高二数学椭圆的性质

上海市控江中学 杨慧

一、教学内容分析

掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握a,b,c几何意义以及a,b,c的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法.利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力.通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体验合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，学生逐渐体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质 二、教学目标设计

掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质.能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形．学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等.在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 三、教学重点及难点

重点：椭圆的几何性质及初步运用

难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题 四、教学流程设计

运用与深化(例题解析、巩固练习) 椭圆的对称性 椭圆的几何性质 椭圆的标准方程 椭圆的顶点 椭圆的范围 直线与椭圆的位置关系

五、教学过程设计

一、引入课题

“曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课 （一） 对称性

问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？

x代x后方程不变，说明椭圆关于y轴对称；

y代y后方程不变，说明椭圆曲线关于x轴对称；

x、y代x，y后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；

问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？

以把x换成－x为例，如图在曲线的方程中，把x换成－x方程不变，相当于点P（x，y）在曲线上，点P点关于y轴的对称点Q（－x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．其它同理.

相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

（二） 顶点

问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？

在椭圆的标准方程中，令x0，得yb，y0，得xa 顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点.

顶点坐标；A1(a,0),A2(a,0)，B1(0,b),B2(0,b).

相关概念：线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.

在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a,b，c就有了明显的几何意义.

222问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令acb能使方程简单整齐，其几何意义是什

么？

c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，联结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角

形，在直角三角形内，OF2（三） 范围

问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围．

2B2F22OB2，即a2c2b2.

2x2y2y2x2221变形为：10，xaxaaxa 2222abba这就得到了椭圆在标准方程下x的范围：axa

同理，我们也可以得到y的范围：byb 问题2：思考是否还有其他方法？ 方法一：可以把的范围；

x2a2xy1看成sin2cos21，利用三角函数的有界性来考虑,abb2y2x2方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以21，

a同理可以得到y的范围

由椭圆方程中x,y的范围得到椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形里. 三、例题解析

例1 已知椭圆的方程为9x4y36.

（1） 求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标;

（2） 写出与椭圆9x4y36有相同焦点的至少两个不同的椭圆方程. 解：解答见书本P48

2222[说明] 这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用.

例2（1）求以原点为中心，一个焦点为(0,1),且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程; （2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程.

解：（1）由题意可知：c1,a222222b1，a2; 2b，由abc，有2bb1，

2y椭圆的标准方程为：x1. 2x2y2x22y1或1. （2）4164[说明] 此题利用椭圆标准方程中a,b,c的关系来解题，要注意焦点在x轴上或y轴上的椭圆标准方程.

x2y21，当k在何范围取值时， 例3已知直线kxy30与椭圆164（1） 直线与椭圆有两个公共点； （2） 直线与椭圆有一个公共点； （3） 直线与椭圆无公共点.

ykx3222解：由x2可得(4k1)x24kx200 16(16k5)； y21164（1）当16(16k5)0即k255或k时，直线kxy30与椭圆44x2y21有两个公共点； 164（2）当16(16k5)0即k255或k时，直线kxy30与椭圆44x216y241有一个公共点；

55x2y2k1（3）当16(16k5)0即时，直线kxy30与椭圆441642无公共点.

[说明] 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0（2）直线与椭圆相切0（3）直线与椭圆相离0，所以判定直线与椭圆的位置关系，运用方程及其判别式是最基本的方法.

x2y21恒有公共点，求实数m的取值范围. 例4若直线ykx1(kR)与椭圆5m解法一：

ykx12222m5k10即(5km)x10kx55m0由x2可得，y1m5m5k211

m1且m5.

解法二：直线恒过一定点(0,1)

当m5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长bm，要使直线与椭圆恒有交点则m1即

1m5

当m5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a综述：m1且m5 解法三：直线恒过一定点(0,1)

5可保证直线与椭圆恒有交点即m5

02121即m1 要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1)在椭圆内部

5mm1且m5

[说明]法一转化为k的恒成立问题；法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭

xy圆内部这一特征：点M(xo,yo)在椭圆内部或在椭圆上则o2o21.

ab例5 椭圆中心在原点，长轴长为103，一个焦点F1的坐标(0,5)，求经过此椭圆内的一点

2211M(,)，且被点M平分的弦所在的直线方程.

