新县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

新县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设集合 A={ x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合 B为函数 y=lg（ x﹣1）的定义域，则 A∩B=（ ） A．（1，2） B．[1，2]

C．[1，2） D．（1，2]

2． 如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3． 设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ； ③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥β，m⊥β，则m∥α； 其中正确命题的序号是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②④ 可以为（ ）

D．①③

4． 设曲线f(x)x21在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象

A． B． C. D．

5． 若m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A．若m,，则m B．若m,m//n，则//

C．若m,m//，则 D．若,，则

6． 已知g(x)(ax取值范围是（ ）

A．(1,) B．(1,0) C. (2,) D．(2,0) 7． 四面体ABCD 中,截面 PQMN是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）

bb2a)ex(a0)，若存在x0(1,)，使得g(x0)g'(x0)0，则的 xa第 1 页，共 17 页

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A．ACBD B．ACBD

C.ACPQMN D．异面直线PM与BD所成的角为45 8． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A．{0}∈M B．{0}M C．0∈M 9． A．667

是首项

，公差B．668

D．0M

，则序号等于（ ）

D．670

的等差数列，如果

C．669

10．函数f（x）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞）

C．（﹣9，+∞） D．（﹣∞，﹣9）

11．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ ） A．ex+1 B．ex﹣1 C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1

12．数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

+6x﹣1的极值点，则log2

二、填空题

13．给出下列四个命题： ①函数y=|x|与函数

表示同一个函数；

②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；

③函数y=3x2+1的图象可由y=3x2的图象向上平移1个单位得到； ④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；

⑤设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；

其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号） 14．Sn=

+

+…+

= ．

15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

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16．递增数列{an}满足2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1），其前n项和为Sn，a2+a8=6，a4a6=8，则S10= ． 17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2an+1=an，若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞Sn恒成立，则实数x的取值范围为 ．

18．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ．

三、解答题

19．设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数p∧q是假命题，求实数a的取值范围．

20．已知等差数列{an}中，其前n项和Sn=n2+c（其中c为常数）， （1）求{an}的通项公式；

的定义域为R．若p∨q是真命题，

（2）设b1=1，{an+bn}是公比为a2等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．

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21．（本小题满分13分）

在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，ABC（Ⅰ）在棱PB上确定一点E，使得CE//平面PAD；

（Ⅱ）若PAPD6，PBPC，求直线PA与平面PBC所成角的大小．

2，AD22，AB3DC3．

PDCA

B

22．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）一个周期内的一系列对应值如表：

x 0 y 1 0 ﹣1 （1）求f（x）的解析式； （2）求函数g（x）=f（x）+

sin2x的单调递增区间．

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12axx,aR． 2（1）令gxfxax1，讨论gx的单调区间；

23．已知函数fxlnx（2）若a2，正实数x1,x2满足fx1fx2x1x20，证明x1x2

24．（本小题满分12分）已知等差数列｛an｝满足：an1an（nN），a11，该数列的 前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且an2log2bn1. （1）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式； （2）求数列｛anbn｝的前项和Tn.

51． 2第 5 页，共 17 页

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新县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：由A中不等式变形得：﹣2≤2x≤4，即﹣1≤x≤2， ∴A=[﹣1，2]，

由B中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1， ∴B=（1，+∞）， 则A∩B=（1，2]， 故选：D．

2． 【答案】D

【解析】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限， ∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0， ∴sinθ＜0， ∴θ是第四象限角． 故选：D．

【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．

3． 【答案】B

【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面： 在①中：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直得m⊥n，故①正确； 在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，

∵m⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m⊥γ，故②正确；

在③中：若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故③正确； 在④中：若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误． 故选：B．

4． 【答案】A 【解析】

试题分析：gx2x,gxcosx2xcosx,gxgx,cosxcosx，ygxcosx为奇函数，排除B，D，令x0.1时y0，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 5． 【答案】C

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【解析】

试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C． 考点：空间直线、平面间的位置关系． 6． 【答案】A 【解析】

考

点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.

【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数fx的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数fx的定义域；②对fx求导；③令fx0，解不等式得的范围就是递增区间；令fx0，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数fx的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.

7． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ//MN,QM//PN，则PQ//平面ACD,QM//平面BDA，所以PQ//AC,QM//BD,由PQQM可得ACBD，所以A正确；由于PQ//AC可得AC//截面

PQMN，所以C正确；因为PNPQ，所以ACBD，由BD//PN，所以MPN是异面直线PM与BDPNANMNDN0,所成的角，且为45，所以D正确；由上面可知BD//PN,PQ//AC，所以，而BDADACAD第 7 页，共 17 页

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ANDN,PNMN，所以BDAC，所以B是错误的，故选B. 1

考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 8． 【答案】C

【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确； 对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．

对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确． 故选C

【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用

9． 【答案】C

【解析】 由已知

答案：C

10．【答案】B

【解析】解：原函数是由t=x与y=（

2

，由得，故选C

）﹣9复合而成，

t

∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=（

）﹣9其定义域上为减函数，

t

x2

∴f（x）=（）﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数， ∴函数ff（x）=（）﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．

x2

故选：B．

【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．

11．【答案】D

xx

【解析】解：函数y=e的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣，

而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e的图象关于y轴对称，

x

所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（

x+1）

=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．

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故选D．

12．【答案】C

【解析】解：函数f（x）=∵a2014，a2016是函数f（x）=数列{an}中，满足an+2=2an+1﹣an， 可知{an}为等差数列，

∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16， 从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4． 故选：C．

【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．

+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6， +6x﹣1的极值点，

2

∴a2014，a2016是方程x﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．

二、填空题

13．【答案】 ③⑤

【解析】解：①函数y=|x|，（x∈R）与函数错；

②奇函数y=，它的图象不通过直角坐标系的原点；故②错；

③函数y=3（x﹣1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；正确； ④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域由0≤2x≤2，⇒0≤x≤1， 它的定义域为：[0，1]；故错；

