Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。
使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算， 其逆定理 还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几 何学以及射影几何学中的一项基本定理， 具有重要的作用。梅涅劳斯 定理的对偶定理是塞瓦定理。
1. 过点 C作 CP// DF交 AB于 P,J贝 BD/DC二FB/PF CE/EA二PF/AF
所以有 AF/FBX BD/DC< CE/EA二AF/FX FB/PFX PF/AF=1
2. 连结BF。
(AD DB • (BE EC • (CF:FA)
=(SA ADF
=(SA ADF
=1
塞瓦定理
SA BDF) • SA BAF) SA BDF) • SA ADF
(SA BEF SA CEF • (SA BCF
(SA BDF SA CDF • (SA CDF
在A ABC内任取一点0,
直线 AO、BO、CO分别交对边于 D、E、F ,则
(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证法简介
(I)本题可利用梅涅劳斯定理(简称梅氏定理)证明： TAADC被直线 BOE所截，
•••△ ABD被直线 COF所截，
••• (BC/CD)*(AF/FB)*(DO/OA)=1 ②
②
* ①
：
即 得：
(DB/BC)*(CE/EA)*(AO/OD)*(BC/CD)*(AF/FB)*(DO/OA)=1
• (DB/CD)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
(H)也可以利用面积关系证明
v BD/DC=^ABD/SXACD=@ BOD/SX COD=(^ABD-&X BOD)/(SA ACD-SX COD)=X AOB/SX AOC ③
同理 CE/EA=SA BOC/ SX AOB ④ AF/FB=SX AOC/SX BOC ⑤ ③ X④X⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点： 设三边AB BC AC的垂足分别为D E、F, 根据塞瓦定理逆定理， 因 为
(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA
/[(CD*cotB ) ]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]二 1,所以三条高CD AE BF交于一点。
可用塞瓦定理证明的其他定理；
三角形三条中线交于一点(重心)：如图5 D, E分别为BC, AC中 点 所以 BD=DC AE=E所以 BD/DC=1 CE/EA=1
且因为AF=BF所以AF/FB必等于1 ,所以三角形三条中线交于一 点，即为重心用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点
此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
在厶ABC的三边BG CA AB或其延长线上分别取 L、M N三点， 又分比是入二BL/LC、卩=CM/MA v二AN/NB于是AL BM CN三线交
于一点的充要条件是入av =1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里 是入yv
=-1）
定理的内容托勒密（Ptolemy）定理 指出，圆的内接凸四边形两对对边 乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角 线所包矩形的面积等于一组对边 所包矩形的面积与另一组对边所
包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一 系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩 形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和
西姆松定理说明 有三角形ABC平 面上有一点P°P在三角形三边上的投影（即 由P到边上的垂足）共线（此线称为西姆松 线，Simson line ）当且仅当P在三角形的 外接圆上。
称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交 点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松 线的交角，跟P的位置无关。
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在 三角形的外接圆上。
A
1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。
2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形 的旁切圆。
设/ ABC在/ A内的旁切圆。I1（r1）与AB的延长线切于点P1。内切 圆半径为r。
1、 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一 点，该点即为三角形的旁心。
2、 旁心到三角形三边的距离相等。 3、 三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。
4、 / BI1C=90° - / A/2. 5、 AP1=r1 • cot(A/2)=(a+b+c)/2. 6、 / AI1B=/ C/2. 7、 S/ ABC=r1(b+c-a)/2. 8 r1二rp(p-a). 9、 r1=(p-b)(p-c)/r. 10、 1/r1+1/r2+1/r3=1/r. 11、 r仁r/(tanB / 2)(tanC/2). 12、 直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。
