波音747偏航阻尼器的设计

波音747偏航阻尼器的设计

1 问题描述

1.1飞机的操纵

飞机在飞行过程中主要借助机翼和平尾上的舵面来实施操纵。通过副翼、升降舵和方向舵（，，），可以产生绕纵轴、横轴和竖袖（x，y，z）的力矩（L，M，N），借助这些力矩，就可以改变飞机姿态角、、。舵面偏角和所产生的力矩之间的对应关系如图1所示，它们按负向定义，例如，正的副翼偏角产生一个负的该转力矩。

——沉浮运动①，一种缓慢的飞行航迹振动，大

多为弱阻尼；

——短周期振动②，一种相对快的、具有良好阻尼的绕y铀的转动振动。

侧向运动有一个周期性的固有运动和两个实的极点，它们后于非周期固有运动，如图2(b)所示：

——荷兰滚振动③，一种阻尼相对较弱的快速振动，这种振动中滚转运动和偏航运动是耦合的； ——滚转运动④，一种快速绕x轴的非周期运动；

——螺旋运动⑥，一种缓慢的、通常为弱不稳定的非周期性航迹运动。

1.3 飞行控制器的设计要求

1.3.1 作为驾驶员和乘客的人

在控制飞机时，须从两个方面考虑人的存在。一方面，人是乘客，所以，就对乘坐舒适性，也就是对姿态角和加速度的极限以及降低突风

敏感性等提出相应的要求。另一方面，人又作为控制过程的驾驶员，参与或监控控制过程，因而对飞机的固有特性（本征特性、操纵特性）和它行航迹控制的品质提出要求。飞行控制器设计准则大多是由这些要求衍生来的。 1.3.2 大的参数范围

现代飞机大的使用范围（高度、马赫数）及其构形的重大变化（重心位置、机翼构形），造成方程组的参数在很大的数值范围内变化、尤其是空气动力的特征值都存在严重非线性，且为多维函数。与此相反，有些长距离飞行阶段飞行状态仅缓慢变化（例如巡航飞行）。即使是今天的进场过程，也是由定常飞行阶段组成的。所以，通常可以在某一工作点上把飞机运动方程线性化，井进一步简化成近似方程。 1.3.3 模型限制

飞机机体（机翼、机身、尾翼）由于其轻结构特性的缘故，所以是弹性体，并能以多自由度振动。此外，这些弹性自由度和激发它们的空气

图1 空气动力力矩操纵

（－滚转角，－俯仰角，－偏航角）

1.2 飞机固有模态及其影响

所有刚体飞机的根分布具有鲜明的特征。纵

向运动由两对共扼复根决定，它们各表征各种特征运动，如图2(a)所示：

2j3j145(a)(b)

图2 特征方程根的典型分布 (a) 纵向运动 (b) 侧向运动

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第14小组项目报告 沈敏琪、段睿、董强

动力之间存在强烈的交变作用（空气动力弹性）。在气动舱面上，还存在有空气动力对偏转本身和对非绝对刚性支撑的强烈反作用。如果在计算控制器方案时把飞机视为刚体，如前面业已介绍的那样，则这仅表示对真实特性的一种近似。幸亏在许多情况下（但有些情况要除外，例如大型飞机）结构振动的特征频率和刚体飞机的特征频率的间隔足够大，因而很大程度上二者被此可以解耦，而且通过采用滤波器，可以由飞行控制器避免激发弹性自由度。但这些影响不允许使用高的控制增益和过度的操纵活动。

由以上的原因，飞行控制器必须满足以下几个基本条件：

第一方面涉及飞行品质要求，首先是有关飞机的动态特性，也就是有关稳定性、操纵性和机动性（操纵品质），以及阵风敏感性（乘坐品质）的要求。因此，这些要求优先考虑了驾驶员对良好的飞行能力和飞行舒适性的希望，但也包括对遵守安全飞行范围（飞行包线）的一些主要要求。

