平面向量综合检测、分析及答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．
1. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，a＝(2,0) ，|b| ＝1，则 | a＋2b| ＝ () B．2 3 A. 3
C．4 ．12 D
分析： | a＋2b| ＝ ( a＋2b) 2＝ 4＋4＋4＝2 3. 答案： B
2. 已知 |a| ＝1，|b| ＝6，a·(b －a) ＝2，则向量 a 与 b 的夹角是 (
π π A. 6 π
B. 4
π
)
C. 3 D. 2
分析：由 a·(b－a) ＝2 得 a·b＝2＋1＝3＝6×cos π ∴ 3. 一质点遇到平面上的三个力 F1、F2、F3( 单位：牛顿 ) 的作用而处于均衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大 小为() A．2 7 B．2 5 C．2 D．6 分析：由题意得 F1＋F2＋F3＝0. 答案： A 4. (2009 ·福建福州模拟 ) 把一颗骰子扔掷两次，并记第一次出现的点 数为 a，第二次出现的点数为 b，向量 m＝ (a ，b) ，n＝(1,2) ，则向量 m与向 量 n 不共线的概率为 ( ) 1 5 A. 12 B. 12 第1页 共 8页 7 C.12 11 D. 12 分析： m 与 n 共线的情况共有三种： m＝(1,2) ，m＝(2,4) ，m＝(3,6) ， 3 11 故 m与 n 不共线的概率 P＝1－36＝12. 答案： D λ2＋6 5. 已知向量 a＝( 3 ，λ) ，i ＝(1,0) 和 j ＝(0,1) ，若 a·j ＝－ 3， 且向量 a 与 i 的夹角为 θ，则 cos θ 的值为 ( 3 3 A．－ 2 B. 2 1 1 C．－2 D. 2 答案： B ) BCDC6．四边形 ABCD中，AB · ＝0，且 AB ＝ ，则四边形 ABCD是( A．平行四边形 B ．矩形 C．菱形 D ．正方形 分析：由 uuur AB ＝ 可知 uuur uuur uuur uuur ) DC 90°，故 ABCD为矩形． 答案： B ABCD uuur uuur 为平行四边形，由 AB ·BC＝0 知∠ ABC ＝ 7．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 λ＝ ( ) 1 A．0 C．－ 2 B．－ 2 a＋λ b 与－ (b －2a) 共线，则 1 D.2 2k＝1, ， 分析：由题意得 a＋λb＝－ k( b－2a) ∴ ＝－ k 1 ∴λ＝－ 2. 答案： B 8. 设向量 a，b 知足： |a| ＝3，|b| ＝4，a·b＝0，以 a，b，a－b 的模为 边长组成三角形，则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 第2页 共 8页 分析：三角形的内切圆半径为 1，将圆平移，最多有 4 个公共点． 答案： B 9．设 a，b，c 是非零向量，以下命题中正确的选项是 A．( a·b) ·c＝a·(b·c) B．| a－b| 2＝| a| 2－2| a|| b| ＋| b| 2 ( ) C．若 | a| ＝| b| ＝| a＋b| ，则 a 与 b 的夹角为 60° D．若 | a| ＝| b| ＝| a－b| ，则 a 与 b 的夹角为 60° 分析：A、B 明显不正确． 由平行四边形法例可知， 若| a| ＝| b| ＝| a＋b| ，可知 答案： D 10. 设 a、b、c 是单位向量，且 a·b＝0，则 (a －c) ·(b －c) 的最小值为 () A．－ 2 B. 2－2 C．－ 1 D．1－ 2 分析：( a－c) ·(b－c) ＝a·b－b·c＋c2－a·c＝1－( a＋b) · c，又 a·b ＝0，| a| ＝| b| ＝1，∴|a＋b| ＝ 2. 设 a＋b 与 c 的夹角为 θ，则上式＝ 1－ 2cosθ 当 cosθ＝1 时( a－c) ·(b－c) 获得最小值 1－ 2. 答案： D OAOBOC 11．点 O 在△ABC内部且知足 ＋2 ＋2 ＝0，则 △ABC的面积与 △OBC的面积之比为 ( ) 5 uuur uuur uuur A.4 B ．3 C．4 D ．5 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur 分析：由 OA ＋2 OB ＋2OC ＝0，∴2( OB ＋ OC ) ＝4AO ，∴△ABC 底边 BC的高之比为 5 1，∴ S△ABC S△OBC＝5 1. 答案： D 12．在直角 △ABC中，CD是斜边 AB上的高，则以下等式不建立的是 A．| AC B．