一、填空题 1.二项式的展开式中，项的系数为________． 【答案】
【解析】
分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案． 详解：的展开式的通项公式为
令
，则有
故答案-40．
点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题． 2.若，
，用列举法表示________．
【答案】
【解析】 【分析】
分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出
中的元素．
【详解】∵
时，
，
时，， 时，， 时，， 时，， 时，
，
∴，
故答案为：
． 【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知
、
是实系数一元二次方程
的两个根，则
________．
【答案】5 【解析】
【分析】
利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．
【详解】因为、是实系数一元二次方程
的两个根，
∴
+
，
（
整理得：
⇒
，
∴
故答案为：5.
【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题． 4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇． 【答案】18 【解析】 【分析】
由题意按抽样比列出方程，计算可得结果． 【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则
，∴x＝18，
故答案为：18.
【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题. 5.设，
，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数
的反函
数经过点，则
__________.
【答案】2 【解析】 【分析】
根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数
的图象
上，代入数值即可求得a．
【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式
M32
依题意，点（2，1）在函数
的图象上，
- 1 - / 9
将x＝2，y＝1，代入得
故答案为：2．
，解得a＝2．
中，
【答案】【解析】 【分析】
【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．
6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“
”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也
三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角
形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积． 【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是∵
，
，
，得到左视图是一个直角三角形，
∴左视图的另一条直角边长是
可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则
____（其中为虚数单位）．
∴左视图的面积
故答案为
．
【答案】【解析】 【分析】
由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2022，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算
即可.
【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：∴
故答案为-1.
【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题. 7.在三棱锥
中，
，
，
平面
，
．若其主视图、俯视图如图所示，
，
，
【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．
8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____． 【答案】【解析】 【分析】
先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果． 【详解】在12人中要选6人，有
种；
28种；
224种；
280种；
则其左视图的面积为_____．
由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有
6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有26人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有
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故共有280+224+28＝532种． ∴概率为故答案为：
．
，
【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称
所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称 所以所以
故答案为：2.
【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．
9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．
【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.
【答案】【解析】 【分析】
根据分段函数的表达式，即可得到结论． 【详解】由分段函数得当若由
时，
时，
11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合
的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________． ①③
，
,
【答案】②③ 【解析】 【分析】
得
，
.
对②，
的图形在的图形在与
的内部，无交点，不满足； 的外部，无交点，不满足；
有交点，满足；
由题意，
，问题转化为
，均有
与选项有交点，代入验证，可得结论． ，则
，即
与选项有交点，对①，
； ②； ④
．
；
又周期为，所以故答案为：
【详解】由题意对任意的
与
有交点，满足；
【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题. 10.若函数
，是坐标原点，则【答案】 【解析】
12.对任意
【分析】 先分别观察函数所以
和
会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，
数列
满足
，若数列
的前项和的极限存在，则
________．
，函数
满足：
，
，数列
的前15项和为
，
的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、
故答案为②③.
__________.
【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为点是关键．
与选项有交
对③，对④，
在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ
【答案】 【解析】 【分析】
中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.
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由题意可得
，化为
，0≤f（n）≤1，f（n+1）
＝．再根据数列
的前15项和与
．展开代入可得
，解得，．可得
，
，又
则当n为偶数时，
．解
，取极限得
；
出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得. 【详解】∵，
，
∴，
展开为
，，
即0≤f（n）≤1，． 即， ∴，
化为
＝．
∴数列{}是周期为2的数列． ∵数列{}的前15项和为，
∴＝7（
）+
．
又， 解得，． ∴＝
，
＝
． 由
0，f（k+1）
，解得f（2k﹣1）
．
0，f（n+1）
，解得f（2k）
，
又，
令数列
的前n项和为，则当n为奇数时，
，取极限得
；
若数列
的前项和的极限存在，则
，
，
故答案为.
【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考
查了推理能力与计算能力，属于难题． 二、选择题 13.
，则角所在的象限是：（ ）
A. 第二或第三象限 B. 第一或第四象限 C. 第三或第四象限 D. 第一或第二象限
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得
且不是x轴的轴线角，由此可得结论. 【详解】由题意
存在，∴不是x轴的轴线角，又
, ∴
，
∴角所在的象限是第一或第二象限， 故选D.
【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题． 14.如图，已知三棱锥
，
平面
，是棱
上的动点，记
与平面
所成的角为，与直线
所成的角为，则与的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D. 不能确定
【答案】C
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【解析】 【分析】
先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．
【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA, 过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,
到正确选项.
【详解】当|x|＞1时，；
当|x|＜1时，当x＝1时，当x＝﹣1时，
-1； 不存在．
1；
在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos∴cos
cos
cos< cos,又
，cos均为锐角， ∴
，cos
，故选C.
，
∴f（x）
∴只有A选项符合f（x）大致图像，
故选A.
【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．
【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题． 15.已知
，
，则函数
的大致图象是（ ）
16.已知点为椭圆则A.
上的任意一点，点
分别为该椭圆的上下焦点，设
，
的最大值为（ ）
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】
A.
B.
【分析】 先由正弦定理得到P为短轴端点时，cos
C.
D.
【详解】设|由正弦定理可得
【答案】A 【解析】 【分析】
∴
讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得
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．
即有
由椭圆定义可得e，
|＝m，|
，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出 最小，|＝n，|
最大，可得
|＝2c，A，B为短轴两个端点， ，
，从而得到结果.
