■为非厄米情况下的薛定谔方程及其应用

第２１卷第１期　河南教育学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．２ｌ　Ｎｏ．１　Ｍａｒ．２０１２　２０１２年３月　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—０８３４．２０１２．Ｏ１．００１　日为非厄米情况下的薛定谔方程及其应用　马晓春　，赵先林　，刘金海２　（１．郑州轻工业学院技术物理系，河南郑州４５０００２；２．河南教育学院物理系，河南郑州４５００４６）　摘要：给出了Ｈ为非厄米情况下的薛定谔方程，并对其性质、意义及应用进行了讨论．　关键词：辐射阻尼；非厄米的　；薛定谔方程　中图分类号：Ｏ１５７．５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—０８３４（２０１２）０１—０００１—０４　０　引言　众所周知，在通常情况下，薛定谔方程中的哈密顿算符矗为厄米算符．然而，也有一些文献　。　指出，薛　定谔方程中的哈密顿算符矗也可以为非厄米算符，其一般表达式为：矗＝矾一ｉＷ，其中／ｔ和　是厄米的．那　么，后一种说法的依据是什么？算符　的物理意义又是什么？它又有哪些应用呢？量子力学书籍中都没有　给出明确的说明．笔者针对这些问题进行了初步探讨．　１由为非厄米算符时的薛定谔方程的引入　薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，是无法推导和证明的，然而，它可以通过经典的波动方程和德　布罗意关系得到　．根据这一做法，也可以得到　为非厄米算符时的薛定谔方程．在阻尼力Ｆ＝一ｙ　的作　用下的波动方程为　ｖ　缈（　）一　其中“为波速，ｙ＞０为阻尼系数．　令　（７，　）＝ｅ　‘一　（一／－），∞＝　一ｉｙ，可将方程（１）化为　Ｖ２　（７）＋　（　）＝０，　（２）　ｄ　０　：０，　（１）　引入波长参量Ａ＝丌２ｌ＇Ｔｌｔ，￣口方程（２）可改写为　，（７）＋等　（７）＝ｏ，　再由德布罗意关系Ａ＝　ｐ　（３）　和　＋　（　）：Ｅ，得　ｌ上　等＝　代人方程（３），可得　考虑到　（　，ｔ）＝ｅ　‘一啼　（７），可把方程（４）改写为　）］，　’　（４）　Ｖ　（　）＋　［Ｅ—　（７）】　（７）：０，　）＋（　Ｖ　一ｌ，）　（ｒ，ｔ）＝０，　收稿日期：２０１１—１２—１４　（５）　基金项目：国家自然科学青年基金项目（１１１０２０６０）；河南教育学院理论物理重点学科资助　作者简介：马晓春（１９６２一），女，河南新乡人，郑州轻工业学院技术物理系高级工程师．　２　河南教育学院学报（自然科学版）　此时，利用关系式　一—　ｌ　ｄｆ　：五　（　）：Ｅ　（　），　（６）　其中　Ｅ＝｝ｉ∞＝｝ｉ（Ｏ／一ｉｙ），　（７）　消去参量Ｅ，就可得到日为非厄米算符时的薛定谔方程　ｉ矗　＝（一鬟Ｖ　）　，　当Ｖ＝Ｖ（　ｒ）时，可令　（７，ｔ）＝　￡）　（７）得到　缈（　，ｔ）＝ｅ一　‘　（７）　和　一　㈩　（９）　Ｖ　（７）＋　（７）　（７）＝　（７）．　（１０）　Ｖ　＋　在一般情况下为非厄米算　Ｖ考虑到（７）式可知，能量Ｅ一般为复数方程，所以哈密顿算符　＝一ｂ　ＺＺ　－＇／ｚ　．符，可表示为　Ｈ＝Ｈ０一ｉＷ，　其中　和　是厄米算符．　方程（１０）即为日为非厄米算符时的定态薛定谔方程．　２日为非厄米算符时其本征波征函数性质和本征值的意义　２．１本征值的意义　．　当风和　对易时，　和　有共同本征态ＩＥ。　），此时，因为　ｆ　Ｅ。　）＝Ｅ。Ｉ　Ｅ。ｚ￡７），　Ｊ　Ｅ。Ｗ）＝　Ｉ　Ｅ。　），　所以　Ｅ。　）＝（Ｅ。一ｉｗ）Ｉ　Ｅ。　），于是有　Ｉ　（￡））：ｅ一辛（／ｆ０－ｉｌ￣）　：ｅ—ｗ－ｆｅ—ｔ．Ｅ百０　ＩＥ。加），　（　（ｔ）Ｉ砂（　））：ｅ—Ｔｔ＝ｅ—　，　其中ｆ：　：立为系统处于能级Ｅ的寿命．　。（１１）　从以上不难看出，复能量的实部就是通常意义下的能量，其虚部表示该能级的自然宽厂．　２．２本征波征函数性质　（１）从（１１）式可知，此时系统的定态波函数随时问指数衰减，概率密度也随时间指数衰减．　（２）概率流密度随时间指数衰减，连续性方程需要修改．　由薛定谔方程　ｉ｝ｉ　不难得出，此时的连续性方程应改写为　ａ￡　：（矗。一ｉ　）　（７，￡），　、　、　～　Ｖ・７＋　＝一鲁　，　其中　Ｐ＝　，７＝　（　ｖ　一　）．　因此不难看出，在日。和　共同本征态ｌＥ。Ｗ）下，概率流密度随时间指数衰减．　３日为非厄米算符时的薛定谔方程的应用　为非厄米算符时的薛定谔方程有很多应用　．