初三中考数学方程与函数相结合型综合问题

一、选择题

1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 答案 B

解析 令y＝0，得x2－1＝0，x＝1或－1，抛物线交x轴于点(1,0)，(－1,0)． 2．(2011·兰州)如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你认为其中错误的有( ) ．．

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个

答案 D

解析 由抛物线与x轴交于两点，可知关于x的二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0；又抛物线的对标轴直线x＝－

b

>－1，而a<0，所以b>2a,2a－b<0；2a

当x＝1时，函数值y＝a＋b＋c<0，信息(1)，(3)，(4)正确；抛物线与y轴交于点(0，c)，在点(0,1)下方，c<1，信息(2)错误．

3．(2011·潍坊)已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根x1、x2满足x1＋x2＝4和x1·x2＝3，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象有可能是( )

答案 C

解析 由x1＋x2＝4和x1x2＝3，可解得两根为1、3，抛物线与x轴交点为(1,0)，(3,0)，选C.

4．(2011·呼和浩特)已知一元二次方程x2＋bx－3＝0的一根为－3，在二次函数y＝x2＋

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－，y1、－，y2、，y3，y1、y2、y3的大小关系是( ) bx－3的图象上有三点546

A． y1C． y3解析 当方程的一根为x＝－3时，(－3)2－3b－3＝0，b＝2，所以y＝x2＋2x－3＝(x＋53

1)2－4，∴对称轴x＝－1，∴x＝－与x＝－时y值相同，∵在x＝－1右侧，y随x增大而

44增大，∴y15．已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是( )

A．无实数根

B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根

D．有两个同号不等实数根 答案 D

解析 画直线y＝－2，与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于两点，且在第四象限，故方程ax2

＋bx＋c＝－2，有两个不等的正数根．

二、填空题 6．(2008·义乌)李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式____________________．

答案 形如y＝kx＋b(k>0，b>0)或y＝ax2＋bx＋c(a>0，b>0)

7．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为(0,3)，B点的坐标为(6,5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是__________．

答案 10

解析 如图，画点A关于x轴的对称点A1，其坐标为(0，－3)，根据两点之间线段最短，可知AC、BC距离之和的最小值为线段A1B，画BD⊥y轴于D，在Rt△A1BD中，A1D＝3＋5＝8，BD＝6，所以A1B＝62＋82＝10.

8．(2010·绥化)已知关于x的分式方程

a＋2

＝1的解是非正数，则a的取值范围是x＋1

____________．

答案 a≤－1且a≠－2

解析 去分母，a＋2＝x＋1，

∵x≠－1，a≠－2，x＝a＋1≤0，∴a≤－1且a≠－2.

y＝kx＋b，

9．(2008·西宁)如图所示的是函数y＝kx＋b与y＝mx＋n的图象，则方程组

y＝mx＋n

的解关于原点对称的点的坐标是___________．

答案 (－3，－4)

解析 两直线y＝kx＋b与y＝mx＋n交于点(3,4)，所以关于原点对标的点的坐标为(－3，－4)．

10．如图，点D的纵坐标等于______________；点A的横坐标是方程______________的解；大于点B的横坐标是不等式______________的解集；点C的坐标是方程组______________的解；小于点C的横坐标是不等式______________的解集．

y＝k1x＋b1，

答案 b；k1x＋b1＝0；kx＋b＜0；；kx＋b＞k1x＋b1

y＝kx＋b

三、解答题

11．如果一个二次函数的图象经过点A(6,10)，与x轴交于B、C两点，点B、C的横坐标为x1、x2，且x1＋x2＝6，x1·x2＝5.求这个二次函数的解析式．

解 ∵这个二次函数的图象与x轴交于B(x1,0)、C(x2,0)两点， ∴这个二次函数的解析式是y＝a(x－x1)(x－x2)， 即y＝a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]． ∵x1＋x2＝6，x1·x2＝5， ∴y＝a(x2－6x＋5)．

∵这个二次函数的图象经过点A(6,10)， ∴a×(62－6×6＋5)＝10， 解之，得a＝2，

∴所求二次函数的解析式为：y＝2x2－12x＋10.

12．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(－1,0)，点B在抛物线y＝ax2＋ax－2上．

(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________； (2)抛物线的关系式为________________；

(3)设(2)中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积； (4)将三角尺ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．

解 (1)A(0,2)，B(－3,1)． 11

(2)y＝x2＋x－2.

22

117

－，－. (3)如图①，可求得抛物线的顶点D82

511

设直线BD的关系式为y＝kx＋b，将点B、D的坐标代入，求得k＝－，b＝－，

44511

∴BD的关系式为y＝－x－. 44设直线BD和x轴交点为E， 116

－，0，CE＝. 则点E55

171516

1＋＝. ∴△DBC的面积为××8825

(4)如图②，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C′作C′P⊥y

轴于点P.

在Rt△AB′M与Rt△BAN中，

∵AB＝AB′，∠AB′M＝∠BAN＝90°－∠B′AM， ∴Rt△AB′M≌Rt△BAN.

∴B′M＝AN＝1，AM＝BN＝3，∴B′(1，－1)．

同理：△AC′P≌△CAO，C′P＝OA＝2，AP＝OC＝1， ∴C′(2,1)．

11

将点B′、C′的坐标代入y＝x2＋x－2，可知点B′、C′在抛物线上(事实上，点P

22与点N重合)．

－5

13．已知抛物线y＝(9－m2)x2－2(m－3)x＋3m的顶点D在双曲线y＝上，直线y＝kx

x

22a－b－3＝0，

＋c过点D和点C(a，b)，且y随x的增大而减小，a、b满足方程组2求

2a－5ab＋2b2＝0.

直线y＝kx＋c的解析式．

解 ∵y＝(9－m2)x2－2(m－3)x＋3m，

3m2＋10m－31，∴抛物线的顶点D的坐标为－.

m＋3m＋35

∵点D在双曲线y＝－上，

x13m2＋10m－3∴－m＋3·＝－5， m＋3整理得：m2＋10m＋24＝0，

解之，得m1＝－4，m2＝－6，

1

，－15. ∴D点的坐标为D1(1，－5)或D23

a2－b2－3＝0，

解方程组2 2＝0，2a－5ab＋2ba1＝－2，a2＝2，得， b1＝－1，b2＝1，

∴C点的坐标为C1(－2，－1)或C2(2,1)．

∵直线y＝kx＋c经过D、C两点，且y随x的增大而减小， ∴点C2(2,1)不合题意，舍去．

1

，－15和C1(－2，－∴直线x1y＝kx＋c经过点D1(1，－5)和点C1(－2，－1)或点D231)．

k＋c＝－15，k＋c＝－5，

∴或3－2k＋c＝－1，

1

－2k＋c＝－1，

k＝－6，

或 c＝－13.



解之，得11

c＝－，3

4k＝－，3

411

∴这条直线的解析式为y＝－x－或y＝－6x－13.

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