在一个三角
形所在平面上，求一点， 使该点到三角形三个顶点距离之和最 小。即在ABC内求一点P,使PA+PB+PC 之值为最小，人们称这个点为“费马 点”。|
(1)若三角形ABC的3个内角均小 于120°,那么3条距离连线正好三等 分费马点所在的周角。所以三角形的 费马点也称为三角形的 等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和 最小的点。
(1)对于任意三角形厶 ABC若三角形内或三角形上某一点 E,若 EA+EB+E有最小值，则取到最小值时E为费马点。(2)如果三角形有 一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果 3个 内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是 三角形的费马点。 三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上， 这条直线就叫三角形的 欧拉线。
莱昂哈德•欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首 次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外 心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点 中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等， 而且重心到外心的距离是 重心到垂心距离的一半。
反三角函数是一种数学术语。反三角函 数并
v = arctan x
不能狭义的理解为三角函数的反 函数，是个多值函数。它是反正弦 lim arc tan x -
Arcsin x，反余弦 Arccos x，反正切
lim arc tan x =—
2 Arctan x，反余切 Arccot x 这些函数 的统
称，各自表示其正弦、余弦、正切、 余切r = cot r
为x的角。
为限制反三角函数为单值函数，将
反正弦函数的值y限在-n /2 < y 八$ 反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量 对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数 y=x对称。其概 念首先由欧拉提出，并且首先使用了【arc+函数名】的形式表示反三 角函数，而不是f-1(x )。 ⑴正弦函数y=sinx在卜n /2，兀/2］上的反函数，叫做反正弦函 数。arcsinx表示一个正弦值为x的角，该角的范围在卜n /2 , n /2］ 区间内。【图中红线】 ⑵余弦函数y=cosx在［0 ,n ］上的反函数，叫做反余弦函数。 arccosx表示一个余弦值为x的角，该角的范围在［0 , n ］区间内。【图 中蓝线】 ⑶正切函数y=tanx在(-n /2 , n /2 )上的反函数，叫做反正切函 数。arctanx表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-n /2，兀 /2 )区间内。【图中绿线】 注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】 反三角函数主要是三个： y=arcsi n(x ),定义域［-1 , 1］，值域卜n /2 , n /2］图象用深红色 线 条； y=arccos(x ),定义域［-1,1］，值域［0 , n ］,图象用深蓝色线条； y=arctan(x ),定义域(-^, +^)，值域(-n /2，兀 /2 ),图象 用浅绿色线条; y=arccot(x ),定义域(-^, +^),值域(0,n),暂无图象； sin(arcsinx)=x , 定义域[-1 1]arcsi n(-x)二-arcsi nx , 1], 值域[-1 , 证明方法如下：设arcsin(x)=y ，则sin(y)=x，将这两个式子代 入上式即可得 其他几个用类似方法可得 cos(arccosx)=x ，arccos(-x)= n -arccosx tan(arctanx)=x ， arctan(-x)二-arctanx 反三角函数其他公式：cos(arcsi nx)=(1-x^2)八0.5 arcs in (-x)二-arcsi nx arccos(-x)= n -arccosx arcta n(-x)=-arcta nx arccot(-x)= n -arccotx arcs in x+arccosx= n /2=arcta nx+arccotx sin( arcs in x)=cos(arccosx)=ta n( arcta nx)二cot(arccotx)=x arcsi nx二乂+乂八3/(2*3)+(1*3”八5/(2*4*5)+1*3*5仪八7)/(2*4*6*7 )……+(2k+1)!!*xA(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+ ……(|x|<1)! !表示双 阶乘 arccosx= -(x+xA3/(2*3)+(1*3)xA5/(2*4*5)+1*3*5(xA7)/(2*4*6*7 (|x|<1) arcta nx二x-xA3/3+xA5/5- .... n ) ……) 举例 当 x € 卜 n /2，兀 /2］有 arcsin(sinx)二x x € ［0，兀］,arccos(cosx)=x x€( - n /2，兀 /2 ), arctan(tanx)二x x€( 0,n) , arccot(cotx)二x x>0, arctanx二 n /2-arctan1/x , arccotx 类似 若(arctanx+arctany ) € ( - n /2 , n /2 )，则 arcta nx+arcta ny 二arcta n( (x+y)/(1-xy)) 例如，arcsin x表示角a,满足a€ 卜n /2，兀/2］且sin a = x ;arccos(-4/5) 表示角 B,满足 p€ ［0 , n ］且 cos ［3 =-4/5;arctan2 表示角 ©,满足 ©€( - n /2 , n /2)且 tan © =2 假设平面上有一点P,有一圆O,其半径为R,则OP\"2-RA2即为P 点到圆O的幕； 可见圆外的点对圆的幕为正，圆内为负，圆上为 0; 艸析宀为躺攘詡魏只嬰口及氏内DfflK内而莎而両■■ 均含f D>m|(a-b)，那么就称整数a与b对模m同余，记作a = b(modm)。