浙江省衢州市2013年中考数学试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分.） 1．（3分）（2013•衢州）比1小2的数是（ ） A3 B1 C﹣1 D﹣2 ． ． ． ． 考有理数的减法． 点： 分根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解． 析： 解解：1﹣2=﹣1． 答： 故选C． 点本题考查了有理数的减法，是基础题． 评： 2．（3分）（2013•衢州）下列计算正确的是（ ） A3a+2b=5ab Ba﹣a4=a4 Ca6÷a2=a3 D（﹣a3b）2=a6b2 ． ． ． ． 考同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方． 点： 分根据同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类析： 项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解解：A、3a+2b=5ab无法合并，故本选项错误； 答： B、a﹣a4=a4，无法合并，故本选项错误； 624C、a÷a=a，故本选项错误； 3262D、（﹣ab）=ab，故本选项正确． 故选：D． 点本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是评： 解题的关键． 3．（3分）（2013•衢州）衢州新闻网2月16日讯，2013年春节“黄金周”全市接待游客总数为833100人次．将数833100用科学记数法表示应为（ ） A0.833×106 B83.31×105 C8.331×105 D8.331×104 ． ． ． ． 考科学记数法—表示较大的数． 点： n分科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值析： 时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 5解解：833100=8.331×10， 答： 故选：C． n点此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中评： 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（3分）（2013•衢州）下面简单几何体的左视图是（ ）
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A． 考点： 分析： 解答： 点评： B． C． D． 简单组合体的三视图． 找到简单几何体从左面看所得到的图形即可． 解：从左面看可得到左右两列正方形个数分别为：2，1． 故选A． 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 5．（3分）（2013•衢州）若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增
大，则m的取值范围是（ ） Am＜﹣2 Bm＜0 Cm＞﹣2 Dm＞0 ． ． ． ． 考反比例函数的性质． 点： 分根据反比例函数的性质可得m+2＜0，再解不等式公式即可． 析： 解解：∵函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增答： 大， ∴m+2＜0， 解得：m＜﹣2， 故选：A． 点本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，评： 函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 6．（3分）（2013•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A3cm CDcm cm ． ． ． 考含30度角的直角三角形；等腰直角三角形． 点： 分过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对析： 的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边． 解解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3，
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B6cm ．
答： 在直角三角形ADC中， ∵∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×3=6， 又三角板是有45°角的三角板， ∴AB=AC=6， 22222∴BC=AB+AC=6+6=72， ∴BC=6， 故选：D． 点此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求评： 得直角边，再由勾股定理求出最大边． 7．（3分）（2013•衢州）一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数据被遮盖）． 组员日甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 期 得分 81 79 ■ 80 82 ■ 80 那么被遮盖的两个数据依次是（ ） A80，2 B80， C78，2 D78， ． ． ． ． 考方差；算术平均数． 点： 分根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 析： 解解：根据题意得： 答： 80×5﹣（81+79+80+82）=78， 22222方差= [（81﹣80）+（79﹣80）+（78﹣80）+（80﹣80）+（82﹣80）]=2． 故选C． 点本题考查了平均数与方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键，一般地设评： n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 8．（3分）（2013•衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m，≈1.73）．
A3.5m B3.6m C4.3m ． ． ． 考解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
D5.1m ． - 3 -
点： 专题： 分析： 解答： 应用题． 设CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由树高=CD+FD即可得出答案． 解：设CD=x， 在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°， 则AD=x， 在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°， 则ED=x， x﹣x=4， 由题意得，AD﹣ED=解得：x=2， 则这棵树的高度=2故选D． +1.6≈5.1m． 点本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数评： 的知识表示出相关线段的长度． 2
9．（3分）（2013•衢州）抛物线y=x+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图
2