但由于篇幅所限，以下仅举两例．　第１期　马晓春等：矗为非厄米情况下的薛定谔方程及其应用　３　３．１一维线形谐振子　考虑到辐射阻力后，一维线形谐振子的薛定谔方程为　ｉ壳　＝（一　ｈ２　ｄ２＋　。　，　设　Ｈ＝Ｈ０一ｉＷ，　其中　／ｏ一　嘉＋　２　为不考虑辐射阻力时一维线形谐振子的哈密顿．　设　和　对易，它们的共同本征函数为砂　（　），则容易求出其定态波函数为　（　，ｆ）＝ｅ一寺‘　Ⅱ　ｎ　‘　（　）　（　），　能量本征值为　Ｅ　＝Ｅ　一ｉｗ，，　（１２）　其中　Ｅ　＝（　）　，ｎ＝０’ｌ’２，…　为不考虑辐射阻尼情况下的一维线形谐振子的能量，砂　（　）满足不考虑辐射阻尼情况下的一维线形谐振子　的定态薛定谔方程　（一　ｈ２　ｄ２＋　。２　２　）＝　），　）＝　扣　．　于是系统处于能量Ｅ　的概率密度　ｆ　ｄｘ＝ｅ一下　随时间指数衰减．　３．２色散的量子理论　按照洛伦兹的经典理论，原子可以看做谐振子．光作用在原子中的电子上时，相当于引入围绕算符　日　＝ｅｘＥ０ＣＯＳ　ｔｏｔ．　利用和文献［３］类似的方法，只需作如下替换　Ｅ　Ｅ　一ｉｗ　；０９　＇＋　一ｉ　，　（　，ｔ）－－－－＋＠－ｑ－ｔ　（　，ｔ）　（　），　其中　：　．　，ｌ　，ｌ　不难算出，折射率ｒｔ满足以下关系　，　ｏ）ｋ一２　　一　’　一　２　　，一∞２　一ＺＩＯ）ｋ，ｋＯ）ｋ＾。　一　，　其中　＝　（　一ｉＯｔＪｋ＇ｋ）Ｉ　ｘ．　．　注意到不等于零的矩阵元只是　＝　层，　而　＋１．　＝　０，　１．　一　０　不妨认为　４　河南教育学院学报（自然科学版）　求得　＋　．　＝（ｋ＋１），　一。．　＝一ｋ，　掣　１一ｉ　・）　１一ｉ　：，　ｏｋｏ　（　一　一　一ｎ，一　Ｚ１ＴｏＪ。　ｏ）ｏ　一７一　ＯＪ　＋　Ｚｌ＇ｙｃｏｏ’　ｏ其中第一项表示辐射，第二项表示受激吸收．　该结果表明：考虑到辐射阻尼后，折射率为复数．这一结论已被大量实验所证实．该结果还表明：折射率　随时间指数衰减．这一结论有待实验验证．　４　结论　若考虑到辐射阻尼后，薛定谔方程的哈密顿算符　应为非厄米算符，其一般表示式应为　Ｈ＝Ｈｏ—ｉＷ．　其中　和　是厄米算符．它们共同本征值的实部为能量，虚部为能级的自然宽度．利用这一结论不但可以解　释粒子的寿命，而且也可以对折射率为复数这一结论给出量子力学的解释．　参考文献　［１］王正行．量子力学原理［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００３：１３８—１４４．　［２］　李正道．场论与粒子物理学：上册［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８２：２０７．　［３］索科洛夫Ａ　Ａ．量子力学原理及其应用［Ｍ］．王祖望，译．上海：上海科学技术出版社，１９８３：３０４—３０９　Ｓｃｈｒｉｉｄｉｎｇｅｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｈ　ａｓ　Ｎｏｎ・Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ　ＭＡ　Ｘｉａｏ．ｃｈｕｎ　，ＺＨＡＯ　Ｘｉａｎ．１ｉｎ。，ＬＩＵ　Ｊｉｎ—ｈａｉ　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｌｉｇｈｔ　Ｉｎｄｕｓｔｒｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５０００２，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｅｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００４６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｈ　ａｓ　ｎｏｎ－Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｃｕｓｓｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄ：ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｄａｍｐｉｎｇ；ｎｏｎ—Ｈｅｒｍｉｔｉａｎ　；Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