22y2x2222ya53,c5，1.bac50，解：由已知，且焦点在轴上，椭圆方程为

7550设过点M的直线交椭圆于点A(x1,y2)、B(x2,y2).M是弦AB的中点，则

y12x1217550x1x21,y1y21，将A,B两点的坐标代入椭圆方程，2，两式相减整理

2y2x217550得：

y1y23xx233

1，即k.

x1x22y1y222

所求的直线方程为y131(x)，即6x4y50. 222[说明]此题因为涉及椭圆的弦中点问题，除通法外，可以优先考虑“点差法”.但需注意两点：1）斜率是否存在？2）应检验直线和椭圆是否相交？即联立直线和椭圆方程，得到关于x或y的一元二次方程，检验其根的判别式是否大于0？

x2y21中斜率为1的平行弦的中点的轨迹. 例6求椭圆4解：见书本P50

[说明] 此题因为涉及椭圆的弦中点问题，本题也可使用“点差法”.

x2y21的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于例7 已知椭圆21A,B两点，求⊿ABF2的面积

解法一：由题可知：直线lAB方程为2xy20

y2x22由x2,可得9y4y40， y2112y1y2(y1y2)24y1y21410F1F2y1y2. 29410, 9S解法二：F2到直线AB的距离h45, 5y2x221022由x2可得9x16x60，又AB1kx1x2, y21912S1410ABh. 292[说明] 在利用弦长公式AB1k韦达定理解决问题.

x1x211y1y2（k为直线斜率）应结合2k10x2y2例8 已知直线yx1交椭圆221于P,Q两点，PQ，OPOQ，求椭

2ab圆方程.

解：为简便运算，设椭圆为mxny1，(m0,n0,mn)

22mx2ny21mx2n(x22x1)1，，整理得： yx1(mn)x22nxn10 （1）

x1x2n12n，x1x2，设P(x1,y1)、Q(x2,y2)， mnmnOPOQ，x1x2y1y20，即x1x2(x11)(x21)0，有mn2.

方程（1）变形为：2x2nxn10.x1x2n,x1x22n1. 231nn105222PQ，x1x2，有4n8n30，得：，

22m1m3222222x3yy3x椭圆的方程为1或1. 2222[说明] 应注意P,Q两点设而不求，善于使用韦达定理. 四、巩固练习

练习12.4（1）;练习12.4（2）

五、课堂小结 1．椭圆的几何性质 标准方程 x2y21（a＞b＞0） a2b2 y M F1 O x y2x21（a＞b＞0） a2b2y F2 O F1 M x 图形 范围 F2 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 性顶点 （a，0）、（－a，0）、（0，b）、（0，－b） （0，a）、（0，－a）、（b，0）、（－b，0） 质 焦点 两轴 焦距 F1（－c，0）、F2（c，0） 长轴长2a，短轴长2b |F1F2|＝2c，c＝a－b 222F1（0，－c）、F2（0，c） 2．直线与椭圆位置关系如何判断 3．弦长问题和弦中点问题

4．有关弦中点问题，“点差法”的应用 六、课后作业 练习册相关习题 补充作业：

1．椭圆axby1与直线y1x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为

223a，求 值.

b2x2y22.椭圆1的焦点为F1、F2，过O作直线交椭圆于A、B两点，若ABF2的面积为20，

4520求直线AB方程.

x2y23.已知椭圆221ab0上一点P6,8，F1、F2为椭圆的焦点，且PF1PF2，求椭圆

ab的方程.

4．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为

1，求椭圆方程. 2x25.已知椭圆y21.

2（1） 过椭圆的左焦点F引椭圆的割线，求截得的弦的中点P的轨迹方程； （2） 求斜率为2的平行弦中点Q的轨迹方程.

x2y21的焦点为焦点作椭圆，问P在6．P为直线xy90上的点，过P且以椭圆123何处时所作椭圆的长轴最短？并求出相应椭圆的方程.

x2y2m2(m0)，经过其右焦点F且以a1,1为方向向量的直线l交7．已知椭圆C：532椭圆C于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆C于N点． y（1）证明：OAOBON（2）求OAOB的值．

8．已知A（－2，0）、B（2，0），点C、点D满足|AC|2,ADA1(ABAC). 2OFMN xB （1）求点D的轨迹方程；（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为

4，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程. 59.设A，B分别是直线y2525x和yx上的两个动点，并且AB20，动点P满55足OPOAOB．记动点P的轨迹为C．

（1） 求轨迹C的方程；（2）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且DMDN，求实数的取值范围．

10.如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点

BOACA是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且ACBC0，BC2AC．

（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；

（2）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使

PQAB．

六、教学设计说明

1、对教材的研究认识：

利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，一般的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好的体现“利用方程研究曲线性质”的本质.因此，本人在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识，在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力.同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，本节课不研究椭圆的离心率，保证了学生的研究时间；与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点，学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元，说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质.

2、 课堂教学模式的设置：

自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力.数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处.因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习.

3、 课堂练习题的说明：

如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础.为了不冲淡主题，课堂教学过程中重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力.因此，在椭圆几何性质的其它课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用.本设计可以根据学生实际，分两节课上，而有关的例题和补充作业的练习题供教师选用.