《1.3.2函数的极值与导数》教学案2

课型：新授课

教学目标

1 知识与技能

〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2

过程与方法

结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3

情感与价值

感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 重点：利用导数求函数的极值

难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件

教学过程

〈一〉创设情景，导入新课

1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ （提问学生回答）

2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t+6.5t+10的图象，回答以下问题

h2

o（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数ht在t=a处的导数是多少呢？

（2）在点t=a附近的图象有什么特点？ （3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？

共同归纳: 函数h(t)在a点处h(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数ht单调递增,

/

h't＞0;当t＞a时,函数ht单调递减, h't＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时,

h't先正后负,且h't连续变化,于是h/(a)=0.

3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？

<二>探索研讨

1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：

（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?

（2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? 2、极值的定义:

我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？ 充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反

4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题： （1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？

（2）极大值一定大于极小值吗？ 5、随堂练习:

1 如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=f

<三>讲解例题 例4

求函数fx/

'x的图象?

13x4x4的极值 3/

/

教师分析:①求f(x),解出f(x)=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x0附近f(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值. 学生动手做,教师引导 解:∵fx13x4x4∴f'x=x2-4=(x-2)(x+2) 3x令f'x=0,解得x=2,或x=-2.

'下面分两种情况讨论: (1) 当f(2) 当fx＞0,即x＞2,或x＜-2时; x＜0,即-2＜x＜2时.

''当x变化时, fx x,f(x)的变化情况如下表:

(-∞,-2) -2 (-2,2) 2 ∞) (2,+f'x + 0 _ 0 + f(x) 单调递增 283单调递减 4 3单调递增