象的函数解析式为y=（x﹣1）﹣4，则b、c的值为（ ） Ab=2，c=﹣6 Bb=2，c=0 Cb=﹣6，c=8 Db=﹣6，c=2 ． ． ． ． 考二次函数图象与几何变换． 点： 分先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐析： 标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、c的值． 2解解：函数y=（x﹣1）﹣4的顶点坐标为（1，﹣4）， 答： ∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到， ∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1， ∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）， 2∴平移前的抛物线为y=（x+1）﹣1， 2即y=x+2x， ∴b=2，c=0． 故选B． 点本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，评： 利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便． 10．（3分）（2013•衢州）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的
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路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
考动点问题的函数图象． 点： 分根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点p在DC析： 山运动时，y随着x的增大而增大，当点p在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可． 解解：当点P由点A向点D运动时，y的值为0； 答： 当点p在DC上运动时，y随着x的增大而增大； 当点p在CB上运动时，y不变； 当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小． 故选B． 点本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x评： 的变化而变化的趋势． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分．） 11．（4分）（2013•衢州）不等式组 考点： 专题： 分析： 解答： 的解集是 x≥2 ．
解一元一次不等式组． 计算题． 分别计算出每个不等式的解集，再求其公共部分． 解：， 由①得，x≥2； 由②得，x≥﹣； 则不等式组的解集为x≥2． 故答案为x≥2． 点本题考查了解一元一次不等式组，找到公共解是解题的关键，求不等式的公共解，评： 要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 12．（4分）（2013•衢州）化简： 考
= ．
分式的加减法． - 5 -
点： 专计算题． 题： 分先将x2﹣4分解为（x+2）（x﹣2），然后通分，再进行计算． 析： 解解：答==： =点评： 13．（4分）（2013•衢州）小芳同学有两根长度为4cm、10cm的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是 ．
． 本题考查了分式的计算和化简．解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．
考点： 分析： 解答： 概率公式；三角形三边关系． 由桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的有：10cm，12cm长的木棒，直接利用概率公式求解即可求得答案． 解：∵小芳同学有两根长度为4cm、10cm的木棒， ∴桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的有：10cm，12cm长的木棒， ∴从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是：． 故答案为：． 此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 点评： 14．（4分）（2013•衢州）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（则三角板和量角器重叠部分的面积为
+2
）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm， ．
考扇形面积的计算． 点： 专数形结合． 题：
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分在Rt△OBC中求出OB、BC，然后求出扇形OAB及△OBC的面积即可得出答案． 析： 解解：∵∠AOB=120°， 答： ∴∠BOC=60°， 在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°， ∴∠OBC=30°， ∴OB=4cm，BC=2cm， 则S扇形OAB=故S重叠=S扇形OAB+S△OBC=故答案为：+2． =+2，S△OBC=OC×BC=2． ， 点本题考查了扇形的面积计算，解答本题关键是求出扇形的半径，注意熟练掌握扇形评： 的面积公式，难度一般． 15．（4分）（2013•衢州）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种 10 棵橘子树，橘子总个数最多． 考二次函数的应用． 点： 分根据题意设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关析： 系式，进而求出x=﹣时，y最大． 解解：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树， 答： ∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子， ∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子， 则平均每棵树结（600﹣5x）个橙子． ∵果园橙子的总产量为y， ∴则y=（x+100）（600﹣5x） 2=﹣5x+100x+60000， ∴当x=﹣=﹣=10（棵）时，橘子总个数最多． 故答案为：10． 点此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系评： 式是解题关键． 16．（4分）（2013•衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边
形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是 20 ；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是
．
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考点： 专题： 分析： 解答：
中点四边形；菱形的性质． 规律型． 根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可． 解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点， ∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形， ∴A1D1=5，C1D1=AC=5，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5， ∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20， 同理可得出：A3D3=5×，C3D3=AC=×5， 22A5D5=5×（），C5D5=AC=（）×5， … ∴四边形A2013B2013C2013D2013的周长是：故答案为：20，． =． 点此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知评： 得出边长变化规律是解题关键． 三、简答题（本大题共有8小题，共66分．务必写出解答过程．）
