(整理版)函数与导数中的特称命题与全称命题

1．函数f(x)lnxa,g(x)f(x)ax6lnx,其中aR。 x〔1〕当a1时，判断f(x)的单调性；

〔2〕假设g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；

〔3〕设函数h(x)x2mx4,当a2时,假设x1(0,1),x2[1,2],总有g(x1)h(x2)成立，求实数m的取值范围。

答案：解析：由f(x)lnx当 a1时，f'(x)axa,得f(x)的定义域为(0,+)，f'(x)2, xxx10(x0),f(x)在〔0,〕上单调递增。 2x2a〔2〕由得，g(x0ax5lnx，其定义域为〔0,〕，g'(x)aa5ax5xa.

xx2xx25x2. 因为g(x)在其定义域内为增函数，所以x(0,),g'(x)0,即ax5xa0,则a2x15而5x55，当且仅当x=1时，等号成立，所以a

212x21xx1122x25x2x2xx(0,),g'(x)0〔3〕当a=2时，g(x)2x5lnx,g'(x)由得，或，当222xx时， g(x)0;当x(,1)时,g(x)0 所以在〔0，1〕上，g(x)maxg()35ln2

而“x1(0,1),x2[1,2],总有g(x1)h(x2)成立〞等价于“g(x)在〔0，1〕上的最大值不小于

1212h(x)在[1,2]上的最大值〞。

又h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)}, 所以有： 所以实数

的取值范围是

2．函数f(x)lnxax(Ⅰ)当a1a1(aR). x1时，讨论f(x)的单调性； 21〔Ⅱ〕设g(x)x22bx4.当a时，假设对任意x1(0,2)，存在x21,2，使

4f(x1)g(x2)，求实数b取值范围.

1时，f(x)在〔0，1〕上是减函数，在〔1，2〕上是增函数，所以对任意x1(0,2)， 411有f(x1)f(1)=-，又存在x21,2，使f(x1)g(x2)，所以g(x2)，x21,2，

22919111722即存在x1,2，使g(x)x2bx4，即2bxx，即2bx2[,]，

2224x111111所以2b，解得b，即实数b取值范围是[,)。

244〔Ⅱ〕当a

3.设函数f(x)1a2xaxlnx(aR). 2(Ⅰ) 当a1时，求函数f(x)的极值； 〔Ⅱ〕当a1时，讨论函数f(x)的单调性.

〔Ⅲ〕假设对任意a(2,3)及任意x1,x2[1,2]，恒有maln2f(x1)f(x2) 成立，求实数m的取值范围.

解：(Ⅰ)函数的定义域为(0,).

' 当a1时，f(x)xlnx,f(x)11x1.令f'(x)0,得x1. xx 当0x1时，f'(x)0;当x1时，f'(x)0. f(x)极小值=f(1)1,无极大值.4分

'1[(1a)x1](x1)(1a)x2ax1〔Ⅱ〕f(x)(1a)xa  

xxx1(1a)(x)(x1)a1  5分 x1(x1)2'1，即a2时，f(x)0, f(x)在(0,)上是减函数； 当

a1x111，即a2时，令f'(x)0,得0x 当或x1; a1a11x1. 令f'(x)0,得

a1111，即1a2时，令f'(x)0,得0x1或x; 当

a1a11'. 令f(x)0,得1x7分 a1 综上，当a2时，f(x)在定义域上是减函数；

11)和(1,)单调递减，在(,1)上单调递增； 当a2时，f(x)在(0,a1a111,)单调递减，在(1,)上单调递 当1a2时，f(x)在(0,1)和(8分 a1a1〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，当a(2,3)时，f(x)在[1,2]上单调递减， 当x1时，f(x)有最大值，当x2时，f(x)有最小值.

a3a3f(x1)f(x2)f(1)f(2)ln2maln2ln2 10分

2222131130，所以m0. 而a0经整理得m 由2a3得22a422a

4．〔辽宁理数〕〔本小题总分值12分〕 函数f(x)(a1)lnxax1 〔I〕讨论函数f(x)的单调性；

〔II〕设a1.如果对任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)4|x1x2|，求a的取值范围。

2a12ax2a12ax解：〔Ⅰ〕f(x)的定义域为〔0，+∞〕. f'(x). xx当a0时，f'(x)＞0，故f(x)在〔0，+∞〕单调增加； 当a1时，f'(x)＜0，故f(x)在〔0，+∞〕单调减少；

