2; VR3.

322222466、平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变; 67、立平斜三角余弦公式cos1cos2cos,你熟练掌握了吗?

68、 常用转化思想: ① 构造四边形、三角形把问题化为平面问题; ②将空间图展开为

平面图; ③割补法; ④等体积转化; ⑤线线平行线面平行面面平行;

⑥线线垂直线面垂直面面垂直; ⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化. 69、长方体: 对角线长la2b2c2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长; 已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,因此有

cos2cos2cos21或sin2sin2sin22；若长方体的体对角线与过

同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,则有sin2sin2sin21 或cos2cos2cos22．

八、解析

70、解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几何性质。 ．．．．．．．．．．．．．．．

要注意，但谁也别忘了它还是几何，要注意画图。 ．．71、倾斜角[0,）,

k O   arctank当90时arctankk0k0.斜率ktany1y2Af(x0).

x1x2Bk不存在，但是直线是存在的.

直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0。（截距不是距离” ！）

直线方程: 点斜式 yy0k(xx0);斜截式ykxb;一般式:AxByC0; 两点式:

yy1xx1xy;截距式:1 (a≠0,b≠0);求直线方程时要防止由于

y2y1x2x1ab零截距和无斜率造成丢解, (由局限性，所以设方程的点斜式或斜截式时，就应该 先考虑斜率不存在的情形）。直线Ax+By+C=0的方向向量为a=( B,- A)=(1,k).

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

72、两直线平行和垂直你记住了吗? 点线距dAx0By0CAB22呢?d|C1C2|AB22是什么?

l1到l2的角tank2k1kk(k1k21);夹角tan21(k1k21);

1k1k21k1k273、线性规划：利用特殊点来判断.求x2y2|OP|最值? 求（文科）

74、圆: ⑴圆的标准方程? ⑵圆的一般方程圆心为(D2ybk范围? 整点问题?xa12DE4F;

22,),半径为2Exarcos⑶圆的参数方程：; ⑷圆的直径式方程你会写吗?

ybrsin75、若(x0a)2(y0b)2r2(r2,r2)，则 P(x0,y0)在(xa)2(yb)2r2内(上、外) . 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形。圆的几何性质别忘了。 76、处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆

的方程联立，判别式法。一般来说，前者更简捷。弦长公式l2r2d2. 77、圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系．设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为r,R：相离dRr公切线有4条；外切

dRr公切线有3条；相交|Rr|dRr公切线有2条；内切

内含dRr没有公切线；d0两圆同心． d|Rr|公切线有1条；

78、直线系方程系：过定点、平行、垂直的直线系方程你会设吗？推广:椭圆、双曲线、抛

物线?过曲线f1(x,y)=0与曲线f2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f1(x,y)+λf2(x,y)=0. 过圆C1：x2y2D1xE1yF10,C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆(相交弦)系方程为(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0．

1时为两圆相交弦所在直线方程，即两圆方程相减可得相交弦所在直线方程； 79、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心).

圆x2y2r2上一点P(x0,y0),则过点P的切线方程为：x0xy0yr2；

圆(xa)2(yb)2r2上点P(x0,y0)切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2. 过圆x+y=r外点P(x0,y0)作切线后切点弦方程:x0x+y0y=r; 过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.

2

2

2

2

x2y2xacos80、椭圆: ①方程221(ab0);参数方程;

abybsin②定义: |PF1||PF2|2a|F1F2|;

注意：当2a|F1F2| 轨迹为线段F1F2;2a|F1F2|轨迹为; ③e=c1b2,abc，

2222aa2椭圆有何特性？④长轴长为2a，短轴长为2b; 2

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

⑤焦半径：PF1aex0,PF2aex0(“左加右减”);左焦点弦|AB|2ae(x1x2), 右焦点弦|AB|2ae(x1x2); ⑥通径(最短焦点弦)

1222b2,焦准距p=b; ac⑦SPFF=b2tan,当P为短轴端点时∠PF1F2最大,近地点a-c,远地点a+c;

222x0y0x2y2内221. ⑧点P(x0,y0)在椭圆221ababx2y281、双曲线: ①方程221(a0,b0);等轴双曲线a=b,e2. ab②定义:||PF1||PF2||2a2c,注意：2a|F1F2|是两射线;2a|F1F2|无轨迹.

cb2 ③e=12aa,cab; ④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐近线交点为中心;

22222x0y0 P(x0,y0)在不含焦点的区域221.共轭双曲线有何结论？

ab⑤焦半径|PF1||ex0a|,|PF1||ey0a|;|PF2||ex0a|,|PF2||ey0a|、

焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离;

b2⑥通径(最短焦点弦),焦准距p;⑦SPFF=b2cot;

2acbx2y2⑧渐近线220或yx,令“1”为0即可;焦点到渐近线距离为b;

aba2b21282、抛物线:①方程y22px(p0);②定义: |PF|d; ③顶点为焦点到准线垂线段中点;

范围?轴？焦点F112ppp,0,准线x;④焦半径|PF|x0，，

22|AF||BF|p2p22p2焦点弦|AB|； |x1x2p;y1y2p，x1x24sin22⑤通径2p(最短的弦),焦准距p. 点P在内部y02px00；

⑥已知A、B是抛物线y=2px上的两点，且OAOB.则直线AB过定点M（2p，0）.

