题型五 反比例函数综合题
类型一 反比例函数与一次函数结合
k
1. 如图，反比例函数y＝的图象过格点(网格线的交点)A，一次函数y＝ax＋b的图象经过格点A，B.
x(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点A，点B； ②矩形的面积等于△AOB面积的整数倍.
第1题图
k
2. 如图，已知反比例函数y＝(k＞0)的图象和一次函数y＝－x＋b的图象都过点P(1，m)，过点P作y
x轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，△OAP的面积为1.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积.
第2题图
m2－3m3. 如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0且m≠3)的图象在第一象限交
x
1
于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D.已知A(4，1)，CE＝4CD.
(1)求m的值和反比例函数的解析式；
(2)若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值.
第3题图
4
4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋k与双曲线y＝(x>0)交于点A(1，a).
x(1)求a，k的值；
(2)已知直线l过点D(2，0)且平行于直线y＝kx＋k，点P(m，n)(m>3)是直线l上一动点，过点P分别作4
x轴、y轴的平行线，交双曲线y＝(x>0)于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成
x的区域(不含边界)记为W.横、纵坐标都是整数的点叫整点.
①当m＝4时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点个数正好是8个，结合图象，求m的取值范围.
第4题图
2
类型二 反比例函数与几何图形结合
k
1. 如图，反比例函数y＝(x<0)的图象过格点(网格线的交点)P.
x(1)求反比例函数的解析式；
(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个等腰三角形(不写画法)，要求每个三角形均需满足下列两个条件： ①三个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，P； ②三角形的面积等于|k|的值.
第1题图
k
2. (2019兰州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝(k≠0)的图象过等边三角形BOC的
x顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，AO.
k
(1)求反比例函数y＝(k≠0)的表达式；
x
(2)若四边形ACBO的面积是33，求点A的坐标.
第2题图
k
3. (2019苏州)如图，A为反比例函数y＝(其中x>0)图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4，
x
3
连接OA，AB，且OA＝AB＝210.
(1)求k的值；
kAD
(2)过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝(其中x>0)的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值.
xDB
第3题图
k
4. 如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C的坐标为(3，0)，∠AOC＝45°，反比例函数y＝(k
x＞0，x>0)的图象经过点A且交BC于点E，过点E作ED⊥x轴于点D，ED＝1.
(1)求反比例函数的解析式；
1
(2)若点F是反比例函数图象上一点，且△ABF的面积等于▱OABC面积的，求点F的坐标.
8
第4题图
k
5. 如图，在△AOB中，∠BAO＝30°，点C为AB的中点，连接OC，反比例函数y＝(x＞0)的图象经
x过点B、C，点B的纵坐标为4.
4
(1)求反比例函数的解析式； (2)求△BOC的面积.
第5题图
5
拓展类型 反比例函数综合题还会怎么考
1. (2018河南备用卷)小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据：
x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12 y 12 6 4 3 2 ■ 1 0.5 结果发现一个数据被墨水涂黑了， (1)被墨水涂黑的数据为 ；
(2)y与x之间的函数关系式为 ，且y随x的增大而 ；
(3)如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为
S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1和S2的大小关系，并说明理由；
2
(4)在(3)的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y＝的图象经过点G交AB于点H，连接OG、OH，
x则四边形OGBH的面积为 .
第1题图
2. (2019威海) (1)阅读理解
1
如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C.分别过点A，C，B作x轴
x1
的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D.点E，F，G的横坐标分别为n－1，n，n
x＋1(n>1).
1
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
xAE＋BG＝2CF，CF>DF.
112
由此得出一个关于，，之间数量关系的命题：若n>1，则 .
n－1n＋1n(2)证明命题
小东认为：可以通过“若a－b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题；
小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题. 请你选择一种方法证明(1)中的命题. ．．
6
第2题图
x－2x－22
3. 参照学习函数的过程与方法，探究函数y＝(x≠0)的图象与性质，因为y＝＝1－，即y＝
xxx22
－＋1，所以我们对比函数y＝－来探究. xx
列表：
x－2y＝ … x3 25 32 3 5 －3 －1 0 1 31 2… x 2y＝－ x… －4 … 1 2－3 2 3－2 1 －1 2 1－ 24 1 2－4 1 －2 2 －1 3 2－ 34 1－ 2… … x－2
描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应
x的点如图所示；
(1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 ；(“增大”或“减小”)；
x－22②y＝的图象是由y＝－的图象向 平移 个单位而得到的；
xx③图象关于点 中心对称；(填点的坐标)
x－2
(3)函数y＝与直线y＝－2x＋1交于点A，B，求△AOB的面积.
x
第3题图
7
参考答案
类型一 反比例函数与一次函数结合
1. 解：(1)由题图可知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(－3，－1)， 将点A(1，3)代入反比例函数y＝k
x中，得k＝3，
故反比例函数的解析式为y＝3
x
；
将A(1，3)、B(－3，－1)代入一次函数y＝ax＋b中，
得a＋b＝3－3a＋b＝－1， 解得a＝1b＝2
，
∴一次函数的解析式为y＝x＋2；
(2)如解图，答案不唯一(以A、B为顶点的四个矩形任选两个即可)．
第1题解图
2. 解：(1)∵S11
△OAP＝2OA·AP＝2m＝1，
∴m＝2. ∴P(1，2)，
将P(1，2)代入y＝k
x中，得k＝2.
