“形”“性”而解——浅议阿基米德三角形的应用

２０１３年２月　案例点评　材　法　“形９９｜｜１眭’’而解　——浅议阿基米德三角形的应用　◎浙江省新昌中学王宁岚　在近几年全国各地高考的解析几何试题中可以发　现许多试题涉及到与一个特殊的“三角形”——由抛物线　的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的　问题，这个三角形常被称为阿基米德三角形．因为是阿基　物线没有公共点可知６必不为零，设　‰，ｙｏ），则　ａｘｏ＋ｂｙｏ＋ｃ－－Ｏ．　①　②　又由性质１可知直线　曰的方程为ｘｏｘ＝ｐ（ｙｏ＋ｙ）．　由①②整理得（ｂｘ＋ｐａ）ｘｏ＋ｐ（ｃ—ｂｙ）－－Ｏ．　：一　．　米德最早在《抛物线的球积法》著作中利用逼近的思想证　明了有关性质：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形　的面积是阿基米德三角形面积的三分之二．本文证明了　阿基米德三角形的几个有趣性质，并用它来解一些近几　年中出现的高考试题证明时抛物线均以　ｚ＝２ｐ，，为例，阿　由　。的任意性可知　ｂｘ一＋ｐ　ａ＝６。？’得　ｂ　Ｃ　’　＝——．　ｂ　故渤日过定点ｃｆ＼　Ｏ—ｐ＿ａ，　Ｄ／＿Ｃ　１　．　一　基米德三角形为ＡＡＢＰ，其中ＡＢ为弦，助另一个顶点，Ⅳ　为弦Ａ曰的中点，下不赘述．　性质１：如图１，ＡＡＢＰ的边　ＡＢ过抛物线内一定点Ｃ，则另　一　．性质３：如图２，ＡＡＢＰ￣，若　Ⅳ为抛物线弦Ａ　的中点，则直线　｝　Ｂ　平行于抛物线的对称轴．　证明：设　（　Ｙ。），Ｂ（ｘ２，ｙ２）　＼　０　．．　．、｜　｜‘　顶点尸白勺轨迹为一条直线　证明：设Ａ（　Ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）　ｘｌ≠　２），Ｐ（Ｘ．０，Ｙｏ），Ｃ（口，ｂ），易　＼　图ｌ　（　≠　），由Ａ，曰为抛物线上的　图２　点，则），ｔ＝　，炉　，代人性质ｌ证明中过点Ａ，　的切线方　求得过点Ａ的切线方程为ｘｒｘ＝　Ｐ（ｙ　。），过点曰的切线方程为ｘ￣ｘ＝ｐ（Ｙ＋Ｙ２），因点Ｐ（ｘ。，Ｙｏ）　程，并联立可得　…（ｙ＋　（ｙ＋　在这两条直线上，所以｛　Ｐ　Ｌｘｚｘｏ＝ｐ（ｙｏ＇ｔ＇ｙ２），　弦　’相减整理可得直线　Ｐ　Ａ　的斜率　庐　，所以直线Ａ曰的方程为ｙ＿ｙ。：　（　咄　）．　解得两直线的交点坐标Ｐ（　，、　）ｚｐ　，３／．．Ｎ￣Ｊ　线弦ＡＢ的中点，从而得Ｐ，Ｎ的横坐标相同，故直线　，平　行于抛物线的对称轴．　虽ｐｐ（　１）＝ｘｏｘ－ｘｏｘ１．　ｐ（　①　利用直线ＰＡ满足的关系式：ｘｖｘ。＝ｐ（ｙｏ＋ｙ，），将ｘｒｘ。用　）代人①式并整理可得直线Ａ８的方程为：ｘｏｘ＝ｐ（ｙｏ＋　（ｙ０＋６），由Ｐ（ＸＯ，ｙ０）的　说明：由上述性质１和性质３可以发现，在ＡＡＢＰｒ｛ａ不仅　可　，｜８的横坐标　，　来表示脯坐标：Ｐ　Ｘｌ＇￣２．，　、　Ｙ），又直线ＡＢ过定点Ｃ（ａ，ｂ）得　），而　任意性可知Ｐ的轨迹方程为　一（６　），即顶点Ｐ白勺轨迹为　且还可用　Ｘ，０，ｙｏ）点坐标表示直线Ａ　的方程：Ｘｏ￣＇－－ｐ（－ｙｏ＋ｙ）．　条直线．　注：若弦ＡＢ过的定点Ｃ不在，，轴上时，直线在抛物线　例１设抛物线方程为　２：２ｐｙ（ｐ＞Ｏ），Ｍ为直线　一ｚＰ　上任意一点，过肘引抛物线的切线，切点分别为Ａ，最求　证：Ａ，肼，　三点的横坐标成等差数列．　