第二方面的要求被及单独飞机对环境的适应性，即对全部飞行活动的适应性。由起飞、巡航、进场和着陆助控制和标准飞行方式，得到关于对保持飞行航迹的允许偏差以及从各航迹段到ILS进场着陆方式的程序等方面的—些要求。

第三方面的要求是近10年来才提出的：即通过控制来改善飞行性能。在应用“主动控制”技术不断扩大了战斗机的飞行范围之后，在民用航空领域，控制器有利于改善飞行品质和飞行性能之间的协调。例如，机动载荷控制，或者降低静稳定性。总之，这些措施和另外一些措施都要求通过控制来主动限制飞行范围。

1.4 针对荷兰滚振动的偏航阻尼器

按飞行品质规范的要求，飞机必须具备一定的静稳定性和动稳定性。但是，现代飞机本身往住不具备这些特性，例如很多飞机的荷兰滚模态的阻尼特性差，这就要求增加偏航阻尼来改善它；又例如有的飞机固有的纵向和侧向稳定性就不足，这就要求采用控制系统增加其静稳定性。这类为增加和改善飞机稳定性能的控制系统称为增稳系统（STANLITY AUTOMENTATION SYSTEMS，缩写为SAS）。增稳系统由以下几个控制器组成：

 偏航阻尼系统  滚转阻尼系统  俯仰阻尼系统  纵向增稳系统  航向增稳系统

荷兰滚振动是横侧向运动中的一种转动振动，一方面侧滑角和偏航角不断交换（偏航运动）；另一方面，侧滑角又与滚转角不断交换（滚转运动），滚转角比偏航角相位滞后90~180，这就造成如图所示的这种“蹒跚”运动，如图3所示。荷兰滚振动的特点与飞机当时的构形（气动导数，惯性矩分布）紧密相关，故一般不能像已介绍过的运动模态那样典型化。对于无后掠大展弦比飞机来说，荷兰滚振动蜕化成近乎单纯的偏航运动。

针对荷兰滚这种模态，将偏航角速度引入方向舵的反馈，这称为偏航阻尼器（yaw damper），用来作为辅助驾驶员的自动控制器。因为现代高性能喷气运输机的荷兰滚振动阻尼一般都较弱，所以，一般情况下，为了满足飞行品质要求，都需要有阻尼器，而且要连续投入运行。有了偏航阻尼器，可以使驾驶员在操纵飞机时减少很多困难，尤其在扰动气流时飞行更是如此。

图4是偏航阻尼系统的典型方框图，其中，

ey是速率陀螺信号经放大器后的输出，e是洗出网路输出，伺服机构的输入为ey，输出方向舵偏转角y。偏航阻尼器对飞机的偏航运动增加了稳定性，但当驾驶员以某个滚转角()操纵

飞机做稳态转弯时，由于速率陀螺的测量轴与机体所处的坐标轴是一致的，这样速率陀螺会感受到飞机偏航速率()，在机体轴竖轴上的投影分

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量为ycos。于是偏航阻尼器产生一个恒定的方向舵偏角，因而产生一个附加的阻尼力矩，以阻碍驾驶员的操纵，而且可能引起很大的侧滑，从而降低飞机的机动性，这是不希望的。为了减小偏航阻尼器对稳态转弯的影响，以充分发挥飞机机动性，在速率陀螺后加入一个洗出网络。洗出网络是一个高通滤波器，它的传递函数形式为s/(s1)，它允许1/的荷兰滚振荡频率的信号通过，不允许低于1/频率的稳态或机动转弯信号通过，这样偏航阻尼器既能起到改善荷兰滚模态阻尼的作用，又不致影响飞机的机动性。

系统模型驾驶员方向舵输入如果只要优化少量控制器参数，当有一种好的人机对话计算程序，那么，“手工”迭代就能进行飞行品质控制器的设计，并能对每一步给出控制器的作用，例如，以根轨迹形式和时间响应形式。当参数数目较多时．可以通过数值优化方法自动进行设计。然而，随着参数数目的增多，性能指标的描述问题、寻求全局最优的问题也变得越来越困难，所以，也不能期望数值优化就有什么奇迹发生。