∴反比例函数的解析式为y＝2
x.
将P(1，2)代入y＝－x＋b中，得b＝3. ∴一次函数的解析式为y＝－x＋3；
(2)联立反比例函数和一次函数得y＝2x
，
y＝－x＋3
8
x1＝1x2＝2解得，，
y1＝2y2＝1
∴M(2，1)．
如解图，过点P作PD⊥x轴交x轴于点D.
∴PD＝2，OB＝2，BM＝1，OD＝AP＝1，BD＝OB－OD＝2－1＝1.
1137∴S五边形OAPMB＝S四边形OAPD＋S四边形PDBM＝AP·OA＋BD·(PD＋BM)＝1×2＋×1×(2＋1)＝2＋＝.
2222
第2题解图
3. 解：(1)将点A(4，1)代入反比例函数y＝m2－3m
x，
得m2－3m＝4， 解得m1＝4，m2＝－1， ∴反比例函数解析式为y＝4
x；
(2)∵BD⊥y轴，AE⊥y轴， ∴BD∥AE， ∴△CDB∽△CEA， ∴
CDCE＝BDAE
， ∵CE＝4CD， ∴AE＝4BD， ∵A(4，1)， ∴AE＝4， ∴BD＝1， ∴xB＝1， ∴yB＝4
x＝4，
∴B(1，4)，
将A(4，1)，B(1，4)代入一次函数y＝kx＋b，
得4k＋b＝1，解得k＝－1， k＋b＝4
b＝59
∴直线AB的解析式为y＝－x＋5， 如解图，设直线AB与x轴的交点为F， 当x＝0时，y＝5，当y＝0时，x＝5， ∴C(0，5)，F(5，0)， 则OC＝OF＝5，
∴△OCF为等腰直角三角形， ∴CF＝2OC＝52，
则当OM⊥CF于点M时，由垂线段最短可知，OM有最小值， 152
即OM＝CF＝.
2252
∴OM长度的最小值为.
2
第3题解图
4
4. 解：(1)∵点A(1，a)在双曲线y＝上，
x4∴a＝＝4.
1
∴点A的坐标为(1，4)，
将A(1，4)代入y＝kx＋k，得k＋k＝4， ∴k＝2； (2)①3个；
【解法提示】∵直线l过点D(2，0)且平行于直线y＝2x＋2，∴直线l的解析式为y＝2x－4.当m＝4时，n＝2m－4＝4，∴点P的坐标为(4，4)．依照题意画出图象，如解图①所示，观察图形，可知：区域W内的整点个数是3.
第4题解图①
10
②如解图②所示，当2x－4＝4时，即x＝4，此时线段PM和PN上有5个整点； 当2x－4＝5时，即x＝4.5，此时线段P′M′和P′N′上有整点；
观察图形可知：若区域W内的整点个数正好是8个，m的取值范围为4 类型二 反比例函数与几何图形结合 1. 解：(1)由题图易知点P的坐标为(－2，1)， 将P(－2，1)代入y＝k x， 得k＝－2， 故反比例函数的解析式为y＝－2 x ； (2)如解图，△APO，△BPO即为所求(答案不唯一，所画三角形符合题意即可)． 第1题解图 2. 解：(1)如解图，过点B作BD⊥OC于点D， ∵△BOC为等边三角形， ∴OB＝BC＝OC＝2，∠BOC＝60°. ∴OD＝OB·cos∠BOC＝2×132＝1，BD＝OB·sin∠BOC＝2×2＝3. ∵点B在第三象限， ∴B(－1，－3)． ∵反比例函数y＝k x的图象经过点B(－1，－3)， ∴k＝3. ∴反比例函数的表达式为y＝ 3x ； 11 第2题解图 (2)由(1)可得，S11 △BOC＝2OC·BD＝2×2×3＝3. ∴S△COA＝S四边形ACBO－S△BOC＝33－3＝23. 设点A的坐标为(a， 3a )， ∵S133 △COA＝2×2×a＝a， ∴ 3 a ＝23. ∴a＝12. ∴A(1 2 ，23)． 3. 解：(1)如解图，过点A作AE⊥OB于点E，交OC于点F. ∵OA＝AB＝210，OB＝4， ∴OE＝BE＝1 2 OB＝2， 在Rt△OAE中，AE＝OA2－OE2＝（210）2－22＝6， ∴点A的坐标为(2，6)． ∵点A是反比例函数y＝k x图象上的点， ∴6＝k 2 ，解得k＝12； 第3题解图 (2)∵OB＝4且BC⊥OB， ∴点C的横坐标为4， 12 又∵点C为反比例函数y＝12 x 图象上的点， ∴点C的坐标为(4，3)． ∴BC＝3. 设直线OC的表达式为y＝mx， 将C(4，3)代入可得m＝3 4， ∴直线OC的表达式为y＝3 4x， ∵AE⊥OB，OE＝2， ∴点F的横坐标为2， 将x＝2代入y＝333 4x可得y＝2，即EF＝2. ∴AF＝AE－EF＝6－39 2＝2. ∵AE，BC都与x轴垂直， ∴AE∥BC， ∴∠AFD＝∠BCD，∠FAD＝∠CBD， ∴△ADF∽△BDC， 9 ∴ADAF23DB＝BC＝3＝2 . 