第六章 样本及抽样分布
§1总体与样本
从理论上讲，对随机变量进行大量的观测，被研究的随机变量的概率特征一定能显现出来，可是实际进行的观测次数只能是有限的，有时甚至是少量的。因此，我们关心的问题就是怎样有效地利用收集到的有限的资料，尽可能地对被研究的随机变量的概率特征作出精确而可靠的结论．
我们把被研究的对象的全体称为总体（或母体），而把组成总体的各个元素称为个体。代表总体的指标是一个随机变量
，所以总体就是指某个随机变量
可能取的值的全体。
从总体中抽取一个个体，就是对代表总体的随机变量进行一次试验（或观测），得到的一个试验数据（或观测值）。从总体中抽取一部分个体，就是对随机变量进行若干次试验（观测）。
从总体中抽取若干个个体的过程称为抽样。抽样结果得到的一组试验数据（观测值），称为样本（或子样）；样本中所含个体的数量称为样本容量。 从总体中抽取样本，一般总是假设满足下述两个条件：
（1）随机性 为了使样本具有充分的代表性，抽样必须是随机的，应使总体中的每一个个体都有同等的机会被抽取到，通常可以用编号抽签的方法或利用随机数表来实现。
（2）独立性 各次抽样必须是相互独立的，即每次抽样的结果既不影响其它各次抽样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响。
这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样，由此得到的样本称为简单随机样本。 例如，从总体中进行放回抽样，显然是简单随机抽样，得到的样本就是简单随机样本。 从有限总体（即其中只含有有限多个个体的总体）中，进行不放回抽样，虽然不是简单随机抽样，但是若总体容量很大而样本容量较小(，则可以近似地看作是放回抽样，因而也就可以近似地看作是简单随机抽样，得到的样本可以近似地看作是简单随机样本。
今后，凡是提到抽样与样本，都是指简单随机抽样与简单随机样本。
从总体中抽取容量为n的样本，就是对代表总体的随机变量随机地、独立地进行n次试验（观测），每次试验的结果可以看作是一个随机变量，n次试验的结果就是n个随机变量
。
这些随机变量相互独立，并且与总体服从相同的分布。设得到的样本观测值分别是
，
则可以认为抽样的结果是n个相互独立的事件
发生了。
若将样本
(1 当总体
看作是一个维随机变量
，则样本
，则
是离散型随机变量，若记其分布律为
的分布律为
；
(2当总体
是连续型随机变量,且具有概率密度函数
率密度为
。
时，样本 的联合概
§3样本函数与统计量
为了通过对样本观测值的整理、分析、研究，对总体
考虑各种适用的样本函数
因为一组样本
的某些概率特征作出推断，往往需要
。
可以看作是一个维随机变量，所以任何样本函数
都是维随机变量的函数，显然也是随机变量。根据样本
的观测值
计算得到的函数值
测值。
定义 若样本函数
中不含有任何未知参数，则称这类样本函数为统计量。
数理统计中最常用的统计量及其观测值有：
就是样本函数
的观
（1）.样本均值
它的观测值记为
（2）.样本方差
它的观测值记为
（3）.样本标准差
它的观测值记为
（4）.样本k 阶原点矩 ，，
它的观测值记为 ，
显然，样本的一阶原点矩就是样本均值。
（5）.样本k阶中心矩 ，，
它的观测值记为
显然，样本一阶中心矩恒等于零。
，
§4抽样分布
统计量的分布称为抽样分布。本节介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布。 一、三个重要分布
为了讨论正态总体下的抽样分布，先引入由正态分布导出的统计量中的三个重要分布，即1.
分布，分布，分布 设
是来自总体
的样本，则称统计量
分布。
服从自由度为的分布，记为
。
分布的概率密度为
的图形如下：
分布的可加性 设
，
，并且
，
独立，则
分布的数学期望和方差 若
，则有
，
分布的分位点 定义 设有分布函数
，对给定的
，若有
则称点
当
为
的上有概率密度
分位点。
时，上式可写成
由上述定义得
分布的上
分位点为
2. 分布 设
，
，且
独立，则称随机变量
服从自由度为的分布，记为
分布的概率密度函数为
。分布又称为学生氏（student）分布。
，
的图形关于
对称，当充分大时，其图形类似于标准正态变量概率密度的图形。
分布的分位点 对于给定的
，称满足条件
的点为分布的上
分位点。
由分布上
分位点的定义及
图形的对称性知
。
在
时，对于常用的
的值，就用正态近似：
。
3．分布
设
，
，且
独立，则称随机变量
服从自由度为
的
分布，记为
。
的概率密度为
的图形
由定义可知，若，则 。 （ 18）
分布的分位点 对于给定的
，称满足条件
的点
为
分布的上
分位点。
容易证明等式：
二、正态总体统计量分布
假设
是来自正态总体
分布。样本均值与样本方差分别是
的样本， 即它们是独立同分布的，皆服从
，。
定理1 设总体服从正态分布，则，即
。
定理2 设总体（1）样本均值
服从正态分布与样本方差
，则
相互独立；
（2）统计量服从自由度为的分布，即
【例1】 吴书p.148.例1。
设
是来自
的样本，则统计量
【例2】 吴书p.148.例2。
设记
是来自
，
是来自
的两个独立样本，
，，，
，
则统计量
，，
【例3】 吴书p.149.例3。
（续上例）记
，
则
注 若两个正态分布的方差
与
不等，则统计量
本节所介绍的几个分布以及几个重要结论，在下面各章中都起着重要的作用。应注意，它们都是在总体为正态这一基本假定下得到的。
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