高中数学 2二项式定理(带答案)

一．二项式定理

1.右边的多项式叫做ab的二项展开式

r 2.各项的系数Cn叫做二项式系数

n

3.式中的Cnarnrbr叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第r1项，即

rnrrTr1Cnab(r0,1,2,,n).

r 4.二项展开式特点：共r1项；按字母a的降幂排列，次数从n到0递减；二项式系数Cn中r从0到

n递增，与b的次数相同；每项的次数都是n.

二．二项式系数的性质

mnm性质1 ab的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即CnCn mm1m性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即CnCnCn1 01n性质3 ab的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2，即CnCnnnnCn2n.

（令ab1即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ab的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项

的二项式系数的和，即

02 CnCn2rCn13CnCn2r1Cnn2n1.

（令a1,b1即得）

性质5 ab的二项展开式中，当n为偶数时，中间一项的二项式系数C取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数C

n12nnn2n,Cn12相等，且同时取得最大值n.（即中间项的二项式系数最大）

【题型精讲】

题型一、展开式中的特殊项

1n21．(x)的展开式中，常数项为15，则n=

xA．3 B．4 C．5 D．6 2.在1xnnN的二项展开式中，若只有xn5的系数最大，则n

A．8 B. 9 C. 10 D.11

23．如果3x23的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）

xＡ．3

Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10

题型二、展开式的系数和

1.已知12x100a0a1x1a2x12a100x1.

a99；

100 求：（1）a0；（2）a0a1a2a100（3）a1a3a5

32.（江西理4）已知x展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于3x（ ） Ａ．4

Ｂ．5

Ｃ．6 Ｄ．7

2923.（江西文5）设(x1)(2x1)a0a1(x2)a2(x2)na11(x2)11，则a0a1a2a11的值为

（ ） Ａ．2 于 .

Ｂ．1 Ｃ．1

Ｄ．2

5235 4.(安徽文12)已知(1x)a0a1xa2xa3xa4x4a5x, (a0a2a4)(a1a3a5) 的值等

题型三、一项展开:拆成两项

1.2除以9的余数是（ ）

A．1 B．2 C．4

33

D．8

题型四、多项展开：

1.（|x|＋

13

－2）展开式中的常数项是（ ） |x|B．－12 C．20 D．－20

2A．12

2.求1x1x1x 展开式中x3项的系数.

n

二项式定理

1、展开式中的特殊项

nn2n11n21．解．(x)的展开式中，常数项为15，则Cn3(x)3()315，所以n可以被3整除，当n=3时，

xx212C3315，当n=6时，C615，选D。

2.答案】C 解析】只有x的系数最大，x是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=10

3．答案：选Ｂ

r解析：由展开式通项有Tr1Cn3x552nrr2rnrC32x2n5r n3xr由题意得2n5r0n2、展开式的系数和 1.31005rr0,1,2,2,n1，故当r2时，正整数n的最小值为5，故选Ｂ

、510051001、

2a11；左边把x1代入

2.解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n=64，所以n=6，选C 3.解析：令x2=1，右边为a0a1a2(x21)(2x1)92(1)92，a0a1a2∴a0a2a4(a1a3a5)16 则 (a0a2a4)(a1a3a5)=－256 3、一项展开:拆成两项

a112.选A.

52354.解析：已知(1x)a0a1xa2xa3xa4x4a5x,

1解析：28(91)C119C119C119C119C119(C119

92810010192810C1119C119C11)19(C119C119C119C111)8,

331111011110291011010故余数为8，选D． 4、多项展开：1.解法一：∵(|x|∴展开式的通项为 令6－2r＝0，得r＝3

33

1162)3(|x|) |x||x|1rr)C6(1)r·(|x|rTr1C6(|x|)6r·(|x|)62r

∴T4＝C6 （－1）＝－20 ∴所求常数项为－20．

(1|x|)613

解法二：∵（|x|＋－2）＝ 3|x||x|∴（1－|x|）中|x|的系数A＝C36 （－1）＝－20就是展开式的常数项．

6

3

3

评注：此题也可把其中的某两项看作一项对待，然后用二项式定理展开，但较繁，以上两种转化方式是比较实用的．

3332.C3C4Cn