也可以通过应用变分方法，即根据过程的状态方程，使二次型性能指标最小化来得到，在这方面引进了“二次型最优控制”概念（linear quadratic regulator – LQR）。如果二次型函数

ey-+方向主舵副翼伺服机构y 飞机y(s)y(s)y1TJxtQxtuTtRutdt20最

e洗出网络ey

速度陀螺加放大器图4 偏航阻尼系统的典型方框图

2 理论依据

2.1 状态控制器的设计

大部分“现代”设计方法提供的是一种控制器综合，即基于严格的过程方面的知识和完整的性能函数，一步到位地全面计算控制器的结构和控制器的参数。这些方法常常受到形式的限制，主要只能用在线性系统。所以，这些方法只能给出部分问题的初步解。尽管如此，用这些方法，仍可获得关于采用一定的控制器结构所能实现的一些有价值的看法。

对于飞机控制方面复杂的非线性过程，为了获得满意的结果，须考虑诸如模型的不确定性、大的参数变化范围、难以模型化的操纵系统动力学、弹性运动自由度的影响等等。此外，还应尽量求出鲁棒解，在对模型了解有限的情况下，它不仅能保证有稳定的持性，而且还将满足各种各样的飞行品质要求。除了时域“现代”设计方法外，还采用借助波特图或者尼柯尔斯（Nicho1s）图的奈奎斯特经典设计方法，它的性能指标是幅相裕度。

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小，那么按照卡尔曼理论，那么上面的线性是不变系数就最优。这里的最优意味着状态变量从起始条件x(0)逐渐趋于零，而性能准则最小。为此，要评价的是状态矢量和调节矢量的二次形式。通过选择合适的加权矩阵Q和R，在状态过程特性和控制代价之间就能做出有意义的这种，所以，设计的任务就仅在于选择合适的Q和R。大多把加权矩阵列成对角矩阵，它相当于所有状态变量xi和控制调节变量ui的二次方的加权。 上述变分问题的解（在状态方程约束条件下性能指标最小化）导出用线性方法求解的哈密尔顿经典微分方程。由此得到，使性能函数为最小的状态矢量反馈的控制律是

uR1BTPTxKx

式中，矩阵P等于下列非线性矩阵-黎卡提-微分方程的解

PPAATPPBR1BTPTxQ0

同时，加权矩阵必须满足下列条件：

——R必须为正定的（正则的和对称的） ——Q必须为半正定的（所有主行列式大于等于零） 这就意味着，不允许形成负的代价部分，而且每种调节活动都要加权。如果过程是完全可控的，而且A，B，C，Q和R皆为常值，则P也是常值、实的、对称的正定矩阵。除此之外，系统将是渐近稳定的。在性能函数的有限积分区间，当

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然P为时变的，从而K也是时变的。

这种优化方法的优点是： ——它给出最优的控制结构，也包括结构参数在内；

——它总是给出稳定的控制系统；

——为求解P的非线性代数方程组提供了相对快速的计算方法；

——代替n×q个控制器参数，只需确定（n+q-1）个加权系数（因而当n＜3时，与加权系数迭代相比，采用迭代求解控制器参数更好）；

——即使在随机扰动情况下，从状态变量方差最小化的意义上看，它也是最优的。

与此相对，也存在下列缺点：

——性能函数的构成和加权矩阵的选择受到形式上的限制；

——只有当x和u趋于零时，性能指标才收敛，在所有这种方法不适用的情况下，例如，控制引导问题，必须把这类问题转换成纯状态矢量反馈；

——这种方法只能用在全状态矢量反馈，因而所有状态变量必须是可观测的或者可估计的，控制器结构是预先给定的。 所以，这种设计方法难以适用，大多只用在迅速得到一种初步的控制器解，然后，再用其它方法加以补充和细化。在非完全状态矢量反馈情况下，不用黎卡提－设计方法，因为不能预先给定控制器结构。

