导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

导数的概念及运算

一，导数的概念

1.设函数y

y

f(x)在x

x0处附近有定义，当自变量在y

f(x0

x)yx

f(x0)，如果

x

x0处有增量

x时，则函数

y与

f(x)相应地有增量x0时，x的比

yx

（也叫函数的平均变化率）有极限即数y

无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函

，即f(x0)

f(x)在x

在定义式中，设

x0处的导数，记作x

x0

x，则

y

x

xx0

lim

x

f(x0

0

x)x

f(x0)

x

x0，当x趋近于0时，x趋近于x0，因

此，导数的定义式可写成

f(x0)2.求函数y

limxo

f(x0

x)x

f(x0)

f(x)limxx

x

0

f(x0)

.

x0

y

f(xy

x)f(x)

f(x)lim

x

f(x)的导数的一般步骤：

yx

f(x0

0

1求函数的改变量

f(x)

；

2求平均变化率3.导数的几何意义：

导数f(x0)反映的函数

f(xx)xx)x

3取极限，得导数

y

0

x

lim

x

f(x0)

是函数y

f(x)在点x0处的瞬时变化率，它

y

f(x)在点x0处变化．．的快慢程度.

y

f(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率

.因此，如果

它的几何意义是曲线

y

yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x0)f(x0)(xx0)

f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

4.导函数(导数):如果函数y

个x

f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一

f(x)，从而构成了一个新的函数

f(x), 称这个

(a,b)，都对应着一个确定的导数

函数f(x)为函数y＝lim

x

f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即f(x)＝yx)x

xx0

y

0

x

lim

x

f(x

0

f(x)

函数y

f(x)在x0处的导数y

就是函数yf(x)在开区间(a,b)(x(a,b))

上导数f(x)在x0处的函数值，即

;.

y

xx0

＝f(x0).所以函数yf(x)在x0处的导数也

'.

记作f(x0)

1．用导数的定义求下列函数的导数：

1

yf(x)x；2

2

yf(x)

4x

2

2．

1

已知

lim△x0

f(x0

2△x)

3△x

f(x0)

1，求f(x0)

2若f(3)2，则lim

x

f(3)

1

f(12x)x1

二，导数的四则计算

常用的导数公式及求导法则：（1）公式①C

'

0，（C是常数）

'

②(sinx)④(x)⑥(e)

xn

''

'

cosxnxe

xn1

③(cosx)⑤(a)⑦(log

x

'

sinxaxlna

1xlna

1

2

a

x)

'

'

⑧(lnx)

'

1x

'

⑨(tanx)

cosx

'

（2）法则：[f(x)g(x)][f(x)g(x)]

;.

'

⑩（cotx)

1sinx

2

[f(x)]

'

'

[g(x)]，

'

f(x)g(x)

'

g(x)f(x)

'.

[

f(x)g(x)

]

'

f(x)g(x)

2

'

g(x)f(x)

y

f(g(x))的导数和函数y

f(u)，u

g(x)的导

'

g(x)

2，复合函数的求导法则：复合函数数间的关系为

yx'

yu'ux'.

题型1，导数的四则计算1，求下列函数的导数：

1yex

lnx

3y

sinx1cosx

5y3

x

e

x

2

x

e2，求导数（1）

yx

3

x

2

4

;.

x2y

e1e

x

1

4y

x

2

1sinxxcosx

6y3x

3

4x2x1

（2）y

sinxx

'.

（3）y3cosx4sinx

（4）

y2x3

2

（5）

ylnx2

三，复合函数的导数链式法则

若y= f (u)，u=

(x)

y= f [

(x)]，则

yx=f(u)

若y= f (u)，u=

(x)

y= f [

(v)，v=(x)(v)

((x))]，则

yx=f(u)

(x)

在求导时要由外

说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。到内，逐层求导。1，函数y

1(13x)

4

的导数.

2，求

y

5

x1x

的导数．

;.

3，求下列函数的导数

y32x

4，求下列函数的导数

（1）y=

12xcos x

5，设y

ln(xx

1)求跟踪练习: 求下函数的导数. 6,（1）y

cos

x3

;.

'.

（2）y=ln (x+

1x

2

)

y.

2）y2x1

（7，(1)y=(5x－3)

4

8,(1)y=

1(2x

2

(2)1)

3

9，⑴y(2x2)3

；

;.

(2)y=(2+3x)

5

(3)y=(2－x2)

3

y=4

1 (3)3x1

y=sin(3x－

6

) (4)⑵ysinx2

；⑶y

cos(

4

x)；'.

(4)y=(2x3+x)

2

y=cos(1+x2

)

⑷ylnsin(3x1)．

'.

10，求下列函数的导数(1) y=sinx+sin3x；

3

3

（2）y

sin2x2x1

(3)

loga(x

2

2)

;.