| uuur 2 BCBA uuur 2 △OBC uuur | ＝AC 2 uuur | ＝ uuur uuur · AB · BC uuur uuur ( ) uuur C．| AB | ＝AC · CD 第3页 共 8页 uuur 2 （ACgAB）（BA gBC） ＝ D．| CD | uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 分析：∵AB ·AC ＝| AC uuur uuur uuur uuur 同理： AB uuur uuur 2 ，故 B建 （AC gAB）（BA gBC） | 2 故 A 建立，又 BA ·BC] ＝| BC | 立． uuur 2 AB ＝ AC uuur uuur BA uuur 2 AB uuur 又| AC|·|BC| ＝| AB || CD| ∴|CD |2 ＝ uuur uuur uuur uuur uuur AC uuur uuur AC 2 uuuruuuruuur 2 ≠| ，故 D 也正确．，又AC·CD＝| CD AB uuur AB 2 | ，故 选 C. 答案： C m 13．设两个向量 a＝( λ＋2，λ2－cos2α) 和 b＝(m，2＋sin α) ，此中 λ λ， m，α 为实数，若 a＝2b，则 m的取值范围是 ( A．[ －6,1] C．[ －1,1] ) B．[4,8] D．[ －1,6] ＋ ＝ 分析：由 a＝2b 知 2－2 ∴ ＝2m－2, ＝ ＋ ② cos m 2sin , ) 2 2m, ① , 2 －m＝ cos2 ＋2sin 又 cos2α＋2sin α＝－ (sin α－1) 2＋2 ∴－ 2≤cos2 α＋2sin α≤2，即－ 2≤ λ2－m≤2，由 λ＝2m－2 1 2 －2≤(2 m－2) －m≤2，得 4≤m≤2 λ 2m－22 ∴ ＝＝2－ ∈[ －6,1] ． mmm 答案： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． NCAN 14．在? ABCD中， AB ＝a，AD ＝b， ＝3 ，M为 BC的中点，则 MN ＝________.( 用 a，b 表示 ) 第4页 共 8页 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur 分析：由 AN＝3 NC得 4 AN ＝3 AC ＝3( a＋b) ． uuuur 1 1 1 1 AM ＝a＋2b， uuuur 3 ∴ MN ＝4( a＋b) －( a＋2b) ＝－ 4a＋4b. 1 1 答案：－ 4a＋4b 7 1 1 7 15．向量 c 与 a＝( 2，2) ，b＝( 2，－ 2) 的夹角相等，且 |c| ＝1，则 c＝ ________. 2＋ 2＝ 分析：设 c＝( x，y) ，由题意得： x x= , x=- 5 44 得 ＝ agc bgc y 1, y= y=- 33 5 , 5 4 5 3 4 3 答案： ( 5，－ 5) 或( －5，5) 两点，且 AM ＝x 16．已知点 G为△ABC的重心，过 G作直线与 AB、AC两边分别交于 M、N 1 1 uuuur uuur uuur uuur AB ， AN ＝ y AC ，则 ＋ ＝________. uuur 1 uuur uuur 1 1 uuuur x y 1 uuur 1 分析： AG ＝3( AB ＋ AC ) ＝3( x AM ＋y AC ) ，∵M、N、G三点共线， ∴3x 1 1 1 答案： 3 17. 如图，在平面斜坐标系 xOy中， ∠xOy＝60°，平面上任一点 P 在斜 ＋3y＝1，即 x＋y＝3. uuur OP轴方向同样的单位向量 ) ，则点 P 的斜坐标为 (x ，y) ．若点 P知足 | 点 P 在斜坐标系 xOy 中的轨迹方程是 ________． OP uuur | ＝1，则 分析：由 OP ＝xe1＋ye2 uuur 第5页 共 8页 uuur 22 1 22 又| OP | ＝1，∴ x ＋y ＋2xy×2＝1，即 x ＋y ＋xy＝1. 答案： x2＋y2＋xy＝1 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ACACAC18．(10 分) 在△ ABC中， AB · ＝ | AB － | ＝2，求|AB|2 ＋| |2. 解：由题意可知 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 AB uuur 2 ABgAC 2 uuur uuur uuur 得| AB| ＋| 2 ABgAC AC 4 uuur AC | ＝8. 2 OCOAOB 设 ＝x ＋y ，求 x、y 的值． uuur 19．