这份是本⼈的学习笔记，课程为⽹易公开课上的斯坦福⼤学公开课：傅⾥叶变换及其应⽤。
我们把我们前⾯所学习的傅⾥叶变换称为传统傅⾥叶变换。按照我们原来的理论，只有函数的积分收敛了，它才能进⾏傅⾥叶变换。如此⼀来，对于常规的sin，cos，常数函数等则⽆法进⾏傅⾥叶变换，因此，我们需要⼀个更鲁棒的傅⾥叶变换，使之能处理这些常规函数。
原本的傅⾥叶变换之所以⽆法应⽤到这些常规函数，问题的关键在于积分的收敛性。传统的傅⾥叶变换主要有两个问题：1. 傅⾥叶变换基于积分的收敛
2. 傅⾥叶逆变换必须可⾏，否则尽管傅⾥叶正变换被执⾏了也毫⽆意义
问题例⼦1
f(t) = \\Pi(t)
\\begin{align*} &\\mathcal{F}\\Pi = sinc & \\mathcal{F}\\Pi = \\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi ist}ds \\\\ &\\mathcal{F}^{-1}sinc = \\mathcal{F}^{-1}\\mathcal{F}\\Pi = \\Pi & \\mathcal{F}^{-1}sinc = \\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{2\\pi ist}\\frac{sin\\pi s}{\\pi s}ds \\\\ &\\mathcal{F}sinc =
\\mathcal{F}\\mathcal{F}\\Pi = \\Pi^{-} = \\Pi & \\mathcal{F}sinc = \\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi ist}\\frac{sin \\pi s}{\\pi s}ds } \\end{align*}
在左⽅的式⼦中，我们能很轻松地运⽤傅⾥叶的逆变换、对偶等定理得到结果，但是在实际应⽤中我们对信号进⾏傅⾥叶转换并处理后，通常需要像右⽅的式⼦进⾏计算后去获得原始的信号，⽽右⽅的第⼆三个式⼦的积分求法是⾮常困难的。另外，在计算的时候还必须⾯对⼀些函数的收敛性问题——由于\\Pi函数是跳跃的，最终积分运算得到的\\Pi会在跳变点\\pm \\frac{1}{2}处取值为\\frac{1}{2}(0+1)，尽管我们能处理这种情况。
结论就是，对于最简单的\\Pi函数都出现了这样的问题，需要⽤特殊的技巧、进⾏特殊的讨论，这使得我们对传统的傅⾥叶变换的适⽤性产⽣了怀疑。
问题例⼦2
\\begin{align*} &f(t) = 1 & \\mathcal{F}f(t) = \\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi ist}dt } \\\\ &f(t) = sin2\\pi t & \\qquad \\mathcal{F}f(t) =\\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi ist}sin2\\pi t dt } \\\\ &f(t) = cos2\\pi t & \\qquad \\mathcal{F}f(t) = \\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi
ist}cos2\\pi t dt } \\end{align*}
对于这些不收敛的函数的积分是⽆意义的。
处理这些问题的⽅法
有两种⽅法可以处理这些问题：1. 针对特殊函数进⾏特殊的研究
2. 从基础重新研究傅⾥叶变换，得到⼀个更鲁棒的、能适⽤各种函数的新傅⾥叶变换的定义
在1940年代以前，各种数学家、科学家们都是采⽤第⼀种⽅法，对各种各样的函数进⾏研究。40年代以后，科学家们开始采⽤第⼆种⽅法，这种⽅法发展⾄今已经相当成熟，我们从这⾥开始研究第⼆种⽅法，探究新的傅⾥叶变换的定义。
⾸先找出最适合进⾏傅⾥叶变换的函数，这类函数被称为S（Schwartz定义了这类函数）。S需要满⾜两个前提条件
1. 如果f(t) \\in S，那么\\mathcal{F}f \\in S
2. 如果f(t) \\in S，f(t)能进⾏傅⾥叶正逆变换的积分计算，\\mathcal{F}\\mathcal{F}^{-1}f = f，\\mathcal{F}^{-1}\\mathcal{F}f = f条件⼀，排除了\\Pi函数，因为我们能通过积分得到\\Pi函数的傅⾥叶变换为sinc函数，⽽⽆法通过积分得到sinc的逆傅⾥叶变换。条件⼆，排除了sin,cos常数函数，因为他们的傅⾥叶变换没有被定义，⽆法执⾏积分计算。
S（Schwartz）作为最适合进⾏傅⾥叶变换的函数，也被叫做速降函数，设有速降函数f(x) \\in S它的定义如下1. f(x)是⽆限可微的（光滑函数）
2. 对于任何m,n \\geqslant 0，都有\\displaystyle{ \\lim_{x \o \\pm \\infty} |x|^n\\left| \\frac{\\partial^m}{\\partial x^m} f(x)\\right| = 0 }
即f(x)的任意阶导趋于0的速度都⽐x的的任意次⽅上升速度快。这些定义是由傅⾥叶的导数定理（derivative theorem）引申出来的。相关推导如下：
