二次函数与直线问题常见模型

一、抛物线上三点组成的三角形成直角三角形

模型：如图，抛物线上有三点A、B、C，AB⊥AC，若有如下三个条件：①抛物线已知 ②AB过定点，③BC过定点，三个条件中只要知道二个就可以求第三个

此题的方法主要是通过相似列出A,B,C三点之间的横坐标与纵坐标的关系，然后结合直线BC的解析式以及根与系数关系，来求解

已知抛物线解析式：yax2bxc， 请同学们完成以下化简：

ycyA

ycyAx

cxAxAxByxAxB

ByAyAyB例1（2014年武汉中考第25题第三问）如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线y＝12x2

交于A、B两点．若在抛物线上存在定点D使∠ADB＝90°，求点D到直线AB的最大距离．

例2（2016年武汉四调第24题第2问）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y12x25经过点C(2，3)，直线y

＝kx＋b与抛物线相交于A、B两点，∠ACB＝90°，

② 猜想：我们猜想直线AB必经过一个定点Q，其坐标为 ．请取点B的横坐标为n，验证你的猜想；

练习1：已知抛物线y12x2.点P(-2，4)关于y轴的对称点P'，过P'作直线EF交抛物线于E、F，点H在抛物线上一定点，且∠EHF=90°，求SP'HO..

yEP'FH

Ox

2.已知抛物线y＝x2－1,抛物线交x轴正半轴于A点，M、N在抛物线上，MA⊥NA，试说明MN恒过－定点，并求此定点的坐标．

3. （2016三寄宿中考模拟）已知抛物线yax21与x轴交于点A、B（点A在B点左侧），且与直线y2x2仅有一个公共点．

（1）求A、B两点的坐标

（2）如图，作∠MBN=90°,交抛物线于M.N两点，则直线MN必过定点Q,求点Q的坐标．

y

x

二、抛物线上三点组成的三角形的内心在经过期中一点的并且平行于x轴的水平直线上

模型：如图，抛物线上有三点A、B、C，若有如下：①A定点（坐标已知） ②抛物线已知，③BC直线k已知，三个条件中只要知道二个就可以求第三个

抛物线解析式：yax2bxc 直线BC：ykxn

yBCyA

yAyxx

AByCyAxyCyA

AxCxCxA

例1（2014四调第25题第2问）在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1：y＝ax2－4a＋4 (a＜0)经过第一象限内的定点P．

（1）直接点P的坐标 ； （2）（2）直线y＝2x＋b与抛物线c1在相交于A、B两点，如图1所示，直线PA、PB与x轴分别交于D、C两点，当PD＝PC时，求a的值；

yBPADOCx

2

例2. （2016洪山区中考模拟一第24题第2问）已知抛物线y＝(m－1)x＋(m－2)x－1与x轴交于A、B两点,若m＞1，且点A在点B的左侧，OA∶OB＝1∶3. （1）试确定抛物线的解析式（解析式：y13x223x1） （2）直线ykx3与抛物线交于M、N两点，若△AMN的内心在

k的值。

轴上，求

练习1：已知抛物线上有A、B、C、D四点，且A、D关于

轴对称，直线

与抛物线相

切，BC∥DE．求证：AD平分∠BAC

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2

-2ax-3与x轴交于A、B，且AB=4，与y轴交于C点， （1）求抛物线的解析式：yx22x3

（3）若平行于直线AC的直线与抛物线交于M、N两点，若抛物线上存在一个定点D，使过D点且平行于x轴的直线DE平分∠MDN，求D点坐标和AD

CD

的值

yMyAOPQBxAOEBDxCCN

3.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2－4x的顶点是C，与x轴相交于A、B两点（A在B的左边）点D、E同时从点B出发，在抛物线上分别向左、向右移动，DM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N．设BM＝m（m＜OB），BN＝n，当m、n满足怎样的等量关系时，△ODE的内心在x轴上

三、直线与抛物线相交，交点与对称轴上一点组成的三角形（三点组成的三角形内心在对称轴上）

例1已知抛物线，点、

为抛物线点任意作一对称条直轴上两点，且

关于抛物线顶点对称，过

线与抛物线交于

、(1) 求抛物线的解析式

CE的最小值 AE(3) 直线y＝kx＋b（k＞0）与抛物线C1交于M、P两点，交抛物线C1对称轴于Q（Q在x轴下方），交x轴于点D，M、N两点

(2) 将抛物线C1向上平移一个单位，再沿BA方向平移，得到抛物线C2，若抛物线C2与线段AC交于点E，求关于抛物线C1的对称轴对称，NP的延长线交抛物线的对称轴于G，如图2，求证：DG＝DQ

两点，求证：抛物线对称轴平分

练习：1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y12x23x92 交y轴于点E，C为抛物线的顶点，直线AD：y=kx+b（k＞0）与抛物线相交于A，D两点（点D在点A的下方）.

练习2：（2015广雅二中中考模拟）已知抛物线C1：y＝－x2＋2x＋c经过x轴上的点A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为y＝x－1，B、C关于x轴对称，如图1