性能指标最小，相当于传递特性的二次范数最小。近年来，取名为H2设计而著名的一些方法，也是根据同样的基本思想，给出同样的结果。这些方法的特点是有针对性地考虑了在扰动抑制和控制代价之间做出良好的折中。维纳－霍普夫（Wiener－Hopf）设计方法也是基于同样的原理，只是用在频域内。

对于线性连续系统无限时间状态调节器的二次型目标函数

上式称为LQR问题，LQR问题表示这样一种物理概念：若系统受外界扰动，偏离零状态后（即到达某一初态x0）。应施加怎样的控制u，使系统回到零状态附近，并满足二次型目标函数最小。 具有规定衰减速度的调节器：系统稳定条件是极点在左半复平面。

衰减速度是系统离虚轴最近的闭环极点与虚轴间的距离 。越大，系统的非零初态应的衰减速度愈快。 若闭环系统的极点都在距离虚轴为的直线左边，则称闭环系统有至少不低于 的衰减速度，如图5所示。

图5

I R最优化问题I：

minJ12tTTtRutdt extQxtu02 s.ttAxtButxx0x0

式中，R正定，Q半正定，为正常量，（A，B）为能控对，（A，D）为能观对，QDD。

令，xtext uteut

tTt则有

1TTminJxtQxtudt tRut02tAxtBut s.t xetxetxxetAxBuetx AIetxBetu转化为最优化问题II：

x0x0

式中，R(t)正定，Q(t)及S半正定。

minJu1TTtRutdt xtQxtu02 s.t

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AIxBuxx0x0x0可以证明：

零，不必提出什么要求，故相对于Q和R

而言，s=0）。

3. 非时变系统，加权矩阵也是非时变。 4. R、Q阵的选取，这里用经验公式

[A，B]完全能控AI,B完全能控。 [A，D]完全能观AI,D完全能观。 则，最优化问题II有唯一解：

QCCT，然后用R使系统达到预想的要

求

经过计算所得Q，R如下：

utKxt

其中

KR1BTP

T1TPAIAIPPBRBPQ00.20Q000100 050000.10010 R00.1反馈阵为：

又由于

uetuKetxtKxt

所以，两个最优控制问题的反馈增益阵是相同的，又由于最优控制问题II的闭环系统

1.6488-1.2542-0.61125-0.2596K-0.991060.21730.870080.35188

洗出网络（WASHOUT）为：

AIBKx 渐近稳定，即 xWOFlimxtlimetxt0

tt2s(s0.2)所以，xt也是渐近稳定的，且其衰减速度不低于et3 仿真结果

在由以上的模型建立之后，可以得到在没有偏航阻尼器的作用下，即飞机飞行于控制器关闭的情况下，系统所具有的零极点图，如图6所示。

ABKx的。即闭环系统x极点均落在复平面直线的左边。注意，这时并不能保证衰减速度恰好是，且大于多少也不能保证。可以由小到大改变，通过试验的方法找到合适的值，保证有规定的衰减率。

2.2 实际方案

将按规定的衰减速度综合最优反馈系统

的方法归节如下：

为保证最优化问题是一规范调节器问题，选取的R正定，Q半正定，所选用无限时间状态调节器有三个特点：

1. 无限时间，tftf。

2. 没有稳态误差这一项，即稳态误差为0（对

于渐近稳定的系统而言，稳态误差自然为

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图6 原系统的零极点分布图

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从图6中我们可以看出，原系统的两个菏兰滚模态的两个极点的阻尼为0.0348，阻尼过小，造成飞机的巡航不易操纵，对于主舵角和副翼角的扰动输入的反映太灵敏。这使得飞机在飞行过程中受到类似于阵风干扰时，飞机的摇摆幅度非常大，就形成了前面提到的荷兰滚状态。这无论从飞行员的操纵，还是从乘客乘坐的舒适性来说，都是不能忍受的。从图7中可以看到，对原系统施加脉冲输入时，即对系统进行阵风模拟干扰时，偏航率和倾斜转弯角的振动幅度很大，同时振动的时间也很长。