4. 解：(1)∵四边形OABC为平行四边形， ∴OA∥BC， ∴∠BCD＝∠AOC＝45°， 在Rt△CDE中， ∴CD＝DE＝1， ∵C(3，0)， ∴E(4，1)， 把E(4，1)代入y＝k x中，得k＝4×1＝4， ∴反比例函数的解析式为y＝4 x； (2)如解图，过点A作AH⊥x轴于点H， 13 第4题解图 ∵∠AOH＝45°，∴OH＝AH， 设A(a，a)，则a·a＝4，解得a＝2(负值舍去)， ∴A(2，2)， ∴S▱OABC＝AH·OC＝2×3＝6， 设F(t，4t )， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB∥OC，AB＝OC＝3， ∵△ABF的面积等于▱OABC面积的1 8， ∴12×3×|4t－2|＝18×6，解得t1＝883，t2＝5， ∴点F的坐标为(8383，2)或(55，2 )． 5. 解：(1)如解图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，∵∠BAO＝30°，BE＝4， ∴EA＝BE tan30°＝43， ∵BE⊥x轴，CD⊥x轴， ∴CD∥BE， ∵点C为AB的中点， ∴CD是△ABE的中位线， ∴CD＝11 2BE＝2，DA＝ED＝2EA＝23， 设点B的坐标为(k 4，4)， ∴点C的坐标为(k 4＋23，2)， ∴(k 4＋23)×2＝k， 解得k＝83， ∴反比例函数的解析式为y＝ 83x ； 14 第5题解图 83(2)∵反比例函数的解析式为y＝， x83 ∴将y＝4代入y＝中， x得x＝23， ∴OE＝23， ∴OA＝OE＋EA＝63， 11 ∴S△AOB＝OA·BE＝×63×4＝123， 2211 S△AOC＝OA·CD＝×63×2＝63， 22∴S△BOC＝S△AOB－S△AOC＝123－63＝63. 拓展类型 反比例函数综合题还会怎么考 1. 解：(1)1.5； 【解法提示】从表格可以看出xy＝6，∴墨水盖住的数据是1.5. 6 (2)y＝(x>0)；减小； x 6 【解法提示】由xy＝6，得到y＝(x>0)，当x>0时，y随x的增大而减小． x(3)S1＝S2；理由如下： ∵S1＝OA·OC＝k＝6， S2＝OD·OF＝k＝6， ∴S1＝S2； (4)4. 【解法提示】∵S 四边形 OC＝6，S△OCG＝OCBA＝OA· 1111 OD·OC＝×2＝1，S△OAH＝OA·AH＝×2＝1，2222 ∴S四边形OGBH＝S四边形OCBA－S△OCG－S△OAH＝6－1－1＝4. 2. 解：(1) 112 ＋ ＞ ； nn－1n＋1 (2)证法一： 112 证明：＋ － n－1n＋1n＝(＝＝ 1111－)＋(－) n－1nn＋1n 11 － n（n－1）n（n＋1）n＋1－（n－1） n（n＋1）（n－1） 15 ＝ 2 n（n＋1）（n－1） ， ∵n>1， ∴n＋1>0，n－1>0， ∴1n－1＋1n＋1－2n>0， 即 112n－1＋n＋1>n . 证法二： 证明： 11n－1＋ n＋1 ＝n＋1（n－1）（n＋1）＋ n－1 （n－1）（n＋1） ＝ 2n （n－1）（n＋1） ， 2n（n－1）（n＋1）÷ 2 n ＝ 2n（n－1）（n＋1）·n 2 n2 ＝（n－1）（n＋1） ＝n2 n2－1， ∵n＞1， ∴n2 ＞n2－1， n2 ∴n2－1＞1， ∴ 112n－1＋ n＋1 ＞ n. 3. 解：(1)函数图象如解图所示： 第3题解图 (2)①增大；②上，1；③(0，1)； (3)根据题意得x－2 x ＝－2x＋1，解得x＝±1. 16 当x＝1时，y＝－2x＋1＝－1. 当x＝－1时，y＝－2x＋1＝3. ∴交点为(1，－1)，(－1，3)． 1 当y＝0时，－2x＋1＝0，x＝， 211 ∴△AOB的面积＝×(3＋1)×＝1. 22 17 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容