3
17．（6分）（2013•衢州）﹣2÷|﹣2|×（﹣7+5） 考实数的运算． 点： 专计算题． 题： 分先进行开方和乘方运算得到原式=2﹣8÷2×（﹣2），再进行乘除运算，然后进行加析： 法运算． 解解：原式=2﹣8÷2×（﹣2） 答： =2+8 =10． 点本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号评： 先算括号． 18．（6分）（2013•衢州）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
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考点： 专题： 分析： 解答：
一元二次方程的应用． 几何图形问题． 2（1）边长为x的正方形面积为x，矩形面积减去4个小正方形的面积即可． （2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可． 2解：（1）ab﹣4x；（2分） 22（2）依题意有：ab﹣4x=4x，（4分） 2将a=6，b=4，代入上式，得x=3，（6分） 解得x1=，x2=﹣（舍去）．（7分） 即正方形的边长为 点本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性． 评： 依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解． 19．（6分）（2013•衢州）如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=（1，b）两点．
（1）求函数y2的表达式；
（2）观察图象，比较当x＞0时，y1与y2的大小．
（x＞0）的图象交于A（a，1）、B
考反比例函数与一次函数的交点问题． 点： 分析： （1）由函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=（x＞0）的图象交于A（a，1）、B（1，b）两点，把A代入函数y1=﹣x+4，可求得A的坐标，继而求得函数y2的表达式； （2）观察图象可得即可求得：当x＞0时，y1与y2的大小． 解解：（1）把点A坐标代入y1=﹣x+4， 答： 得﹣a+4=1， 解得：a=3，…（1分）
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∴A（3，1）， 把点A坐标代入y2=， ∴k2=3， ∴函数y2的表达式为：y2=； …（3分） （2）∴由图象可知， 当0＜x＜1或x＞3时，y1＜y2，…（4分） 当x=1或x=3时，y1=y2，…（5分） 当1＜x＜3时，y1=y2． …（6分） 点此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握方程思想评： 与数形结合思想的应用． 20．（8分）（2013•衢州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
考切线的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 点： 分（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，析： 求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线； （2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值． 解（1）证明：连结DO． 答： ∵AD∥OC， ∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．…（1分） 又∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠COD=∠COB．…（2分） 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB（SAS）…（3分） ∴∠CDO=∠CBO=90°． 又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线．…（4分） （2）解：∵△COD≌△COB． ∴CD=CB．…（5分） ∵DE=2BC， - 10 -
∴ED=2CD． …（6分） ∵AD∥OC， ∴△EDA∽△ECO．…（7分） ∴．…（8分） 点此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性评： 质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 21．（8分）（2013•衢州）据《2012年衢州市国民经济和社会发展统计公报》（2013年2月5日发布），衢州市固定资产投资的相关数据统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求2012年的固定资产投资增长速度（年增长速度即年增长率）； （2）求2005﹣2012年固定资产投资增长速度这组数据的中位数； （3）求2006年的固定资产投资金额，并补全条形图；
（4）如果按照2012年的增长速度，请预测2013年衢州市的固定资产投资金额可达到多少亿元（精确到1亿元）？ 考折线统计图；条形统计图；中位数． 点： 分（1）根据2012年和2011年投资进而求出增长率即可； 析： （2）根据中位数的定义，按大小排列后找出最中间的两个求出平均数即可； （3）设2006年的固定资产投资金额为x亿元，进而得出280﹣x=12%x求出即可； （4）根据2012年的增长率，得出565×（1+13%）求出即可． 解解：（1）根据题意得出： 答： ×100%=13%； 答：2012年的固定资产投资增长速度为13%； （2）数据按大小排列得出： 10.71%，12%，13%，13.16%，16.28%，18.23%，22.58，25%， ∴中位数为：=14.72%； - 11 -
答：2005﹣2012年固定资产投资增长速度这组数据的中位数是14.72%； （3）设2006年的固定资产投资金额为x亿元，则有： 280﹣x=12%x（或x﹣200=25%×200）， 解得：x=250， 答：2006年的投资额是250亿元； 如图所示； （4）565×（1+13%）=638.45≈638（亿元）， 答：预测2013年可达638亿元． 点此题主要考查了折线图与条形图以及增长率和中位数的定义等知识，根据已知得出评： 增长率求法是解题关键． 22．（10分）（2013•衢州）【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
考相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 点： 分（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论； 析： （2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到=，根据∠BAM=∠BAC
﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．
