培优补差之数列(二)综合应用

数列的综合应用

1.（陕西卷14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

2．（安徽理18）

在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作再令

Tn，

anlgTn,n≥1.

btanantanan1,求数列{bn}的前n项和Sn. {an}的通项公式；

（Ⅱ）设n（Ⅰ）求数列

3．（山东理20） 等比数列 第一行 第二行 第三行 （Ⅰ）求数列

an中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下

第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 表的同一列． an的通项公式；bban(1)lnan，求数列bn的前n项和Sn．

（Ⅱ）若数列n满足：n

分析命题动向，把握高考脉搏

数列的综合应用参考答案

1.2000

2．（安徽理18） 解：（I）设l1,l2,,ln2构成等比数列，其中t11,tn2100,则

Tnt1t2tn1tn2, ①

Tntn1tn2t2t1, ②

①×②并利用t1tn3it1tn2102(1in2),得 T2n(t1tn2)(t2tn1)(tn1t2)(tn2t1)102(n2),anlgTnn2,n1.

（II）由题意和（I）中计算结果，知

bntan(n2)tan(n3),n1.

tan1tan((k1)k)tan(k1)tank

另一方面，利用

1tan(k1)tank,

tan(k1)tanktan(k1)tank

得

tan11.

nn2Snbk 所以

tan(k1)tankk1k3

n2(tan(k1)tankk3tan11)tan(n3)tan3

tan1n. 3．（山东理20） 解：（I）当

a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26,a318时，符合题意；

当a110时，不合题意。因此an112,a26,a318,所以公式q=3，故an23. （II）因为

bnan(1)nlnan 23n1(1)n(23n1)23n1(1)n[ln2(n1)ln3]23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3,

所以

S2n2(1332n1)[111(1)2n](ln2ln3)[125(1)nn]ln3,S13nnn当n为偶数时，n2132ln33n2ln31;

分析命题动向，把握高考脉搏

所以

13nn1Sn2(ln2ln3)(n)ln3132当n为奇数时， 3nn1ln3ln21.2

综上所述，

nn3ln31,n为偶数2Sn3n-n1ln3-ln2-1,n为奇数2

课后练习

1．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。

2. （陕西卷19）（12分）如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2…Pn，Qn，记P（k=1,2，…，n）。 k点的坐标为（xk，0）

（Ⅰ）试求xk与xk1的关系（2≤k≤n）；（ Ⅱ）求PQ11PQ22PQ33...PQnn

133．（福建理16） 已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=3。

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若函数f(x)Asin(2x)(A0,0p)在f（x）的解析式。

分析命题动向，把握高考脉搏

x6处取得最大值，且最大值为a3，求函数

4．（湖北理19） 已知数列

an的前n项和为Sn，且满足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR,r1)．

an的通项公式；

（Ⅰ）求数列

（Ⅱ）若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，是判断：对于任意的mN*，且m2，am1，

am，am2是否成等差数列，并证明你的结论．

1{a}aSa5．（浙江理19）已知公差不为0的等差数列n的首项1为a（aR）,设数列的前n项和为n，且1，

11a2，a4成等比数列

（1）求数列

{an}的通项公式及Sn

11111111B...An...na1a2a22a2nABSSSS123n，（2）记，当n2时，试比较n与n的大小．

课后练习参考答案

分析命题动向，把握高考脉搏

671． 66

x2.解（Ⅰ）设P，由得Qk1(xk1,e(x,0)yek1k1xk1)点处切线方程为

yexk1exk1(xxk1)由y0得xkxk11(2kn)。

（ Ⅱ）x10,xkxk11，得xk(k1)，PQkke12xke(k1)

(n1)...eSnPQ11PQ22PQ33...PQnn1ee13a1(133)13q3,S3得,3133 3． 解：（I）由11a1.an3n13n2.3所以3解得

1enee1n 1e1e1n2a3,所以a33.因为函数f(x)的最大值为3，所以A=3。 n（II）由（I）可知

x因为当

6时f(x)取得最大值，所以

sin(26)1.

0,故又

f(x)3sin(2x)6所以函数f(x)的解析式为6

.4．（湖北理19） 解：（I）由已知

an1rSn,可得an2rSn1，两式相减可得

an2an1r(S),a(r1)an1, n1Snran1 即n2a2ra1ra,所以r=0时， 数列{an}为：a，0，„，0，„；

又

a0,所以an0（nN*）

当r0,r1时，由已知，

an2an2r1(nN)(r1)an1,可得an1a2,a3,,an成等比数列，

，

于是由

n1,anann2r(r1)n2a,n2{a}ar(r1)a.当n2时nn ， 综上，数列的通项公式为

（II）对于任意的mN，且

*m2,am1,am,am2成等差数列，证明如下：

分析命题动向，把握高考脉搏

a,n1,am0,n2 当r=0时，由（I）知，

对于任意的mN，且

*m2,am1,am,am2成等差数列，

Sk2Skak1ak2,Sk1ak1.

当r0，r1时，

若存在kN，使得 则

*Sk1,S1,Sk2成等差数列，

Sk1Sk22Sk， 2Sk2ak1ak22Sk,即ak22ak1,

a2,a3,,am,的公比r12，于是

* 由（I）知，

对于任意的mN，且

m2,am12am,从而am24am,

am1am22am,即am,am1,am2成等差数列，

* 综上，对于任意的mN，且

m2,am1,am,am2成等差数列。

(1211),{a}aa1a4

5． （I）解：设等差数列n的公差为d，由2得

(a1d)a1(a13d)因为d0，所以da所以

2anna1,Snan(n1).2

1211111121()An(1)Sann1SSSSan1123n（II）解：因为n，所以

因为

a2n111()n1111122(11).Bnn1aaaaaa22n1122212n1a2，所以

n012nn2时,2CCCCnnnnn1， 当

1即

111n,n12

所以，当当

a0时,AnBn;

a0时,AnBn.

分析命题动向，把握高考脉搏