具积分边值条件二阶微分方程组正解的存在性
2022-02-17
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第49卷第3期 吉林大学学报(理学版) Vo1.49 NO.3 2011年5月 Journal of Jilin University(Science Edition) Mav 2011 具积分边值条件二阶微分方程组正解的存在性 宋文晶 ,高文杰 (1.吉林大学数学研究所,长春130012;2.吉林财经大学应用数学学院,长春13oon) 摘要:运用Kra n。se1skii不动点定理研究具有积分边值条件的二阶微分方程组问题,得到了 该问题正解的存在性及多解的存在性. 关键词:正解;积分边值条件;不动点定理 中图分类号:O175 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2011)03-0363-06 Existence of Positive Solutions for a System of Second Order Equations with Integral Boundary Conditions SONG Wen-jing ,GAO Wen-jie (1.Institute ofMathematics,Jilin University,Changchun 130012,China; 2.Institute A d Mathematics,Jilin University ofFinance and Economics,Changchun 130017,China) Abstract:This paper deals with a system。f see。nd。rder equati0ns with integral boundary c。nditions・Using Krasnoselskii fixed point theorem,the authors obtained the existence of positive solutions and multiple solutions to the above problem. Key words:positive solution;integral boundary condition;fixed point theorem 1 引言与预备知识 边值问题应用广泛,如非线性扩散理论中非线性源、气体的燃烧、生物化学浓度等.具有积分边 值条件的问题源于热传导问题…、半导体问题 以及水动力学问题 .flCift ̄[4—10]研究了具有不同边 值条件的常微分方程或方程组正解的存在性.本文受文献[4]的启发,研究如下具有积分边值条件的 二阶常微分方程组正解的存在性: ( )=一/'(t, (f),y(f)),(t, ,y)∈(0,1)×[0,+∞)×[0,十∞), y”( ):一g(t, f),y(£)),(t, ,y)∈(0,1)×[0,+∞)×[0,+ ), (0)一。 ,(0): 。(s) (s)ds, (1)+6 (1)=J:1 (s) (s)ds, (1) y(。)一 (。): ㈠ )+ (1)= s)y㈠ 其中:f,g∈c([0,1]×[0,+∞)×[0,+oo),[0,+∞)); 0,(D , 0, -∈c(Eo,1],Eo,+。。));n,b 都是正的参数. c[o,1]表示E O,1]上所有连续函数构成的Banach空间,其范数定义为I III= ma x I u( )l・ 收稿日期:2010-09-03. 作者简介:宋文晶(1978一),女,汉族,博士研究生,讲师,从事应用数学的研究,E-mail:swj-78@163.c。m.通讯作者:高文杰 (1956一),男,汉族,博士,教授,博士生导师,从事应用数学的研究,E-mail:wjgao@mail.jlu・edu・cn・ 基金项目:国家自然科学基金(批准号:10771085)和吉林大学“985工程”项目基金. 吉林大学学报(理学版) 第49卷 Banach空间c[o,1]×c[o,1]的范数定义为I1( , )Il=l lIl+ I1. 假设: (H。)f,g∈c([0,1]×[0,+∞)×[0,+∞),[0,+∞)), , ∈C([0,1],[0,+∞)),i=1,2, 口,b都是正实参魏 (I-I )定义函数 ( ,s) [(1+b—f) 。(s)+(。+£) t(s)], ∈[o,1], ( ) 且满足 [(1+b—f) 。(s)+(口+£) -(s)],t,s∈[o,1], 0≤m :=rain{ (t,s):t,s∈[0,1]}≤M :=max{ (t,s):t,s∈[0,1]}<1, 0≤m :=min{ (t,s):t,s∈[0,1]}≤M :=max{ (t,s):t,s∈[0,1]}<1. 问题(1)的解( ,Y)∈C (0,1)xC (0,1)等价于如下积分方程组的解( ,,,)∈c[o,1]xc[o,1]: )=I1G s ㈤,y㈤)ds+ I1 ㈤¨ r ㈤ ∈[0,1], ),(t)=Jc G(f,s)g(s, (s),),(s))ds+;期 。