Decay \\Rightarrow Smoothness
在传统傅⾥叶变换中我们经常假设|f(x)|是可积分的（integrable），现在我们更⼤胆点去假设|xf(x)|是可积的，即
\\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty}|xf(x)|dx < \\infty }
那么xf(x)傅⾥叶变换是有意义的，那么-2\\pi ixf(x)也能进⾏傅⾥叶变换
\\begin{align*} \\mathcal{F}(-2\\pi ixf(x)) &= \\int_{-\\infty}^{\\infty}(-2\\pi ix)e^{-2\\pi isx}f(x)dx \\\\ &= \\int_{-\\infty}^{\\infty}\\left( \\frac{\\partial}{\\partials}e^{-2\\pi isx} \\right)f(x)dx \\\\ &= \\frac{\\partial}{\\partial s}\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi isx}f(x)dx \\\\ &= \\frac{\\partial}{\\partial s}(\\mathcal{F}f)(s)
\\end{align*}在|xf(x)|可积的这个前提下，我们算出了\\mathcal{F}f(s)是可微的（即连续的），它微分后得\\mathcal{F}(-2\\pi ixf(x))。
更深⼊探讨⼀下傅⾥叶变换的⼆阶微分，假设|x^2f(x)|是可积分的，得
\\begin{align*} \\mathcal{F}((-2\\pi ix)^2f(x)) &= \\int_{-\\infty}^{\\infty}(-2\\pi ix)^2e^{-2\\pi isx}f(x)dx \\\\ &= \\int_{-\\infty}^{\\infty}\\left( \\frac{\\partial^2}{\\partial^2 s}e^{-2\\pi isx} \\right)f(x)dx \\\\ &= \\frac{\\partial^2}{\\partial^2 s}\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi isx}f(x)dx \\\\ &= \\frac{\\partial^2}{\\partial^2 s}
(\\mathcal{F}f)(s) \\end{align*}以此类推，|x^nf(x)|可积则代表了\\mathcal{F}f(s)为n阶可微。|x^nf(x)|的可积表⽰了其积分的值为固定值，因此f(x)会衰减，其衰减速率类似于\\frac{1}{s^n}，随着n的增⼤，f(x)衰减的速度会越来越快，其傅⾥叶变换\\mathcal{F}f(s)会变得更光滑，那么我们在此可以得到结论：
f(x)衰减越快，其傅⾥叶变换\\mathcal{F}f(s)则越光滑。
Smoothness \\Rightarrow Decay
采⽤与上⾯的推导过程不同的⽅法，这⾥⾸先假设f(x)是可微的，它的导数f'是可积的，并且有\\displaystyle{ \\lim_{x \o \\pm\\infty}f(x) = 0}，则
\\begin{align*} \\mathcal{F}(s) &= \\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi isx}f(x)dx \\\\ &= \\left[ f(x)\\frac{e^{-2\\pi isx}}{-2\\pi is}\\right]_{x=-\\infty}^{x=\\infty} -\\int_{-\\infty}^{\\infty}\\frac{e^{-2\\pi isx}}{-2\\pi is}f'(x)dx \\\\ &= \\frac{1}{2\\pi is}\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi isx}f'(x)dx \\qquad \\lim_{x\o\\pm\\infty}f(x)=0
\\Rightarrow \\left[ f(x)\\frac{e^{-2\\pi isx}}{-2\\pi is}\\right]_{x=-\\infty}^{x=\\infty}=0 \\\\ &= \\frac{1}{2 \\pi is}(\\mathcal{F}f')(s) \\end{align*}
取绝对值，有
\\begin{align*} |\\mathcal{F}f(s)| &= \\left|\\frac{1}{2\\pi is}(\\mathcal{F}f')(s)\\right| \\\\ &= \\displaystyle{\\frac{1}{2 \\pi s}\\left| \\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi isx}f'(x)dx\\right| }\\\\ &\\leqslant \\frac{1}{2\\pi s} \\int_{-\\infty}^{\\infty}|e^{-2\\pi isx}||f'(x)|dx \\\\ &= \\frac{1}{2\\pi s}\\int_{-\\infty}^{\\infty}|f'(x)|dx \\\\ &=
