三峡高教研究
Sanxia Higher Education Researches
2016年12月Dec.2016
线性代数课程教学中“分分合合”
邹黎敏涂正文吴艳秋
(重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州404100)
摘要：线性代数是高等学校理工类、经管类等专业的重要基础课，是学生学好专业课程的工具，它对于培养 学生的抽象思维能力和辩证思维能力起着不可或缺的作用。基于“教是为了不教”的教学理念，本文浅谈在课程教 学中如何将“分分合合”的数学思想融入矩阵、线性方程组、向量组、矩阵对角化的知识点的教学中，让学生意识到 “拆分”和“聚合”思想在线性代数课程学习中的重要性。
关键词：拆分；聚合；线性代数
―、方阵可对角化中的“分分合合”
定理:n阶方阵A可对角化的充要条件是A有个线性无关的特征向量。
证明 ：充分性：设
X1
n
P，使得 P-1AP=A=
X2OXn
，即 AP=P
X1
X2O
、
Xn ^
$
n阶方阵A的n个线性无关的特征向 对可逆矩阵P按列分块有P=(xbX2，L，x„)，于是
[Xi
量是且它们所对应的特征值分别为、入丄， 、，则有
AXi=XiXi,Ax2=X2X2,L,AXn=XnXn (1.1)
将n个等式“聚合”为矩阵形式（AxhAx2，L，Axn)= (\\1X1，\\2X2，L，XnXn )，即为
[X1
A(X，X，L，X)=(X，X，L，X)
1
2
n
1
2
n
X2
A(x，x，L，x)=(x，x，L，x)
1
2
n
1
2
n
X2
OXn
(1.3)
将(3.3)式“拆分”为
O
(1.2)
Xn令P^x^x^L^)，因为特征向量x1;x2,L，xn线性无关，
所以P为可逆矩阵，于是有P4AP
(Ax，Ax，L，AX)=(XX，XX，L，XX)， （1.4)
即得Axi=Xi\\，(i=1，2，L,n)又因为P为可逆矩阵，所 以P的列向量组X1，X2，L，Xn必定线性无关，由此说明A 有n个线性无关的特征向量x^x^L^Sj!.
1
2
n
11
22
nn
注释:(1.1)式变形成（1.2)便是“合”，反之，(1.3)式变 形成（1.4)便是“分”，学会用“聚合”的思想将向量关系
X2
OXn &
，由此说
转化为矩阵关系，以及用“拆分”的思想将矩阵关系转 化为向量关系的处理方式.
例1: A,B分别为mxn,nxl的矩阵，且满足AB=O,证 明 R(A)+R(B)矣n.
证明：记 B=(b1，b2,…，b)，由 AB=O 可得 A(b1，b2,…，b)
明了存在可逆矩阵P，使得P-1AP=A，故
A可以对角化.
必要性:A可对角化说明一定存在n阶可逆矩阵
基金项目：重庆市高等教育教学改革研究项目（项目编号：153123)
作者简介：邹黎敏（1984-)，男，副教授，博士，主要研究方向：矩阵分析及其应用
42三峡高教研究总第42期
=(0,0,…，0)，“拆分”有Abi=O(i=l，2,…，1)，这表明矩阵B的每个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解向量。记齐次线性方程组Ax=0的解向量组为S，由bi e S(i=1，2, …，1)可知尺办扣，…，b)^Rs，即R(B)矣Rs，而Rs=n-R (A)，故 R(A)+R(B)矣 n.
例2:设A为n阶矩阵，如果对于任一 n维向量x=n xi&
X2
都有Ax=0,证明A=O.
X〇 (
Xi
证明：根据已知条件对于任一 n维向量x=X2都
有Ax=0，特别对于n维单位坐标向量组ef .
0
001
0
，…，en—也有 Ax=0,于是 AeFOG:^,…,n)
0
1
将上述n个等式“聚合”有A(ei，e2,…，e„)=(0,0，…，0)， 即AI=O,从而A=O.
二、线性方程组求解中的“分分合合”设含m个方程，n个未知量的线性方程组
a11x1+a12X2+ …+a1nxn=b1, a2iXi+a22X2+ …+a2„x„=b2,
(2.1)
.amlXl+am2X2+ …+am„xn=bm.
利用矩阵的乘法，可以将其每一个方程表示成矩阵乘 积的形式，即有
Xi
(ai1,ai2, ^…，ain).=bi，
(i=1，2,…，m)x„ (
这m个等式的左边有一个共同点，其中第二个矩 阵都为(xi，x2,…，x„)T。利用矩阵的乘法将这m个等式“聚 合”，则有
(2.2)
(2.2)式便是线性方程组的矩阵形式，简记为Ax=b，
a11
a12 ..a1nX1
&
b1
其中 a22 …
A—
a21
a2n
，X2
x—
，b—
b2
am1am2
… amn
Xn ,
bm
注释:(2.1)式变形成(2.2)便是“合”，反之，(2.2)式变 形成(2.1)便是“分”，学习线性代数要善于利用矩阵及
其运算来研究线性方程组，并特别注意应用“聚合”以及“拆分”的思想方法帮助我们灵活地解决问题.
例3:试用矩阵乘积的形式表示B^b^xn的每一行 的元素之和等于2。
bn
+b12 +…+^„=2,
b21 +b22 +…+b2n=2,
解：根据已知条件可得
bm1+bm2+…+bmn=2,
b11 b12 …b1n
1!2将其按上述思想“聚合”为
^21^22^..^^
!1
—
!2
bm1 bm2 …bmn
.1
.2
三、向量组线性表示中的“分分合合”
设有向量组A:%，％，…，am与向量组丑私此，…，Ps， 向量组B可由向量组A线性表示，且线性表示式为
P 1=kn a1+k21 a2+ …+km1 amP2=k12 a
1+k22 a2+ …+km2 am
(3.1)
Ps=ku a1+k2sa2+ …+kmS aro
ku
利用矩阵的乘法民=私卢2,…，am)
k2
(i=1，2,…，s)，这 s
个方程的等式右边有一个共同点，左乘的矩阵同为行 矩阵(a1，a2,…，am)，利用“聚合”的思想将这s个等式 “合”为
2016年第4期线性代数课程教学中的“分分合合”
43
k11 k12 …k1s
(卩1，卩2,…，民)=(叫山，…，am)^21 ^22 …hs
(3.2)
km1 km2 …kms简记为AK=B其中矩阵A=(ai，a2,…，am),矩阵B=(Pi，P2,…,Ps),K—(kij)mxs〇
注释：可见若两个向量组A与B之间有线性表示
式(3.1)，则有(3.2)式这样的矩阵表达式;反之若有(3.2) 式这样的矩阵表达式，则可看出矩阵B的列向量组可 由A的列向量组线性表示式(3.1)。（3.1)式变形成(3.2) 便是“合”，反之，(3.2)式变形成(3.1)便是“分”。
例4:试用矩阵乘积的形式表示列向量组aba2，a3 与列向量组Pi，p2，P3的线性表示式
Pi=2a；1+3a2+4a3
■ ^2=5a1+a2+7a3 .(3s=3a1+2a2+6a3
解按上述思想“聚合
2 5 3
〇1,P2,,P3)=(a1,a2,a3) 3 1 2 .
4 7 6.
教学实践证明，将“分分合合”的思想方法应用于 线性代数的课程教学中，能够帮助学生建立运用矩阵 知识解决线性方程组和向量组的解题意识，同时也充 分体现了矩阵知识在整个课程中的重要性.
【参考文献]
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