分析：根据性质３的证明可知，只要设出Ａ，　的坐标，　外且与，，轴不垂直；若弦Ａ　过ｙ轴上的定点Ｃ（０，ｂ）时，直　线与ｙ轴垂直，且方程为　一ｂ．　性质２：若直线ｆ与抛物线没有公共点，则以直线址：　的点助顶点的△Ａ　聃底边Ａ　过定点．　再求出过Ａ，Ｂ的切线方程并联立即可得Ｐ点的横坐标为　ＸＩ＋＿－￣２—证明：设直线Ｚ的方程为ａｘ＋ｂｙ＋ｃ－－Ｏ，由条件直线Ｚ与抛　，从而得证＿　Ｚ　高中版中。？擞・？蠢曹蠢篙一　教　教　案例点评　例２如图３，在平面直角　坐标系ｘＯｙ中，过Ｙ轴正方向上　一点ｃ（ｏ，Ｃ）任作一直线，与抛　物线ｙ　相交于Ａ曰两点，一条　垂直于　轴的直线，分别与线　互　段Ａ　Ｂ和直线ｆ：ｙ＝一ｃ交于Ｐ，Ｑ．　＼　Ｑ　（１）若Ｐ为线段ＡＢ的中　＼　‘　点，求证：　为此抛物线的切线；　图３　（２）试问（１）的逆命题是否成立？说明理由．　证明：（１）设过Ａ，Ｂ的切线交于点Ｍ，则ＡＡＢＭ为阿基　米德三角形，由性质３可知　的横坐标为　，又弦Ａ曰　过定点Ｃ（０，ｃ），由性质１知点　在直线ｆ：ｙ＝一－ｃ上，故脞标为　ｆ—Ｘｌ＋Ｘ　２，－一ｃ），所以　与Ｑ重合，即ＱＡ为此抛物线的切线．　（２）答：（１）的逆命题成立．因为若ＱＡ为此抛物线的切　线，则同理可得ＱＢ也为此抛物线的切线，所以ＡＡＢＱ为阿　基米德三角形．故由性质３得　—羔横坐标为　，又直线ＰＱ平　行诤自，所以　横坐标也为　，所以助线段Ａ　的中点．　厶　性质４：如图４，在ＡＡＢＰ，若助抛物线焦点，则ｌＰＦＩ　＝　１　１・ｌ船１．　证明：因　２日　ｘ２２ｐ／］（ＸＩ＃Ｘ２），　Ｐ　Ｘｌ＋一Ｘ　川０，　所以Ｉ　ｌ・Ｉ　ＦＢＩ＝＼Ｘｚｐｌ＋号）。　ｆ＼　＝－Ｘ２ｚ＋旦１图４　２／　＿＿ＸＩ２＂Ｘ２＋—Ｘ１２＋４　—Ｘ２２＋ｐＡ４　．　ＩＰＦ　Ｉ＿（　）　Ｘ　Ｉ＇ＰＣ一　＋等一　２Ｘｌ＂Ｘ２Ａ４　＋　４　＝　４４ｐ　＋盟＋ｐ４　４＝　４　。　　。Ｉ　ＦＢＩ．　例３如图５，对每个正整数　＼　ｎ，Ａ　（　）是抛物线　＿４ｙ上的　点，过焦点肭直线＂ＦＡ　ｎ￣抛物线　Ａ　于另一点Ｂ　（ｓ　，ｔ　）．　ｌ　》　（Ｉ）试证：　＿４（ｎ≥１）；　、　、　（Ⅱ）取％：２　，并记　为抛　０　物线上分别以Ａ　，Ｂ　为切点的两　图５　中。？擞’？Ｎｅｏｎ　２０１３年２月　条切线的交点．　试证：ｌＦＣ１ｌ＋ｌＦＣ２ｌ＋…＋ｌＦＣｎｌ＝２　乙２—　＋１．　证明：（Ｉ）对任意固定的ｎ≥１，因为焦点Ｆ（０，１），所　以可设直线Ａ　的方程为Ｙ一１＝　，将它与抛物线方程　＝　联立得：　乙　一４＝０；　由一元二次方程根与系数的关系得　＝一４（ｎ≥１）．　（Ｉ１）由性质４可知：ｌＦＣ　ｌ＝、／　阿，又由（Ｉ）　知Ｘｎ￥ｎ＝一４（ｎ≥１）得　Ｉ　ＦＡ　Ｉ・Ｉ　ＦＢＩ＝（　１）（　）＝、Ｘ４ｎ＋１）．（萼＋１）　Ｘｎ２＂Ｓｎ２Ｘｎ２＋￥ｎ２＝—＋—＋１　ｌ６　４　＝｛（　ｓｎ２＋８）＝　１（　ｓ　一　）＝｛（　所以ＩＦＣ　Ｉ＝　１　Ｉ　，广ｓ　１　．因为　２ｎ，又由（Ｉ）知　一４（ｎ≥１），ｓ　，　所以ｌ　ｌ＝　１（２峙　２　１＋　１，　ｌ一　…帆ｌ酱＋孟　－２　２刊　证明：ｉＲａ（ｘｌ，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）（ｘｌ≠　２），ｅ（ｘ０，ｙｏ），由性质　１知切线　满足的关系式为：　。