\\frac{1}{2\\pi s}\\left \\| f' \\right \\|_1 \\end{align*}\\left \\| f' \\right \\|_1表⽰了对f'的绝对值进⾏积分，这个叫做L_1-norm。由于f'是可积的，因此其积分为固定值，这意味着\\mathcal{F}f趋于0的速度类似于\\frac{1}{s}。
进⼀步假设f(x)是⼆阶可微，并且其⼀阶积分f'、⼆阶微分f''可积，另外还满⾜\\displaystyle{ \\lim_{x \o \\pm\\infty}f(x) =0}，\\displaystyle{\\lim_{x\o\\pm\\infty}f'(x)=0 }。
则有，
\\begin{align*} \\mathcal{F}f(s) &= \\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi isx}f(x)dx \\\\ &= \\frac{1}{2\\pi is}\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi isx}f'(x)dx \\qquad(picking \\ up \\ on \\ where \\ we \\ were \\ before)\\\\ &=\\frac{1}{2\\pi is} \\left( \\left[f'(x)\\frac{e^{-2\\pi isx}}{-2\\pi is} \\right]_{x=-\\infty}^{x=\\infty} - \\int_{-\\infty}^{\\infty}\\frac{e^{-2\\pi isx}}{-2\\pi is} f''(x)dx\\right )\\\\ &=\\frac{1}{(2\\pi is)^2}\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi isx}f''(x)dx
\\qquad(\\lim_{x\o\\pm\\infty}f'(x)=0 \\Rightarrow \\left[f'(x)\\frac{e^{-2\\pi isx}}{-2\\pi is} \\right]_{x=-\\infty}^{x=\\infty}=0)\\\\ &=\\frac{1}{(2\\pi is)^2}
(\\mathcal{F}f'')(s) \\end{align*}因此，
|\\mathcal{F}f(s)| \\leqslant \\frac{1}{|2\\pi s|^2}\\left\\| f''\\right\\|_1
由于f''是可积的，因此其积分为固定值，这意味着\\mathcal{F}f趋于0的速度类似于\\frac{1}{s^2}。那么我们可以得出结论：f(x)越光滑，⽽且在这基础上其微分都可积，其傅⾥叶变换\\mathcal{F}f(s)衰减得越快
速降函数
把得到的这两个结论结合起来，即
f(x) 的衰减速率及光滑度将会影响其傅⾥叶变换\\mathcal{F}f(s)的光滑度与衰减速率。因此最简单有效结合这些现象的⽅式就是允许f(x)能以任意速率进⾏衰减，能有任意阶的光滑度：
|x^m\\frac{\\partial^n}{\\partial x^n}f(x)| \\leqslant C_{mn}
m,n的取值为任意⾮负整数。C_{mn}为常数，有了这个常数才能从式⼦中体现出f(x)衰减，即式⼦有上界C_{mn}。这个式⼦也等同于
|x^m\\frac{\\partial^n}{\\partial x^n}f(x)| \o 0 \\quad as \\quad x\o \\pm\\infty
在x轴两端趋于0。
速降函数的正逆傅⾥叶变换仍是速降函数
证明过程如下：
对于任意阶可微以及任意阶可衰减的速降函数来说，由前⾯衰减与光滑度的推论已经可以得到下⾯的等式，
\\begin{align*} (2\\pi is)^n\\mathcal{F}f(s) &= \\left( \\mathcal{F}\\frac{\\partial^n}{\\partial x^n}f \\right )(s) \\\\ \\frac{\\partial^n}{\\partial
s^n}\\mathcal{F}f(s) &= \\mathcal{F}\\left( (-2\\pi ix)^n f(x)\\right) \\end{align*}
把两个等式合并起来
\\begin{align*} \\mathcal{F}\\left(\\frac{\\partial^n}{\\partial x^n}((-2\\pi ix)^mf(x)) \\right ) &=(2\\pi is)^n\\frac{\\partial^m}{\\partial
