整式的加减及例题

《整式及整式的加减》要点梳理及经典例题

一、整式的有关概念 1．单项式

（1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：以

x1可以看成x，所22x2x是单项式；而表示2与x的商，所以不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式. 2x2121（2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：xy的系数是；2r的系

22数是2.

注意：①单项式的系数包括其前面的符号；②当一个单项式的系数是1或1时，“1”通常省略不

写，但符号不能省略. 如：xy,abc等；③是数字，不是字母.

（3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.

注意：①计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况. 如2xyz的次数为1326，而不是5；②切勿加上系数上的指数，如2xy的次数是3，而不是8；2xy的次数是5，而不是6.

2．多项式

（1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则. （2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单项式就叫几项式.例如：2x3y1共含有有三项，分别是2x,3y,1，所以2x3y1是一个三项式.

注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是1，而不是1. （3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.

注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式2xy3xy5xy中，2xy的次数是4，3xy的次数是5，5xy的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是45312.

3．整式：单项式和多项式统称做整式. 4．降幂排列与升幂排列

（1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.

（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.

注意：①降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；②把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；③在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多项式xyxy3xy2xy按x的升幂排列为：

2442332242224222252323223y4xy23x2y32x3yx4；按y的降幂排列为：y43x2y3xy22x3yx4.

二、整式的加减

1．同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.

注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：而2ab与5ab2ab与3ba是同类项；却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.

2．合并同类项

（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.

注意：①合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如2a3b5ab显然不正确；②不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.

（2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.

注意：①合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；②合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；③两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.

3．去括号与填括号

（1）去括号法则：括号前面是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“－”，把括号和它前面的“－”去掉，括号内的各项都改变符号.

注意：①去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；②明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变. 例如：

23322332abcabc;abcabc；③当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇

特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.

（2）填括号法则：所添括号前面是“＋”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“－”号，添到括号内的各项都改变符号.

注意：①添括号是添上括号和括号前面的“＋”或“－”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；②添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验. 例如：

abcabc;abcabc.

4．整式的加减

整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：

（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项. 注意：整式运算的结果仍是整式.

经典例题透析

类型一：用字母表示数量关系

1．填空题：

(1)香蕉每千克售价3元，m千克售价____________元。 (2)温度由5℃上升t℃后是__________℃。

(3)每台电脑售价x元，降价10％后每台售价为____________元。 (4)某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为__________。

思路点拨：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。

举一反三：

[变式] 某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5％，则共需邮费______________元。

类型二：整式的概念

2．指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。

(1)

x＋1；(2)a＝2；(3)π；(4)S＝πR2；(5)；(6)

总结升华：判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。 举一反三：

[变式]把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。

x2y， a－b， x＋y2－5， ， －29， 2ax＋9b－5， 600xz， axy， xyz－1， 。

分析：本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。

答案：单项式有：x2y，－，－29,600xz，axy

多项式有：a－b，x＋y2－5,2ax＋9b－5，xyz－1

整式有：x2y，

a－b，x＋y2－5，－，－29，2ax＋9b－5,600xz，axy，xyz－1。

类型三：同类项

3．若与是同类项，那么a,b的值分别是（ ）

（A）a=2, b=－1。 （B）a=2, b=1。 （C）a=－2, b=－1。 （D）a=－2, b=1。

思路点拨:解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，要注意同类项与系数的大小没有关系。

解析：由同类项的定义可得：a－1=－b,且 2a+b=3， 解得 a=2, b=－1， 故选A。 举一反三：

[变式]在下面的语句中，正确的有( )

①－a2b3与a3b2是同类项； ②x2yz与－zx2y是同类项； ③－1与是同类项；

④字母相同的项是同类项。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

解析：①中－a2b3与a3b2所含的字母都是a，b，但a的次数分别是2,3，b的次数分别是3,2，

所以它们不是同类项；②中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以

x2yz与－zx2y是

同类项；不含字母的项(常数项)都是同类项，③正确，根据①可知④不正确。故选B。

类型四：整式的加减

4．化简m－n－（m+n）的结果是（ ）

（A）0。 （B）2m。 （C）－2n。 （D）2m－2n。

思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。

解析： 原式=m－n－m－n=－2n，故选（C）。 举一反三：

[变式] 计算：2xy+3xy=_________。

分析：按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意不要出现5x2y2的错误。 答案：5xy。

2xy2)

5．（化简代入求值法）已知x＝－，y＝－,求代数式(5x2y－2xy2－3xy)－(2xy＋5x2y－

思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。 解析：原式＝5x2y－2xy2－3xy－2xy－5x2y＋2xy2＝－5xy

当x＝－，y＝－时，原式＝－5×。

总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值。 举一反三：

[变式1] 当x＝0，x＝，x＝-2时，分别求代数式的2x2－x＋1的值。

解：当x＝0时，2x2－x＋1＝2×02－0＋1＝1；

当x＝时，2x2－x＋1＝2×；

当x＝-2时，2x2－x＋1＝2×（-2）2－（-2）＋1＝2×4+2＋1＝11。

总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。

[变式2] 先化简，再求值。

3(2x2y－3xy2)－(xy2－3x2y)，其中x＝，y＝－1。

解： 3(2x2y－3xy2)－(xy2－3x2y)＝(6x2y－9xy2)－xy2＋3x2y ＝6x2y－9xy2－xy2＋3x2y＝9x2y－10xy2。

∴当x＝，y＝－1时，原式＝9××(－1)－10××(－1)2＝－。

总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为9x2y－10xy2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。