( )y(s)ds+ 1 (2) (s)y( )ds, 这里 ∈ ], . ∞ kl㈩ ;: +c, )= 小 . 容易验证: 性质1 存在一个正的连续函数 :[0,1]一R,使得对Vt,s∈[0,1],都有 G(f,S)≥ (t)G(s,s),且Yo:=min{y(t):t∈[0,1]}>0. 性质2[2 假设(H。)成立,则对Vt,s∈[0,1],有G(t,s)≤C(s, ). 定义算子A,B:c[o,1]XC[0,1]一c[0,1]为 A( , )( ) Jo G(t,s)-厂( , (s),y(s))ds+Jo (z,s) (s)ds, ( ,),)(£) Jo G(t,s)g( (s), ( )) +Jl ( ,5) (s) 定义算子T:c[o,1]Xc[o,1]一c[0,1]×c[o,1]为 r(x,y):(A(x,Y),B(x,Y)), ( ,y)∈c[o,1]×c[o,1]. (3) 于是,方程组(2)的解等价于算子 在c[o,1]Xc[o,1]上的不动点. 引理1假设(H。),(H,)成立,则T是c[o,1]×c[o,1]一c[0,1]×c[o,1]的全连续算子. 证明:设D是c[o,1]X c[o,1]中的有界集,则j M>0,使得V( ,Y)∈D,Il( ,Y)II= II+ II Y II≤ 当( ,Y)∈D时,由(H。),(H )及性质2可得 ll A( ,y)lj≤ fn{G( , ){ds+』I <十 , 其中L=ma】【{ t, ,y):0≤ ≤1,f f≤ ,{Y f≤ }+max{g(t, ,Y):0≤£≤1,I }≤ ,}y{≤ }. 同理可得 第3期 宋文晶,等:具积分边值条件二阶微分方程组正解的存在性 365 l I( ,,,)lI≤L/o』G(s,s)Ids+ M<+∞. 再由空间cro,1]×cro,1]范数的定义知, l l( ,y)lI≤2 上I c(s,s)Ids+( + ) <+∞, 从而 在D上是一致有界的. 此外,Vt EE(0,1),有 ( ,y )l=l [一Il s, ),y㈤)ds一口 ( ),( + (b+1) Jt ( (s))ds一.IU[ (s) + JU (s)ds】Il ≤ 寺 [(2+口+6) +2/ ̄g]<+∞, 其中 K=max{ o(t):0≤f≤1}+max{ 1(t):0≤f≤1}+max{ o(t):0≤£≤1}+max{ 1(t):0≤f≤1}. 可见 (D)是等度连续的.再由Ascoli—Arzel ̄t定理知,A(D)在c[o,1]上是相对紧的. 类似可证B(D)在C[0,1]上也是相对紧的.从而, (D)在C[O,1]Xcro,1]上是相对紧的.再由 的定义知71是连续的,所以 是全连续算子.证毕. 引理2[ 设E为Banaeh空间,KCE是锥, 1, 是E上两个有界开集,且0 EE , l c .若 算子T:KCI( \ )一K为全连续算子,且满足下列两个条件之一: 1)l lz ll≤l lll,V EE KCI a 1;l l【l≥l lll,V EE KA d ; 2)lI lI≥l ll】,V ∈KCI a ;l lz Il≤Il Il,V EE KA a . 则 在KCI( \ )上至少有一个不动点. 令 E:C[0,1]×C[0,1],P={ ∈C[0,1], (t)≥0,t∈[0,1]}, P。={(“, )∈P×P, ( )+ ))≥}三 0ll(M,训l】, 其中:M=max{ , };, =min{,孔 ,m }. 易证,P。是E上的一个锥. 引理3假设(H。),(H )成立,则 是P。一P。的全连续算子. 证明:由引理1知,只需证明T(P0)CPo. 定义算子 :C[0,1]×C[O,1]--,c[o,1]为FA( ,Y)( )=【 ( , ) (5)ds,则有 (P×P)CP. 因为I FA( ,Y)l≤ I Ill≤ ll( ,Y)ll,所以l lll≤ <1,从而,一 可逆. 类似于文献[2]中引理3,有 A( ,y)(f) Jo c(t,s) (s),y(s)) +Jo (f,s)J0 G(s, ) , ( ),y(丁))d ̄-ds, 其中预解式 R(£,s)=∑ ( ,s), ( ,s)=『n ( ,r) 一,( ,s)ds, =2,3,…, ( ,s)= (£,s). 易得 )≤ . 由性质1和性质2及(H )可得 rG s s, ),y㈠)ds≤A( )≤  ̄1G s) s, ), ㈤) 从而 吉林大学学报(理学版) 第49卷 ㈤≥ II A ),)IJ≥ ’,o II A( )JJ. (4) 同理可得 曰( )≥ 。II ( )II. (5) 于是由式(4)和(5)得 (A( )+B( ))≥ 。II(A( ),曰( ))II, 即 ( )cP0.证毕. 2主要结果 下面将证明问题(1)正解的存在性.首先给出如下记号: = l i mi’nfra in + ,芦。。f :; f; f,厂卢=l。 i.ar+. s —u p如m a x 。f :: f; f, =l iarin f,,+, 。 m i n { 专, =l iar+ su— p。