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解（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， 答： ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （3）解：∠ABC=∠ACN． 理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴=， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN． 点本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键评： 是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论． 23．（10分）（2013•衢州）“五•一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示． （1）求a的值．
（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．
（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问
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检票一开始至少需要同时开放几个检票口？
考一次函数的应用． 点： 分（1）根据原有的人数﹣a分钟检票额人数+a分钟增加的人数=520建立方程求出其析： 解就可以； （2）设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出函数的解析式，再将x=20代入解析式就可以求出结论； （3）设需同时开放n个检票口，根据原来的人数+15分进站人数≥n个检票口15分钟检票人数建立不等式，求出其解即可． 解解：（1）由图象知，640+16a﹣2×14a=520， 答： ∴a=10； （2）设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得 ， 解得：，
y=﹣26x+780，当x=2时， y=260， 即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人． （3）设需同时开放n个检票口，则由题意知 14n×15≥640+16×15 解得：n≥4， ∵n为整数， ∴n=5． 答：至少需要同时开放5个检票口． 点本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，解答评： 的过程中求出函数的解析式是关键，建立一元一次不等式是重点． 24．（12分）（2013•衢州）在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
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（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；
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（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考二次函数综合题． 点： 分（1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值； 析： （2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可； （3）存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值． 解解：（1）∵四边形OABC是矩形， 答： ∴∠AOC=∠OAB=90°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD=∠DOQ=45°， ∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°， ∴AO=AD=2，OD=2， ∴t==2； （2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°． 如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中， ∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°， ∵OP=t，∴OG=PG=t， ∴点P（t，t） 又∵Q（2t，0），B（6，2）， 根据勾股定理可得：PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2， ①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2， 即：2t2+[（6﹣2t）2+22]=（6﹣t）2+（2﹣t）2， 整理得：4t2﹣8t=0， 解得：t1=0（舍去），t2=2， ∴t=2， ②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2， ∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]=2t2， 整理得：t2﹣10t+20=0， 解得：t=5±． ∴当t=2或t=5+或t=5﹣时，△PQB为直角三角形． - 15 -
解法2：①如图2，当∠PQB=90°时， 易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD∴∠BQC=∠POQ=45° 可得QC=BC=2，∴OQ=4， ∴2t=4， ∴t=2， ②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上， 作PN⊥x轴于点N，交AB于点M， 则易证∠PBM=∠CBQ， ∴△PMB∽△QCB ∴=， ∴CB•PM=QC•MB， ∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6）， 化简得t2﹣10t+20=0， 解得：t=5±， ∴t=5﹣； ③如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线上， 作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M， 则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC， ∴△PMB∽△QCB， ∴=， ∴CB•PM=QC•MB， ∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6）， 化简得t2﹣10t+20=0， 解得：t=5±， ∴t=5+； （3）存在这样的t值，理由如下： 将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上， 则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形． ∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t， t）， ∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t﹣6，t﹣2）， 代入y=﹣（x﹣t）2+t，得：2t2﹣13t+18=0， 解得：t1=，t2=2． 点本题考查了相似形综合题，涉及了动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角评： 三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的t值，同时要数形结合进行思考，难度较大． - 16 -
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