当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得xa1. 2a那么当x(0,a1a1)时，f'(x)＞0；x(,)时，f'(x)＜0. 2a2aa1a1)单调增加，在(,)单调减少. 2a2a故f(x)在(0,〔Ⅱ〕不妨假设x1x2，而a＜-1，由〔Ⅰ〕知在〔0，+∞〕单调减少，从而 x1,x2(0,)，f(x1)f(x2)4x1x2 等价于

x1,x2(0,)，f(x2)4x2f(x1)4x1 ①

令g(x)f(x)4x，那么g'(x)a12ax4 x①等价于g(x)在〔0，+∞〕单调减少，即

a12ax40. x4x1(2x1)24x22(2x1)22 从而a2222x12x12x1 故a的取值范围为〔-∞，-2]. ……12分

5.函数f(x)alnxax3(aR)．

〔I〕当a1时，求函数f(x)的单调区间；

o

〔II〕假设函数yf(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范围取值时，对于

任意的t[1,2]，函数g(x)x3x2[mf(x)]在区间(t,3)上总存在极值？ 2f(x)aa(x0) x11x， …………………………………2分 1xx〔I〕当a1时，f(x) 令f(x)0时，解得0x1，所以f(x)在〔0，1〕上单调递增； ……4分 令f(x)0时，解得x1，所以f(x)在〔1，+∞〕上单调递减． ………6分 〔II〕因为函数yf(x)的图象在点〔2，f(2)〕处的切线的倾斜角为45， 所以f(2)1．

o

22． ………………………………………………8分 xm2m g(x)x3x2[2] x3(2)x22x，

2x2 所以a2，f(x) g(x)3x2(4m)x2， ……………………………………………10分 因为任意的t[1,2]，函数g(x)x3x2[mf(x)]在区间(t,3)上总存在极值， 2g(2)0, 所以只需 ……………………………………………………12分

g(3)0, 解得

6.函数f(x)xalnx(a为实常数).

(1)假设a2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；

(3)假设存在x[1,e]，使得f(x)(a2)x成立，求实数a的取值范围.

237m9． ………………………………………………………14分 32(x21)0， 解析：〔1〕当a2时，f(x)x2lnx，当x(1,)，f(x)x2故函数f(x)在(1,)上是增函数．…………………………………………………4分

2x2a(x0)，当x[1,e]，2x2a[a2,a2e2]． 〔2〕f(x)x假设a2，f(x)在[1,e]上非负〔仅当a2，x=1时，f(x)0〕，故函数f(x)在[1,e]上是增函数，此时[f(x)]minf(1)1． ………………………………………………6分

假设2e2a2，当xa时，f(x)0；当1x2a时，f(x)0，此时f(x) 2是减函数； 当

aaxe时，f(x)0，此时f(x)是增函数．故[f(x)]minf() 22aaaln()． 222假设a2e2，f(x)在[1,e]上非正〔仅当a2e2，x=e时，f(x)0〕，故函数f(x)在[1,e]上是减

函数，此时[f(x)]minf(e)ae2．……………………………………8分

综上可知，当a2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当2e2a2时，f(x)

的最小值为

aaaa；当a2e2时，f(x)的最小值为ae2， ln()，相应的x值为2222相应的x值为e．……………………………………………………………………10分 〔3〕不等式f(x)(a2)x， 可化为a(xlnx)x22x．

∵x[1,e], ∴lnx1x且等号不能同时取，所以lnxx，即xlnx0，

x22x因而a〔x[1,e]〕………………………………………………12分

xlnxx22x(x1)(x22lnx)令g(x)〔x[1,e]〕，又g(x)，…………………14分

xlnx(xlnx)2当x[1,e]时，x10,lnx1，x22lnx0，

从而g(x)0〔仅当x=1时取等号〕，所以g(x)在[1,e]上为增函数，

故g(x)的最小值为g(1)1，所以a的取值范围是[1,)． ………………………16分

7.函数f(x)12xalnx(aR) 2〔1〕求f(x)的单调区间；

〔2〕设g(x)f(x)2x，假设g(x)在[1,e]上不单调且仅在xe处取得最大值，求a的取值范围．

ax2a(x0)---------2分 解：〔1〕f(x)xxx'' 假设a0，那么f(x)0，所以此时只有递增区间〔0,)---------4分

假设a0，当f'(x)0时，得xa 当f'(x)0时，得0xa

所以此时递增区间为：〔a,)，递减区间为：〔0，a)-------------6分

ax22xa(x0)，设h(x)x22xa(x0) 〔2〕g(x)x2xx' 假设g(x)在[1,e]上不单调，那么h(1)h(e)0，(3a)(e2ea)0 3ae2e-------------10分

