泰勒公式及其应用

教改聚焦　２０１３—０ｌ　豢勒公式及舆应用　文，李涛　摘要：主要介绍了两种带有不同余项的泰勒公式，分别是皮亚诺余项的泰勒公式和拉格朗日余项的泰勒公式。为了能更好地理　解抽象的泰勒公式，有必要探讨它的应用。通过具体的例题，着重说明了泰勒公式在计算和证明，包括极限运算、级数与广义积分的敛散　性判断、确定无穷小量的阶与表达式中的常数、中值公式的证明、不等式的证明、估计及函数方程等方面的应用，目的是使大家对泰勒　公式有更深的理解，以便学习泰勒公式达到事半功倍的效果。　关键词：泰勒公式；计算；证明；应用　泰勒公式是数学分析中的一个重要内容，但一般高数教材中　带拉格朗日型余项的麦克劳林公式：　仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并　未进行深入讨论，在教学中学生常因学用脱离而难以理解．为改变　这种状况，本文在回顾泰勒公式的定理及用泰勒公式进行函数展　开的方法的基础上，用尽可能简单的例子，归纳出了泰勒公式在近　似计算、极限运算、级数与广义积分的敛散性判断等几个重要方面　的具体应用方法．　一０）＋　一＋　０∈（０＇１）　二、泰勒公式的应用　在数学分析中，我们主要学习了泰勒公式在函数在指定点处　展开及在近似计算方面的应用，接下来我们将看到泰勒公式在极　限运算、级数与广义积分的敛散性判断、确定无穷小量的阶与表达　式中的常数、中值公式的证明、不等式的证明、估计及函数方程等　方面的具体应用。　．　、泰勒公式的提出及内容　不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函　在应用泰勒公式时，应注意选择适当的展开形式．有关近似计　数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来　算的问题一般使用拉格朗日余项，而涉及极限的问题一般使用皮　说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，　亚诺余项．根据具体需要还应对其项数进行适当的取舍．下面举例　但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？　说明泰勒公式在如上几个方面的具体应用方法：　１带有皮亚诺余项的泰勒公式　１．计算近似值　定理ｌ：若函数．厂在点‰存在直至ｎ阶导数，则有　）＝　（　）＋　例１．求、　的近似值．　０（（　０）　），即：　）　粕）＋　鲁　（　。）＋－．・＋　（　。）　０（（　。）　）　即函数　在点　。处的泰勒公式；Ｒ　（　）　）一Ｔｏ（ｘ）称为泰勒公　：　ｒ＝９、／　寺　式的余项。形如０（（　—‰）　）的余项称为皮亚诺（ｐｅａｎｏ）型余项。　注：泰勒公式ｘｏ－０的特殊隋形——麦克劳林（Ｍａｃｌａｕｙｉｎ）公式：　由　＿１＋｝　音冉　（１　一矿　可得到　９１１＋１‘　一｝（　）　］　９．０５５７３　此时误差Ｒ＜９。　。　＜０．５ｘ１０　Ａｘ）　ｏ）＋　＋　Ｘｎ＋０（　这个特殊形式的公式使用非常广泛，在下面的例子中我们可　以看出。　注：此题虽然也可以用微分法做近似计算，但因公式为、／ｉ　一一　引申：定理ｌ给出了用泰勒多项式来代替函数ｙ　而应用泰勒公式做近似计算，则可以　）时余项　１＋　，得出的结果误差较大．大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当　—　时，误差是较　根据具体误差要求来控制近似计算的精度．　（Ｘ－－Ｘ。）高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加　以描述；也就是说，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带　Ｐｅａｎｏ余项的泰勒公式上看不出来。为此，我们有必要对余项作深　入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式。　２．带有Ｌａｇｒａｎｇｅ型余项的Ｔａｙｌｏｒ公式　无穷小？　２．确定无穷小量的阶与表达式中的常数　例２．（说明无穷小量的阶）当　时，ｌｎｃｏｓｘ＋　是　的几阶　因为ｌｎｃｏｓｘ一｝一譬＋。（　）　定理２：（泰勒）若函数厂在ａ，ｂ］上存在直至ｎ阶的连续导函　数，在ａ，ｂ）内存在ｎ＋ｌ阶导函数，则对任意给定的　，　。　［　，ｂ］，　所以　ｎｃｏｓｘ＋手＝一手一鲁＋。（　）＋手一鲁＋ｏ（　）　所以当　＋ｏ时，１ｎｃｏ蛳＋　是　的４阶无穷小量。　至少存在一点∈∈（ｏ，ｂ），使得：　）　＋　产（　＋　（　一（一　３．证明中值公式　例３．