s^m}\\mathcal{F}f(s) \\\\ (-2\\pi i)^m\\mathcal{F}\\left(\\frac{\\partial^n}{\\partial x^n}(x^mf(x)) \\right ) &= (2\\pi is)^n\\frac{\\partial^m}{\\partial
s^m}\\mathcal{F}f(s) \\\\ |(-2\\pi i)^m|\\left| \\mathcal{F}\\left(\\frac{\\partial^n}{\\partial x^n}(x^mf(x)) \\right )\\right| &= |(2\\pi is)^n|\\left|\\frac{\\partial^m}
{\\partial s^m}\\mathcal{F}f(s)\\right| \\\\ (2\\pi)^{m-n}\\left| \\mathcal{F}\\left(\\frac{\\partial^n}{\\partial x^n}(x^mf(x)) \\right )\\right| &= |s|^n
\\left|\\frac{\\partial^m}{\\partial s^m}\\mathcal{F}f(s)\\right| \\end{align*}把\\left| \\mathcal{F}\\left(\\frac{\\partial^n}{\\partial x^n}(x^mf(x)) \\right )\\right|转换为L_1-norm的形式，则有
\\left|s^n\\frac{\\partial^m}{\\partial s^m}\\mathcal{F}f(s)\\right| \\leqslant (2\\pi)^{m-n}\\left\\| \\frac{\\partial^n}{\\partial x^n}(x^mf(x)) \\right\\|_1由于f(x)为速降函数，因此上边等式的右边得到的值为有限值，记为C_{mn}，因此有
\\left|s^n\\frac{\\partial^m}{\\partial s^m}\\mathcal{F}f(s)\\right| \\leqslant C_{mn}
因此得结论
\\mathcal{F}f(s) \\in S \\quad as \\quad f(x) \\in S
逆傅⾥叶变换与正傅⾥叶变换只在e的复指数上相差⼀个-号，因此同理也能证明
\\mathcal{F}^{-1}f(x) \\in S \\quad as \\quad f(s) \\in S
\\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty}|\\mathcal{F}f(s)|^2ds = \\int_{-\\infty}^{\\infty}|f(x)|^2dx }
该等式表明信号在时域与频域的能量相等。其⼀般形式为：设有f(x),g(x) \\in S，则
\\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty}\\mathcal{F}f(s)\\bar{\\mathcal{F}g(s)}2ds = \\int_{-\\infty}^{\\infty}f(x)\\bar{g(x)}dx }
推导过程如下：
g(x) = \\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{2\\pi isx}\\mathcal{F}g(s)ds }
\\rightarrow \\quad \\bar{g(x)} = \\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi isx}\\bar{\\mathcal{F}g(s)}ds}
则，
\\begin{align*} \\int_{-\\infty}^{\\infty}f(x)\\bar{g(x)}dx &= \\int_{-\\infty}^{\\infty}f(x)\\left( \\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi
isx}\\bar{\\mathcal{F}g(s)ds}\\right)dx \\\\ &= \\int_{-\\infty}^{\\infty}\\left( \\int_{-\\infty}^{\\infty}f(x)e^{-2\\pi isx}dx \\right )\\bar{\\mathcal{F}g(s)}ds \\\\ &=
\\int_{-\\infty}^{\\infty}\\mathcal{F}f(s)\\bar{\\mathcal{F}g(s)}ds \\end{align*}
同理，由于|e^{2\\pi isx}| = 1，因此
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\\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty}|\\mathcal{F}f(s)|^2 ds = \\int_{-\\infty}^{\\infty}|f(x)|^2 dx }
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