(12 分) 如图 | uuur OA uuur uuur | ＝| OB uuur OC |＝1，| |＝ uuur OBOC 3，∠AOB＝60°， ⊥ . uuur uuur 解： ∵ OC ＝x OA ＋y OB ∴ OB · OC ＝x OA · OB uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ＋y OB uuur uuur 2 ① · OC ＋y OB · OC ② 将①②联立得 1 OC ＝x OA 2x＋y＝0 3 ×( － 2 ) x＝3 2 3 得 x＝－2, y＝1 π 20．(12 分 ) 已知 a，b 知足 |a| ＝3，|b| ＝ 1，a 与 b 的夹角为 3 ，求 2a ＋3b 与 a－b 的夹角的余弦值． 1 3 解： ∵a·b＝| a|| b|cos< a，b>＝3×1× 2＝2 又(2 a＋3b) 2＝4a2＋9b2＋12a·b＝36＋9＋18＝63， ∴|2 a＋3b| ＝3 7. 同理可得 | a－b| ＝ 7 ∵ (2 a＋3b) ·(a－b) ＝2a2＋a·b－3b2 3 33 ＝18＋2－3＝ 2 第6页 共 8页 ∴cos〈 (2 a＋3b) ，( a－b) 〉＝ ＋ · － 3b) ( a b) (2 a 33 2 ＝ ＝ . 11 |2 a＋3b|| a－b| 37·7 14 21．(12 分) (2009 ·上海 ) 已知 △ABC的角 A、B、C所对的边分别为 a，b， c，设 m＝(a ，b) ，n＝(sinB ，sinA) ，p＝(b －2，a－2) (1) 若 m∥n，求证 △ABC为等腰三角形； π (2) 若 m⊥p，边长 c＝2，∠C＝ 3 ，求 △ABC的面积． 解： (1) 证明：∵ m∥n，∴ asin A＝bsin B. 由正弦定理得 a2＝b2，a＝b，∴△ ABC为等腰三角形． (2) ∵m⊥p，∴ m·p＝0. 即 a( b－2) ＋b( a－2) ＝0 ∴a＋b＝ab 由余弦定理得 4＝a2＋b2－ab＝( a＋b) 2－3ab即( ab) 2 －3ab－4＝0，∴ ab＝4 或 ab＝－ 1( 舍) 1 1 π ∴S△ABC＝2absin C＝2×4×sin 3 ＝ 3. uuur uuur uuur 22．(12 分) 已知 OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝ (6 ，－ 3) ， OC ＝(5 －m，－m)． (1) 若点 A、B、C不可以组成三角形，务实数 m知足的条件； (2) 若△ABC为直角三角形，务实数 m的值． 解：uuur (1)uuur ＝(3uuur ∵ OA ，－ 4) ， OB ＝(6 ，－ 3) uuurOC ＝(5 －m，－3－m) ．若 A、 B、C三点不可以组成三角形， 则这三点共线， ∵ AB ＝(3,1) uuur 1 AC ＝(2 －m,1－m) ，∴ 3(1 － m) ＝2－m，得 m＝2 (2) ∵△ ABC为直角三角形． uuur uuur 7若∠ A＝90°，则 AB · AC ＝0，∴ 3(2 － m) ＋(1 －m) ＝0，得 m＝4. uuur uuur uuur 若∠ B＝90°，则 AB · BC ＝0，又 BC ＝( －1－m，－ m) 3 ∴ 3( －1－m) ＋( －m) ＝0 得 m＝－ uuur4. 若∠ C＝90°，则 uuur BC ⊥ AC . ∴(2 －m) ·( － 1－m) ＋(1 －m) ·( －m) ＝0，得 m＝1± 5 2 第7页 共 8页 3－ 7 3 1± 5 综上得 m＝4或 m＝－ 4或 m＝ 2 23．(12 分) 已知 a＝(1,2) ，b＝( －2,1) ，k、t 为正实数， x＝a＋(t2 ＋ 1 1 1)b ，y＝－ ka＋t b (1) 若 x⊥y，求 k 的最大值； (2) 能否存在 k、t ，使 x∥y？若存在，求出 k 的取值范围，若不存在， 说明原因． 解： x＝a＋( t 2＋1) b＝(1,2) ＋( t 2＋1)( －2,1) ＝ ( －2t 2－1，t 2＋3) 1 1 1 1 y＝－ ka＋t b＝－ k(1,2) ＋t ( －2,1) 1 2 2 1 ＝( －k－t ，－ k＋t ) 2 1 2 2 2 1 (1) 若 x⊥y，则 x·y＝ 0，即：( －2t －1) ·( － k－t ) ＋( t ＋3)( －k＋t ) ＝0 t 整理得：k＝t 2＋1＝ 1 1 1 1≤2( 当且仅当 t ＝t 即 t ＝1 时“＝”建立 ) 故 kmax t ＋t 1 ＝2. (2) 假定存在正实数 k、t ，使 x∥y，则 2 2 1 2 1 2 ( －2t －1)( －k＋t ) －( t ＋3)( －k－t ) ＝0 2t ＋1 1 3 整理得 k ＋t ＝0，即 t ＋t ＋k＝0 ∵k、t 为正实数，故知足上式的 k、t 不存在． 即不存在这样的正实数 k、t 使 x∥y. 第8页 共 8页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容