2

83、你会用相关点法来求有关的对称问题吗？如：

求对称点:P(a,b)关于直线l:AxByC0对称点P(x0,y0)？

84、相交弦问题: 在用圆锥曲线与直线联立求解消元后要注意：二次项的系数是否为零？判别式0的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0下进行）。 ①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;

注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用; 注意焦点弦可用焦半径公式, 焦点弦长|AB||AF||BF|ed1ed2; 其它用弦长公式:

AB1k2x2x11k2x1k2(x1x2)24x1x2|ax|11y2y1k2

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

②涉及弦中点与斜率问题常用“差分法”.如: 曲线x2y21(a,b>0)上A(x1,y1)、

ab22

B(x2,y2)中点为M(x0,y0),则KABKOM=b2;对抛物线y=2px(p≠0)有KAB＝2p.

22ay1y2垂直问题:OAOBx1x2y1y20OAOB0;

AMB为钝角MAMB0; AMB为锐角MAMB0.

85、轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法 (动点P(x,y)依赖于动点Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用x、y表示x1、y1, 再将x1、y1代入已知曲线即得所求方程---即相关点法)、参数法、交轨法等. 86、解题注意: ①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误;

②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法;

③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程;

④运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程

可设为Ax+Bx＝1;共渐近线ybx的双曲线标准方程可设为x22

2

2aay2(为参数, b22y0,y0);直线的另一种假设为x=my+a; ≠0);抛物线y=2px上点可设为(2p2

⑤解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义. 87、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1）给出直线的方向向量u(1,k)或u(m,n)．等于已知直线的斜率k或（2）给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点; （3）给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;

（4）给出APAQBPBQ,等于已知A,B与PQ的中点三点共线;

（5） 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数,使ABAC；③若存在实

数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线;

nm；

OAOB等于已知P是AB的定比分点，为定比，即APPB;

1（7） 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角;

给出MAMBm0,等于已知AMB是钝角; 给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角;

MAMBMP,等于已知MP是AMB的平分线; （8）给出MAMB（9）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，

等于已知ABCD是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，

等于已知ABCD是矩形;

（6） 给出OP（11）在ABC中，给出OAOBOC，等于已知O是ABC的外心

（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

222

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

（12） 在ABC中，给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心

（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在ABC中，给出aOAbOBcOC0,等于已知O是ABC的内心 （三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （15）在ABC中，给出OPOA(ABAC)(R) |AB||AC|等于已知AP通过ABC的内心； （16） 在ABC中，给出AD1ABAC,等于已知AD 2是ABC中BC边的中线.

九、排列、组合、二项式定理

88、计数原理：分类相加，分步相乘；有序排列，无序组合．

m89、排列数公式: Ann(n1)(nm1)n!m!(nm)!(mn,m,nN*)

n1mmm1n!; nn!(n1)!n!;AnmnAnm0!=1; An. 1;An1AnmAnmAnn(n1)(nm1)n!(mn) 90、组合数公式：Cm!m(m1)(m2)321m!(nm)!mnkk10nmmm11CnCn1;CnmCnnm;Cn;CrrCrr1CrnCrn1;kCnnCn1; 1CnCn91、排列组合主要解题方法：①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问题)； ③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类)．⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以n!．

n0n1n12n2292、二项式定理(ab)CnaCnabCnabrnrrCnabnnCnb，

n122rrnnn22

特别地：(1+x)=1+Cnx+Cnx+…+Cnx+…+Cnx ,(1x)1nx1nxcnx.

rnrrab(r0,1,2,...,n);作用：处理与指定项、特定项、常数93、二项展开式通项: Tr1Cn项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与项的展开式系数；二项式定理中，“系

数最大的项”、“项的系数的最大值”、“项的二项式系数的最大值”不是同一个概念.

94、二项式系数性质: ①对称性: Cn=Cn

m

n－m

xy . CnCnxy或xyn.

②中间项二项式系数最大:n为偶数,中间一项;若n为奇数,中间两项(哪两项?)

anan1求最大系数an (解不等式法).

anan1

高中数学辅导 www.fudanyuan.com

012nn0213n1③二项式系数和CnCnCnCn2;CnCnCnCn2;

95、f(x)=(ax+b)展开各项系数和为f(1);奇次项系数和为[f(1)f(1)];

偶次项系数和为1[f(1)f(1)];(axby)n展开各项系数和,令xy1可得.

2n

1296、二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、 用赋值法求展开式的某些项的系数的和。求二项展开式各项系数代数和的有关问题 中的“赋值法”、“转化法”，求特定项的“通项公式法”、“结构分析法”你要会用.

十、概率与统计

97、随机事件A的概率0P(A)1，必然事件P(A)1，不可能事件P(A)0； 98、⑴等可能事件的概率公式（古典概率）P(A)m； ⑵互斥事件(不可能同时发生的)n有一个发生的概率公式为：P(AB)P(A)P(B)；对立事件(A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一发生): P(A)P(A)1; ⑶相互独立事件(事件A、B的发生互不影响)同时发生的概率公式为P(AB)P(A)P(B)；⑷独立重复试验概率公式

kkPn(k)Cnp(1p)nk为A在n次独立重复试验中恰发生k次的概率；⑸如果事件A与B互斥，那么事件A与B、A与B及事件A与B也都是互斥事件；⑹如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1P(AB)1P(A)P(B)；（6）如果事件A与B相互独立，那么事件A与B至少有一个发生的概率是

1P(AB)1P(A)P(B)．公式的适用条件要记住噢。

99、总体、个体、样本、样本容量？抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法,抽签法);

②分层抽样(用于个体有明显差异时). 共同点：每个个体被抽到的概率都相等

n. N100、总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，

即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）; 直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，

横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.

11n样本平均数：x(x1x2x3xn)xi；

nni1122样本方差：s[(x1x)(x2x)n221n(xnx)](xix)2；

ni12方差s、标准差s用来衡量一组数据的波动大小,方差越大,说明这组数据的波动越大.