⑤设函数f（x）是在区间[a．b]上图象连续的函数，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．故正确； 故答案为：③⑤

14．【答案】 【解析】解：∵∴Sn=

+

+…+

，（x≥0）的定义域不同，它们不表示同一个函数；

=

=（

﹣

﹣

），

）

= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（）=（1﹣

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=，

．

故答案为：

【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．

15．【答案】

．

【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中底面是边长为1的正方形，有一侧棱垂直与底面，高为2．∴棱锥的体积V=故答案为．

16．【答案】 35 ．

【解析】解：∵2an=an﹣1+an+1，（n∈N*，n＞1）， ∴数列{an}为等差数列，

又a2+a8=6，∴2a5=6，解得：a5=3， 又a4a6=（a5﹣d）（a5+d）=9﹣d2=8， ∴d2=1，解得：d=1或d=﹣1（舍去） ∴an=a5+（n﹣5）×1=3+（n﹣5）=n﹣2． ∴a1=﹣1， ∴S10=10a1+故答案为：35．

【点评】本题考查数列的求和，判断出数列{an}为等差数列，并求得an=2n﹣1是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．

17．【答案】 （﹣∞，

]∪[

，+∞） ．

=35．

=．

【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2an+1=an， ∴数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，

=2﹣（）n﹣1，

Sn=

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*2

对于任意n∈N，当t∈[﹣1，1]时，不等式x+tx+1＞Sn恒成立， 2

∴x+tx+1≥2，

x2+tx﹣1≥0，

2

令f（t）=tx+x﹣1，

∴解得：x≥

或x≤

，

，

]∪[

，+∞）．

∴实数x的取值范围（﹣∞，

18．【答案】 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．

【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

，则g（x）的导数为：

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立， 即当x＞0时，g′（x）＞0，

∴当x＞0时，函数g（x）为增函数， 又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是减函数， 又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．

三、解答题

19．【答案】

x

【解析】解：∵关于x的不等式a＞1的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1； 故命题p为真时，0＜a＜1；

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∵函数∴

的定义域为R， ⇒a≥，

由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假， 当p真q假时，则

⇒0＜a＜；

当q真p假时，则⇒a≥1，

综上实数a的取值范围是（0，）∪[1，+∞）．

20．【答案】

【解析】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 分） 分）

（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣（8分） ∴ ∴分）

因为等差数列{an}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4∴a1=1，d=2，an=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12

【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．

21．【答案】

1PB时，CE//平面PAD. 31设F为PA上一点，且PFPA，连结EF、DF、EC，

31那么EF//AB,EFAB.

3【解析】解： （Ⅰ）当PE第 12 页，共 17 页

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1AB，∴EF//DC，EFDC，∴EC//FD． 3又∵CE平面PAD， FD平面PAD，∴CE//平面PAD． （5分）

∵DC//AB，DC（Ⅱ）设O、G分别为AD、BC的中点，连结OP、OG、PG，

∵PBPC，∴PGBC，易知OGBC，∴BC平面POG，∴BCOP． 又∵PAPD，∴OPAD，∴OP平面ABCD． （8分）

建立空间直角坐标系Oxyz（如图），其中x轴//BC，y轴//AB，则有A(1,1,0),B(1,2,0),

C(1,2,0)．由POPA2AO2(6)2(2)22知P(0,0,2)． （9分）

uur设平面PBC的法向量为n(x,y,z)，PB(1,2,2),CB(2,0,0)

x2y2z0nPB0则 即，取n(0,1,1).

2x0nCB0uuur|APn|3设直线PA与平面PBC所成角为，AP(1,1,2)，则sin|cosAP,n|， |AP||n|2∴，∴直线PB与平面PAD所成角为. （13分）

33zPFEDCOAGByx22．【答案】

【解析】（本题满分12分）

解：（1）由表格给出的信息知，函数f（x）的周期为T=2（所以ω=

﹣0）=π．

．

=2，由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=

）=cos2x…6分 sin2x+cos2x=2sin（2x+

），

所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+（2）g（x）=f（x）+令2k

≤2x+

sin2x=

≤2k

，k∈Z则得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z

故函数g（x）=f（x）+sin2x的单调递增区间是：，k∈Z…12分

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【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应用，属于基本知识的考查．

23．【答案】（1）当a0时，函数单调递增区间为0,，无递减区间，当a0时，函数单调递增区间为0,

11，单调递减区间为,；（2）证明见解析. aa【解析】

试

题解析：

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（2）当a2时，fxlnxxx,x0，

22

2由fx1fx2x1x20可得lnx1x2x1x1x2x20， 即x1x2x1x2x1x2lnx1x2，

21t1，

tt则t在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，

令tx1x2,ttlnt，则t1所以t11，所以x1x2x1x21，

2第 15 页，共 17 页

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51， 2由x10,x20可知x1x20．1

又x1x20，故x1x2考点：函数导数与不等式．

【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．

请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 24．【答案】（1）an2n1,bn【解析】

12n3T3；（2）. nnn22试题分析：（Ⅰ1）设d为等差数列an的公差，且d0，利用数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，

1332n1...利用错位相减法求和即可． 2122232n试题解析：解：（1）设d为等差数列an的公差，d0，

求出d，然后求解bn；（2）写出Tn由a11，a21d，a312d，分别加上1,1,3后成等比数列，111.Com] 所以(2d)22(42d) d0，d2 ∴an1(n1)22n1

又an2log2bn1 ∴log2bnn，即bn1 （6分） 2n第 16 页，共 17 页

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考点：数列的求和．

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