m, ax { {{ 寿, 这里 =0或∞. 定理1假设(H。),(H )成立.若 。 厂。,g。< 二 , ,g >—— 一, 2上G(s,s) 27o2(1一 )上G(s,s) 则问题(1)至少存在一个正解. 证明:NNf。,g。<_ ,所以存在一个,>o,使得v ∈IZo,1],f f+l y f≤ ,有 2J0 G(s,s)ds , ,),)≤(/。+ 。)・(1 l+l Y I), g(t, ,y)≤(g。+占。)(1 I+J y 1), 其中占 满足 /。 ≤ 2fo G( ,s) , 2f G(1一 )ds’ J0 令/-/l={( ,Y)∈P×P,ll( ,Y)ll<r}.V( ,),)E a 21 nPo,有 II A( ,),)f』≤ 』0 G( , )ds (/。+ )(}I 『f+ff y fI), )Il≤『二 Jl G( )ds’(g。+占 )( l+ {), 从而 ( , )II≤ Jl G( ) ・(/。+ +gO+ )’lI( , )}l≤II( ,,,)II. (6) N ̄;Y N, ,g >——— L ,则存在一个R>,>0,使得v ∈[0,1], 27o2(1一 )上G( ) lf+}Y l≥R,有 t, ,y)≥( 一 :)(I }+I Y I), g( , ,Y)≥(g 一 )(1 I+l Y I), 其中 满足 一 ≥—— 一,g 一 :≥—— —一. 2 02(1一 )J0 G(s,s)cls 272(1一 )上G( ) 第3期 宋文晶,等:具积分边值条件二阶微分方程组正解的存在性 367 令 :{ ,y)∈尸×P, II ,y)II<R・}, - 尼 V ,y)∈a n尸0,有 A( )≥ Il G 。 一 (I I+l y 1)≥ Il G s ‘ )・ 。II y)II, 'y)≥ IlG g )。 。II y)II, 从而 ( )JJ≥  ̄1G ).J ll( )jJ.(7) 由引理2知T至少存在一个不动点( , )∈P。n( \g2 ),即边值问题(1)至少存在一个正解 ( ,Y ).证毕. 类似地,有: 定理2假设(H。),(H )成立.若 f g*< 二 , 'g0>— 一, 2 G( )ds 2 ̄,o2(1一 )J0 G(s,s) 则问题(1)至少存在一个正解. 定理3假设(H。),(H。)成立,并且满足: 1)fo,g >—— L; y。2(1一 )』9 G( )ds 2)]l>0,使得 (f’ 其中 :={( ,Y)∈P×P,II( ,Y)II<1}.则问题(1)至少存在两个正解. 证明:N; ̄fo>——— 二 ——一,则j f。(0<f <f),使得V t∈[0,1],I I+l y I≤f , (1一 )J0 G( )ds 有-厂(f, ,y)≥(fo一 ,)(1 I+I y I),其中 >0满足 一 ≥——— 二{ . (1一 )J0 G(s,s)ds 令 ={( ,y)∈P×P,II( ,y)ll<lt}.V( , )∈a nPo,有 I IT(x,y)II≥ ≥ s (fo )( 0Il( )II)≥I Iy)II.(8) 又由于g >——— _二普 ,则]f >z,使得V t∈Eo,1],1 I+I I≥z:,有 (1一 )1)G( ,s)d g(t, ,Y)≥(g 一s )(1 l+l Y【), 其中 >0满足g 一 ≥——— 。。{ —一. y。2(1一M)上G( ) 令 .-{( y)∈尸×P, I III z}’ V( n尸。,有 II ( ,y)II≥B( ,y)≥ JlG( ,s)ds (g 一 )({—三 。II( ,y)l1)≥II( , )II.(9) 368 吉林大学学报(理学版) 第49卷 再由2)知,当( ,,,)E a nPo时,有 ( ,),) G G(s ㈤, )) + I1G …・ ), ㈤)ds< 因此,由式(8)一(10)及引理2可得方程组(1)至少存在两个正解( 。,Y。),( ,Y2) ∈Po。且 ll≤lI( l,Y1)ll<1,Z<lI( 2,Y )lI≤i2. 类似地,有: 定理4假设(H。),(H )成立,并且满足: 1) fo, >——— 二 L 或 g0, > 或g0,g > (1一 )上G( ) T2o(1一 )上G( ) (1一m) (1_ )上G(.1 ) , 2)同定理3中2). 则问题(1)至少存在两个正解. 参考文献 [1] Cannon J R.The Solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy[J].Quart Appl Math,1963, 21(2):155・160. [2] Ionkin N I.Solution of a Boundary Value Problem in Heat Conduction Theory with Nonlocal Boundary Conditions[J]. Diferential Equations,1977,13:294—304. 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