,
在三角形m+n=2a,cos
中，由
-1=
最小，
最大，
，当且仅当
∴ω2，
∴f（x）＝cos（2x+） 又∵图象经过点
， ），
m=n时，即P为短轴端点时，cos∴∴故选：D．
=
,
∴1＝cos（2∴∴又∵||∴
2kπ，k∈Z， 2kπ，k∈Z， ， ，
）；
【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P为短轴端点时，
最大是解题的关键，属于中档题．
三、解答题 17.函数
部分图象如图所示.
∴解析式为f（x）＝cos（2x（2）g（x）＝f（x）+sin2x ＝cos（2x）+sin2x sin2xsincos2x ）；当
＝cos2xcos
sin2x＝
sin（2x
时，2x， ，当2x（1）求（2）设
的最小正周期及解析式；
，求函数
,
在区间；（2）
上的最大值和最小值. 在区间
上的最大值为
，最小值为
．
当2x综上所述，
时，即x=时，g（x）的最大值为在区间
上的最大值为
，即x=时g（x）的最小值为
．
，
【答案】（1）【解析】 【分析】
，最小值为
【点睛】本题考查由y＝Asin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．
18.如图，已知点在圆柱
的底面圆上，
为圆的直径．
，从而可求ω；再由图象经过点（
sin（2x，1），可求得；
（1）由图可知A＝1，
（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝的最大值和最小值． 【详解】（1）由图可知：∴T＝π，
），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）
，A＝1，
（1）若圆柱示结果）；
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的体积为
，
，
，求异面直线
与
所成的角（用反三角函数值表
（2）若圆柱离．
的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距称为视角．
【答案】（1）异面直线【解析】 【分析】
与所成的角为；（2）．
（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间
直角坐标系，求出
与
的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．
（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．
【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴， 建立空间直角坐标系． 由题意圆柱
的体积为
=4
，解得AA1＝3．
，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．
（1）当运动员带球沿着边线
奔跑时，设到底线的距离为
码，试求当为何值时
最大；
易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），得设
与
，
，
（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于
的中点为原点建立如图所示的直角坐
底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以
的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，
标系，求在球场区域
则
，得
，
【答案】(1) 【解析】
即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos
．
【分析】 （1）要求得
（2）设点
，其中
，
，将
最大，只需
最大，利用
内射门到球门 (2)见解析
的最佳射门点的轨迹.
，将其展开后表示为关于x
的函数，利用基本不等式求得最值.
表示为关于x、y的函数，利用基
本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..
（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体两点在球上的球面距离为
的外接球球心在A1B的中点，所以R=.
,此时
=，所以
【详解】（1）
【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概
，
念及公式，属于基础题.
19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中所在的直线，球门
是足球场地边线
当且仅当
，即
时，
取得最大值
，
处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角
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又∴
在，
上单调递增，∴当取得最大值于，设点
取得最大值时，；
最大，
【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，
∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为
（2）过点作
，其中
，
，
（2）将
∴
得即
，
设将
当且仅当
，即
时，
取得最大值
，
代入的中点坐标为不满足
的一部分．
（3）
，解得，，得
在对称轴上，∴
代入
，由题意，或，
，
，则，消去，
，
，焦点坐标为；
（舍），此时，，，
，
，解得
，
此时轨迹方程为其表示焦点为
，
，实轴长为8的等轴双曲线在
，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；
，两焦点坐标为
、
，
，
【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题． 20.已知曲线的方程为（1）当（2）若直线
．
∴
，试问此时曲线上是否存在不同的
用可得
（3）当为大于1的常数时，设点到直线的距离，
是曲线上的一点，过点作一条斜率为
的直线，又设为原
∴
分别为点与曲线两焦点的距离，求证
是一个定值，并求出该定值．
【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题． 21.数列
满足
的通项； 满足
为等比数列；
，其中
．
对任意的
恒成立，为其前项的和，且
．
．
替换
，∴
中的
，
，
，
，即
，
时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；
交曲线于点、，线段
中点的横坐标为
两点、关于直线对称？
【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为【解析】 【分析】
； (2) 见解析；(3)见证明
（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状； （2）将
代入曲线，利用PQ中点的横坐标为
，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．
化简得到定值.
（1）求数列（2）数列①证明：数列
（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入
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②求集合．
【答案】(1) (2) ①见证明；②
【解析】
【分析】
（1）设等差数列{an}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{an}的通项公式； （2）①设数列{bn}前n项的和为Bn．根据bn＝Bn﹣Bn﹣1，数列{bn}满足
．建立关系即可求解；
②由，得
，即
．记
，由①得，
，
由
，得cm＝3cp＞cp，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由
，得
．
讨论整数成立情况即可；
【详解】（1）设等差数列
的公差为，因为等差数列满足
，前8项和
，解得
所以数列
的通项公式为
（2）①设数列
的前项和为
，由（1）及
得
上两式相减，得到
=
所以 又
，所以
，满足上式，
所以
当
时，
两式相减，得
，
，
所以 所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．
②由，得，即，∴．
令，显然，此时变为
，即
，
当
时，，不符合题意； 当
时，，符合题意，此时；
当时，，不符合题意； 当
时，，不符合题意； 当
时，
，不符合题意； 下证当
，
时，方程
：
∵
∴
∴
，显然，从而
当
，
时，方程
没有正整数解．
综上所述：
．
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．
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