如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形ABCD的顶点A的坐标为 （-2,0），点D的坐标为（0，2√3），点B在X轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线L与x轴交于点F，与射线DC交于点G。
（1）求∠DCB的度数；
（2）当点F的坐标为（-4,0）时，求点G的坐标；
（3）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H。
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为3√3，求点F的坐标。
解：（1）∵C（8，8），DC∥x轴，点F的横坐标为3，
∴OD=CD=8．
∴点F的坐标为（3，8），
∵A（-6，0），
∴OA=6，
∴AD=10，
过点E作EH⊥x轴于点H，
则△AHE∽△AOD．
又∵E为AD的中点，
∴ AHAO= AEAD= EHDO= 12．
∴AH=3，EH=4．
∴OH=3．
∴点E的坐标为（-3，4），
设过E、F的直线为y=kx+b，
∴ {3k+b=8-3k+b=4
∴ {k=23b=6
∴直线EF为y= 23x+6，
令x=0，则y=6，即点G的坐标为（0，6）．
（2）延长HE交CD的延长线于点M，
则EM=EH=4．
∵DF=3，
∴S△DEF= 12×3×4=6，
且S平行四边形ABCD=CD•OD=8×8=64．
①当点P在AB上运动时，
S=S平行四边形ABCD-S△DEF-S△APE-S四边形PBCF．
∵AP=t，EH=4，
∴S△APE= 12×4t=2t，
S四边形PBCF= 12（5+8-t）×8=52-4t．
∴S=64-6-2t-（52-4t），
即：S=2t+6．
②当点P在BC边上运动时，
S=S平行四边形ABCD-S△DEF-S△PCF-S四边形ABPE．
过点P作PN⊥CD于点N．
∵∠C=∠A，sin∠A= ODAD= 45，
∴sin∠C= 45．
∵PC=18-t，
∴PN=PC•sin∠C= 45（18-t）．
∵CF=5，
∴S△PCF= 12×5× 45（18-t）=36-2t．
过点B作BK⊥AD于点K．
∵AB=CD=8，
∴BK=AB•sin∠A=8× 45= 325．
∵PB=t-8，
∴S四边形ABPE= 12（t-8+5）× 325= 165t- 485．
∴S=64-6-（36-2t）-（ 165t- 485），
即 S=- 65t+ 1585．（8分）
③当点P在CF上运动时，
∵PC=t-18，
∴PF=5-（t-18）=23-t．
∵EM=4，
∴S△PEF= 12×4×（23-t）=46-2t．
综上：S= {2t+6，(0≤t＜8)65t+1585，(8≤t＜18)46-2t．(18≤t＜23)
（3）存在．
P1（ 5217， 2417）．
P2（ 9117， 7617）．
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P（不与A、B重合），连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
（1）当x为何值时，△APD是等腰三角形；
（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若不存在，请说明理由，若存在并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
解：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2．
∵AP=x，
∴PH=x-2，
情况①：当AP=AD时，即x=2．
情况②：当AD=PD时，则AH=PH．
∴2=x-2，解得x=4．
情况③：当AP=PD时，
则Rt△DPH中，x2=42+（x-2）2，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形．
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴，
∴．
整理得：y=（x-2）（8-x）=-x2+x-4．
（3）存在．
设BC=a，则由（2）得，△DPH∽△PEB，
∴=，
∴y=，
当y=a时，
（8-x）（x-2）=a2
x2-10x+（16+a2）=0，
∴△=100-4（16+a2），
∵△≥0，
∴100-64-4a2≥0，
4a2≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C．
把两块全等的等腰直角△ABC和△DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=6，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q也与B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=18
18
；
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，0°＜α＜45°，如图2．问AP•CQ的值是多少？说明你的理由；
（3）将三角板DEF由图2所示的位置绕点O继续沿逆时针方向旋转，即45°＜α≤90°时，如图3．问AP•CQ的值又是多少？说明你的理由．
解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=6，
∴AD=CD=3，
∴AP×CQ=AD×CD=18；
故答案为：18．
（2）AP•CQ的值是18
证明：在△APD与△CDQ中，
∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+α），
=90°-α，
而∠CDQ=90°-α，
∴∠APD=∠CDQ，
∴△APD∽△CDQ，
∴，
∴AP•CQ=AD•CD，
∵AD=CD=，
而AC=6，
∴AP•CQ=3•3
=18．
（3）同理可说明
AP•CQ=18．
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