＝Ｐ（Ｙｏ＋Ｙ　），５￣Ｆ（Ｏ，　Ｐ），　所以　＝（ｘ　ｘ，Ｙ，－２），高＝　ｙ２－￣），赢　号），　一晶＝　ｐ（　）＋Ｙ－一　Ｐ）（ｙｏ－￣）ｙ　号（ｙ－＋　）＋等　ｌ　ＦＰｌ（ｙ　＋　Ｐ）　ＩＦ—Ｐｌ（ｙｌ＋２）　）（　）ｙｏ＋２　一　号）一　’　妥　髓可得．ｃｏ　腮丽‘　２０１３年２月　案例点评　材　法　数学教学，少点“套’’，多点“探’’　——对课堂中师生“答”与“问”的感悟　⑩浙江省诸暨市湄池中学　王伟英　一、案例回顾　Ｉ　２２＋３　，　｛２　＞３　，解得　了　＜、／　．　教师：（展示问题）　Ｉ　ｚ＋３２＞２ｚ．　所以，　的取值范围为（、／了，、／　）．　学生：为什么在钝角三角形中要检验“两角之和大于　第三边”这一构成三角形的条件，而在锐角三角形中没有　（１）已知钝角三角形的三边分别为ａ＝ｋ，ｂ＝ｋ＋２，ｃ　＋　４，求ｋ的取值范围．　（２）已知锐角三角形的三边分别为ａ＝２，ｂ＝３，ｃ　，求ｋ　的取值范围．　考虑呢？如果仿照（１）解法对（２）进行求解，结果是一致　的，过程为：当　≤３时，则２慨＞３，即　＞１，此时ｂ为最大边，　解：（１）三角形两边之和大于第三边，因为ｃ＞ｂ＞ａ，得　尼＋（后＋２）＞｜ｊ｝＋４，解得ｋ＞２．　则最大角Ｂ为锐角，根据余弦定理ｃｏｓＢ＞０，解得　＞、／　，　故、／了　≤３．　当ｘ＞３时，则２＋３　，￣ｌｌｘ＜５，此时Ｃ为最大边，则最大角　又因为ＡＡＢＣ为钝角三角形，所以Ｃ为钝角，由余弦　定理得ｃｏｓＣ＜０，解得一２＜ｋ＜６．　故ｋ的取值范围为（２，６）．　（２）法１：当　≤３时，此时ｂ为最大边，则最大角曰为锐　ｃ为锐角，根据余弦定理ｃｏｓＣ＞０，解得　＜、／　，故３　＜　、／　．　角，根据余弦定理及ｃｏｓＢ＞０，解得　、／了，故、／了　≤３．　当ｘ＞３时，此时ｃ为最大边，则最大角ｃ为锐角，根据余　综上所述，　的取值范围为（、／了，、／　）．　您一直强调，对于图形问题要先保证图形的存在性，　这题是你忘记检验还是锐角三角形中根本就不需要检　弦定理ｃｏｓＣ＞０，解得　＜、／　，故３　＜、／再．　综上所述，　的取值范围为（、／了，、／　）．　法２：由题意，三角形中的每个角都是锐角，则有　验？和两个向量夹角是锐角求范围相比，此处为什么不去　掉ｃｏｓＣ＃１呢？　因为ＬＰＦＡ∈（０，盯），ＬＰＦＢ∈（０，啊），所以ＬＰＦＡ＝　Ｐ　Ｂ．　切线，设其交点为　证明ＦＭ・ＡＢ为定值．　＋——０　推论：在阿基米德三角形　ＡＢＰ中，若弦ＡＢ过抛物线焦点　Ｆ，则　上Ａ　．　例４如图６，设抛物线Ｃ：　Ｂ　分析：根据ＡＦ＝ＡＦＢ（Ａ＞Ｏ），可知点Ａ，Ｆ，Ｂ三点共线，　即抛物线的弦４　过焦点，，，故由性质５的推论可知　上　｝　ＡＢ，所以ＦＭ・ＡＢ＝Ｏ．　值得注意的是阿基米德三角形还有其他许多性质，　这里限于篇幅恕不展开，另外椭圆与双曲线中也具有许　图６　ｙ＝ｘ　的焦点为，，动点Ｐ在直线ｆ：　ｘ－ｙ一２＝０上运动，过Ｐ作抛物线ｃ　的两条切线ＰＡ、ＰＢ，且与抛物线Ｃ分别相切于Ａ、Ｂ两点．　多相似的性质，有兴趣的读者可继续探究．　参考文献：　１．吴跃生．再谈抛物线的阿基米德三角形的性质［Ｊ］．　数学通讯，１９９９（８）．　（１）求ＡＡＰＢ的重心Ｇ的轨迹方程．　（２）证明　ＰＦＡ＝　诏．　说明：本文命制背景实际上就是上面性质５的证明．　例５　已知抛物线　：＝４ｙ的焦点为Ｆ，Ａ、　是抛物线上　——　———２．王学凤，刘晓锐．悄然兴起的阿基米德５－．角形［Ｊ］．　高中数学教与学，２００９（５）．一　＋　的两动点，且ＡＦ＝ＡＦＢ（Ａ＞Ｏ）．过Ａ、Ｂ两点分别作抛物线的　高中版中’？擞’？　鞠　麓