设若　）在ａ，ｂ］上有二阶导数，试证：　ｃ∈ａ，ｂ）使得　注：当ｎ＝０时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可　以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；当Ｘｏ＝０时，则变为　】８４一　２０１３—０１　教改聚焦　刍议新课标下初中英语教学的创新　文／张根林　摘要：新课标理念下，初中英语教学的创新可以从以下几方面做起：教师要积极营造良好的英语课堂环境和氛围；善于设疑，实　现教学的创新；开展丰富多彩的英语课外实践活动。　关键词：英语教学；环境；创新　在新课标理念之下，中学英语教学更注重对学生创新能力的　维，提高他们的创新能力，因此教师一定要深入研究教材，仔细挖　培养，更注重对学生学习兴趣的激发，更强调学生进行自主探究式　掘其中蕴含的创造性因素，通过设疑的方式创设情境，激发学生的　在学习阐明世界人口的科普文章时，教师可在　学习，那么，在实际教学中，教师具体应该采取哪些行之有效的措　思考和热情，比如，７４乘以６０乘以２４的结果，　施来实现这些教学目标呢，这个问题值得我们每一个人深思和警　课堂伊始请同学们计算一个数据，即１醒，下面我们就来做具体的探讨。　一学生肯定心存疑虑，这明明是英语课啊，怎么好像数学课，待学生　报出结果２５０５６０之后，教师可向同学揭示答案，“这个数据就是全　、教师要积极营造良好的英语课堂环境和氛围　在传统的英语教学中，教师往往占据着课堂的中心地位，学生　世界每天出生的婴儿数量”，接着可继续向同学们继续提问，Ｓｏ　ｉｔ　则处于被动接受的位置，教师不注重与学生的沟通与交流，也不重　ｇｏｅｓ　Ｏｉｌ，ｗｈａｉ　ｗｉｌｌ　ｔｈｅ　ｗｏｒｌｄ　ｂｅ　ｉｎ　６００　ｙｅａｒｓ？学生顺势联想到要学　视对学生口语能力的培养，在这种教学模式之下，学生不但学习兴　习的内容，就会怀着极大的期待心理投入到课堂内容之中。　趣低下，同时接受到的都是“哑巴式”英语，很多学生学了六七年英　语，却连一句完整的英语句子都讲不出，因此改变这种教学模式和　三、开展丰富多彩的英语课外实践活动　英语水平要想真正提高，仅仅依靠课堂４５分钟是远远不够的，　方式，提高学生综合英语素养迫在眉睫，建议教师要真正把学生当　为此，教师要充分利用好课外时间，开展丰富多彩的英语实践活　做教学的中心和主体，把课堂的权利还给学生，重视对学生英语　动。比如，经常开展英语朗诵比赛、英语作文比赛、英语演讲比赛　口语能力的培养，并且采用全英式教学，同时要求学生在课堂上　等，这样既能给学生提供一个展示自我的平台，同时还可有效激发　也全部用英语进行交流，这就为他们张口“说”英语营造了一个良　学生学习英语的兴趣，提高其英语水平，可谓一举多得。　好的环境。除此之外，教师还要尽力营造一个宽松、民主、和谐的　课堂氛围。　从以上内容的论述中我们可知，要实现中学英语教学的创新　并非一蹴而就的，但是我们有理由相信，只要我们做出积极努力，　就一定可以提高学生的创新能力，提高他们的综合英语素质。　二、善于设疑。实现教学的创新　有研究表明，讨论式、质疑式的教学方式有助于拓展学生思　（作者单位　江苏省泰州市民兴中英文学校）　※※※桊※※※米※※※※※※　※※米※桊※※※※※※※※桊※※※※※※※※※※※米※※※桊※．※※※※※　』ａ　）　＝（ｂ－ａ）Ａ譬）＋－￣４－　ｆ（ｃ）（　）　（１】　证明：记舻丁ａ＋ｂ，探讨泰勒公式的应用，用简单的例子说明其应用的方法，并使其得　到广泛的运用，这样才能将抽象的泰勒公式学“活”．　参考文献：　Ｔａｙｌｏｒ展开式中　）　‰）　（‰）（　。）　＋　（洮　）　两端同时取［。，６］上的积分．注意右端第二项积分为０，第三　项积分由导数的介值性，第一积分中值定理成立：了Ｃ　ｅ（ｎ，ｂ）使　［１］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．北京：高等教育出　版社，１９９３—０５：１７０—１８４．　［２］费定晖，周学圣，郭大钧，等．吉米多维奇数学分析习题集　题解．济南：山东科学技术出版社，１９９９—０９：３３６—３６２．　［３］安世全．泰勒公式及其研究［Ｊ］．高等数学研究，２００１（３）．　［４］王素芳，陶荣，张永胜．泰勒公式在计算及证明中的应用　［Ｊ］．洛阳理工学院学报：自然科学版，２００３（０２）：５０—５１．　［５］方继光，项明寅．谈带皮亚诺余项的泰勒公式的应用［Ｊ］．安　得Ｊ，。口　／（￡）（　－ｘ０）２ｄｘ＝ｆ（ｃ）（６一。）２ｄｘ　Ｉ　（ｃ）（ｂ一。）　因此（１）式成立　泰勒公式成功地将一些函数表示为简单的多项式函数，这种　化繁为简的功能使得泰勒公式成为分析和研究许多数学问题的有　力杠杆，这点可以从以上介绍的泰勒公式在极限运算、级数与广义　积分的敛散性判断、确定无穷小量的阶与表达式中的常数、中值公　庆师范学院学报：自然科学版，２０ｏ３（ｏ２）．　［６］王三宝．泰勒公式的应用例举［Ｊ］．高等函授学报：自然科学　版，２００５（０３）．　式的证明、不等式的证明、估计及函数方程等方面的具体应用中体　现出来。　对于广大数学爱好者及研究者而言，我们有必要更加深入地　（作者单位江苏省连云港广播电视大学）　一１８５—