同时g(x)仅在xe处取得最大值，只要g(e)g(1)即可

22e25e252e----------14分 a的范围：(3,2e) 得出：a2222

8.函数f(x)2axblnx． x1处取得极值，求a，b的值； 2〔Ⅰ〕假设函数f(x)在x1，x〔Ⅱ〕假设f(1)2，函数f(x)在(0,)上是单调函数，求a的取值范围． 21解：〔Ⅰ〕f(x)2a

b1， 2xx1f(1)0a3． 由 ，可得 1f()0b123〔Ⅱ〕函数f(x)的定义域是(0,)，

因为f(1)2，所以b2a1．

2ax2x(2a1)(x1)[2ax(2a1)]所以f(x) 22xx要使f(x)在(0,)上是单调函数，只要f(x)≥0或f(x)≤0在(0,)上恒成立． ……………………10分

x10恒成立，所以f(x)在(0,)上是单调函数； x22a1111， 当a0时，令f(x)0，得x11，x22a2a当a0时，f(x)此时f(x)在(0,)上不是单调函数；

当a0时，要使f(x)在(0,)上是单调函数，只要12a≥0，即0a≤综上所述，a的取值范围是a[0,]．

1 212132

9.函数f (x)＝x＋ax＋bx， a , bR．

3(Ⅰ) 曲线C：y＝f (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y＝2x＋1，求a，b的值；

(Ⅱ) f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0＜a＋b＜2． (Ⅰ)解:

f(x)＝x2axb，

221a,f(1)ab2,3由题设知： 解得 …………6分 37b.f(1)12ab2,3(Ⅱ)解：因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点 ，

2所以f(x)0，即x2axb0在(1,2)内有两个不等的实根．

f(1)12ab0,f(2)44ab0,故1a2,24(ab)0.由 (1)+(3)得ab0.

2(1)(2)(3)(4)

由〔4〕得abaa，

因2a1，故aa(a) 10．〔本小题总分值14分〕

设函数f(x)212212，从而ab2. 4所以0ab2．

|x1|11|ax1|，f(1)f(1) ，且f()f()〔a∈R，且a≠0〕，函数

aag(x)ax3bx2cx〔b∈R，c为正整数〕有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、

B与坐标原点O在同一直线上。

〔1〕试求a、b的值；

〔2〕假设x0时，函数g(x)的图象恒在函数f(x)图象的下方，求正整数c的值。

解析：〔1〕

f(1)f(1)，∴1a2a1 ①

1a又f()f()，∴11a1112，即1a2aa1 ② aaa1时，①、②不成立，故a1．------2分

由①②得a1，a1．又

∴g(x)x3bx2cx，设x1、x2是函数g(x)的两个极值点，那么x1、x2是方程

g/(x)3x22bxc=0的两个根，4b212c0(c为正整数)，

322bx13bx12cx1x2bx2cx2∴x1+x2=，又∵ A、O、B三点共线， =，

3x1x2∴(x1x2)[(x1x2)b]=0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2=〔2〕

2b，∴b=0．----------------6分 3x0时，f(x)min2， --------7分

2由g(x)3xc0得x/ccc，可知g(x)在(0,)上单调递增，在(,) 333cccc2cc． ---------------------9分 )c333333上单调递减， g(x)极大值g(c13①由得c3,c的值为1或2．〔∵c为正整数〕 --------11分

2cc233②cc1时，记g(x)在x[1,]上切线斜率为2的切点的横坐标为x0， 33c2，依题意得g(x0)f(x0)， 3c2c2,得c2,与c3矛盾． 3那么由g/(x)3x2c2得x0x03cx02x0,x02c2,〔或构造函数hx2xgx在x1上恒正〕 综上，所求c的值为1或2．