所示，从图中可以看出反馈系统的两个荷兰滚模态对称极点的阻尼系数由0.0348提高到0.73，对于改善飞机的易操作性和抗扰性都由很大的提高，图9中的a线为闭环系统的脉冲响应，b线为开环系统的脉冲响应曲线，从图中对比可以看出，偏航率和倾斜转弯角的动态响应有了很大提高，其超调量的幅值和调节时间都减少了很多。

图8 反馈系统的零极点分布图

图7 原系统的开环脉冲响应

应用Riccati方法，采用LQR方程解决系统的状态调节器的反馈问题。在对于各个状态变量具有不同的重视程度，对于输出也有不同的重视程度的情况下，即更关心与荷兰滚有关的变量，可取

0.20Q000100 050000.100

图9 反馈系统的脉冲响应曲线

10 R00.1由Q、 R可得到反馈阵K

1.6488-1.2542-0.61125K-0.991060.21730.870080.35188

由上式可得到反馈系统的零极点图，如图8

图10给出了系统的偏航率对于主舵角的传递函数的bode图，可以从中看出，经过状态反馈的系统，在荷兰滚极点出的谐振峰已经有了明显的降低，但是没有降到最低，原因在于如果谐

-0.2596振峰过低，也就是说，阻尼过大，会导致系统稳

定的时间过长，响应太慢。

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图10 偏航率对于主舵角的传递函数的bode图

图12为闭环系统的阶跃响应曲线，图中蓝线是加入洗出网络响应曲线，红线是未加入洗出网络的响应曲线。从图中可以看出，两条曲线都能很好的跟踪给定，可以在20s以内达到给定的阶跃信号，说明反馈系统达到了设计要求，从动态性能上看，加入洗出网络的闭环系统比未加洗出网络的系统对于输入一个干扰的冲击脉冲由更好的抑制作用，但是对于阶跃响应来说，又提供了与未加洗出网络的系统来说又近似的反映特性，这反映到飞机上，就是说对于冲击干扰加入洗出网络可以更好的得到抑制，对于飞行员的阶跃输入仍保持很好的动态响应速度。

在反馈系统上加入一个洗出网络，使反馈系

统更接近于实际系统，反馈网络的传函如下：

2s WOFs0.24 结论

图11 加入洗出网络的反馈系统脉冲响应曲线

从图11中，蓝线是加入洗出网络的闭环系统的脉冲响应曲线，红线是没加洗出网络的闭环响应曲线，可以看出加入洗出网络以后使得系统超调量和调节时间都有了很大的减小，说明动态性能有了一定的改善。

本文依据最优控制的方法，从飞机操作性和抗扰性（乘客的舒适性）出发，对波音747的偏航阻尼器的进行了设计。

针对系统中存在的一对复数极点，它们的衰减率过低，导致飞机在飞行过程中受到阵风干扰时会产生荷兰滚状态，严重影响飞机的正常飞行，提出了采用LQR解出Riccati矩阵方程的方法来建立系统的状态反馈，达到设计偏航阻尼器的目的。

从飞机的性能出发，综合考虑到飞机的操纵性和乘坐的舒适性，通过合理的配置Q、R两个矩阵，得到了系统的全状态方程反馈阵K。

从仿真结果看，通过在波音747飞机上加入状态反馈阵，也就是说加入了偏航阻尼器，增加了系统的阻尼，使得飞机荷兰滚模态得到了很大的抑制，静态性能和动态性能都了很大的改善，设计的反馈系统达到了要求。

图12 闭环系统的阶跃响应

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