对模m同余是整数的一个 等价关系 孑 =1 +址+朿 + 甬 + … 91 COS JT 1 一■ x1 JT4 4- ■—— 9 9 9 21 41 ■- '■ Ji*1% 6! J 血頑+窃一币+ -dx =亡慎人可爵； （⑴ + _ BT +… =1 + 圧一 2! —cns； 71 + isin ： ■ 复变函数 eAix=cosx+isinx , e是自然对数的底，i是虚数单位。它 将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关 系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。[2] 8倉卅=cos（9 +/sin GW* = cos（9 - /sin 0 9. cos（9 = ------- .sin B = ---------- _________ 2 __ _ ______ 2/ _____ 欧 拉 公 式 eAix二cosx+is inx 的证明： 因为 eAx=1+x/1 ! +XA2/2 ! +乂八3/3!+乂八4/4!+ cos x=1-xA2/2!+xA4/4!-xA6 ⑹ sin x=x-xA3/3!+xA5/5!-xA7/7! 在eAx的展开式中把x换成士 ix. ..... （ 士 i）A2=-1, （ 士 i）A3= ? i, （ 士 i）A4=1 eA 士 ix=1 士 ix/1!-xA2/2! ? ixA3/3!+xA4/4! ……)士 i(x-xA3/3! ……) …… =(1-xA2/2!+ 所以 eA 士 ix=cosx 士 isinx 将公式里的x换成-x，得到： eA-ix二cosx-isi nx sinx=(eAix-eA-ix)/(2i) ，然后采用两式相加减的方法得到： ， cosx=(eAix+eA-ix)/2. 这两个 也叫做欧拉公式。将eAix=cosx+isinx 中的x取作n就得到： e+1 = 0 勿 恒等式 eAi n +仁0.这个恒 等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式， 它将数学 里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底 e, 圆周率n,两个单位：虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人 类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式” 那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的eA 士 ix=cosx 士 isinx。那么这里的n就是x,那么 eAi n =cos n +isin n =-1 那么 eAi n +1=0 这个公式实际上是前面公式的一个应用。 分式 分式里的欧拉公式： a 人 r/(a-b)(a-c)+b 人 r/(b-c)(b-a)+c 人 r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c 三角公式 三角形中的欧拉公式： 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心 的距 离，则: d 人 2=R人 2-2Rr 拓扑学说 拓扑学里的欧拉公式： V+F-E=2 拓扑学 V+F-E=X(P), V是多面体 P 的顶点 个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P) 是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷 在一个 球面上)，那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球 面，那么X(P)=2-2h。⑶ X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么 经过拓 扑变形也不会改变的量，是 拓扑学研究的范围。 初等数论 初等数论里的欧拉公式： 欧拉©函数：© (n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整 数的个 数。n是一个正整数。 欧拉证明了下面这个式子： 如果n的标准素因子分解式是 p1Aa1*p2Aa2* ............ *pmAam其 © (n)=n(1-1/p1)(1-1/p2) ……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。 物理学 r、tos . 托… [— ---------------- A- = — e r . >0. M > 0 m 片 + ir 2u Psin1\"\"1弘曲书加=> g > 0加卄八卡宀中 人缶 ■ 欧拉公式应用 众所 周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在 桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里： F=feAka 其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为 自然对 数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即 绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。 此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容