[变式3] 求下列各式的值。

(1)(2x2－x－1)－，其中x＝

(2)2[mn＋(－3m)]－3(2n－mn)，其中m＋n＝2，mn＝－3。

解析：(1) (2x2－x－1)－

＝2x2－x－1－x2＋x＋＋3x2－3＝4x2－4

当x＝时，原式＝4×－4＝9－4＝5。

(2) 2[mn＋(－3m)]－3(2n－mn) ＝2mn－6m－6n＋3mn ＝5mn－6(m＋n) 当m＋n＝2，mn＝－3时 原式＝5×(－3)－6×2＝－27。

类型五：整体思想的应用

6．已知x2＋x＋3的值为7，求2x2＋2x－3的值。

思路点拨：该题解答的技巧在于先求x2＋x的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。

解析：由题意得x2＋x＋3＝7，所以x2＋x＝4，所以2(x2＋x)＝8，即2x2＋2x＝8，所以2x2＋2x－3＝8－3＝5。

总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。 举一反三：

[变式1] 已知x2＋x－1＝0，求代数式x3＋2x2－7的值。 分析：此题由已知条件无法求出x的值，故考虑整体代入。 解析：∵x2＋x－1＝0，∴x2＝1－x，

∴x3＋2x2－7＝x(1－x)＋2(1－x)－7＝x－x2＋2－2x－7 ＝-x2-x-5＝（-x2-x+1）-6 =－6。

[变式2] 当x＝1时，代数式px3＋qx＋1的值为2003，则当x＝－1时，代数式px3＋qx＋1的值为( ) A、－2001 B、－2002 C、－2003 D、2001

分析：这是一道求值的选择题，显然p，q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。

解析：当x＝1时，px3＋qx＋1＝p＋q＋1＝2003，而当x＝－1时，px3＋qx＋1＝－p－q＋1，可以把p＋q看做一个整体，由p＋q＋1＝2003得p＋q＝2002，于是－p－q＝－(p＋q)＝－2002，所以原式＝－2002＋1＝－2001。故选A。

[变式3] 已知A＝3x3－2x＋1，B＝3x2－2x＋1，C＝2x2＋1，则下列代数式中化简结果为3x3－7x2－2的是( )

A、A＋B＋2C B、A＋B－2C C、A－B－2C D、A－B＋2C

分析：将A，B，C的式子分别代入A，B，C，D四个选项中检验，如：A－B－2C＝3x3－2x＋1－(3x2－2x＋1)－2(2x2＋1)＝3x3－2x＋1－3x2＋2x－1－4x2－2＝3x3－7x2－2。故选C。 答案：C

[变式4] 化简求值。

(1)3(a＋b－c)＋8(a－b－c)－7(a＋b－c)－4(a－b－c)，其中b＝2 (2)已知a－b＝2，求2(a－b)－a＋b＋9的值。

分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将a＋b－c，a－b－c分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出a，b的值，再代入求值，显然行不通，应视a－b为一个“整体”。

解析：(1)原式＝3(a＋b－c)－7(a＋b－c)＋8(a－b－c)－4(a－b－c) ＝－4(a＋b－c)＋4(a－b－c)

＝－4a－4b＋4c＋4a－4b－4c＝－8b。 因为b＝2，所以原式＝－8×2＝－16。 (2)原式＝2(a－b)－(a－b)＋9 ＝(a－b)＋9

因为a－b＝2，所以原式＝2＋9＝11。

类型六：综合应用

7．已知多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值与x无关，试求5a2－2(a2－3a＋4)的值。

思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可. 解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝(3a－9)x2＋4。 因为原式的值与x无关，故3a－9＝0，所以a＝3。 又因为5a2－2(a2－3a＋4)＝5a2－2a2＋6a－8＝3a2＋6a－8， 所以当a＝3时，原式＝3×32＋6×3－8＝37。

总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。 举一反三：

[变式1]当a(x≠0)为何值时，多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值恒等为4。 解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝(3a－9)x2＋4。

因为(3a－9)x2＋4＝4，所以(3a－9)x2＝0。又因为x≠0，故有3a－9＝0。即a＝3， 所以当a＝3时，多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值恒等于4。

[变式2]当a＝3时，多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值为多少？ 解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7 ＝(3a－9)x2＋4，当a＝3时，原式＝(3×3－9)x2＋4＝4。

8．已知关于x的多项式(a－1)x5＋x|b2|－2x＋b是二次三项式，则a＝____，b＝____。

＋

分析：由题意可知a－1＝0，即a＝1，|b＋2|＝2，即b＝－4或0，但当b＝0时，不符合题意，所以b＝－4。

答案：1，－4 举一反三： [变式]若关于式，求m，n的值 答案：m=5，n=-1

的多项式：

，化简后是四次三项