一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位。其中一元二次方程的应用也是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型。
经典例题
知识点1一元二次方程应用题的八种类型
类型一 增长率问题
例题1随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ） A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
类型二 传播问题（病毒传播、细胞分裂）
例题2某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000
个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．
（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
（2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？
例题2某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有
81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几
台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
类型三 计数问题
例题1某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条
航线，则这个航空公司共有飞机场（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
例题2 某市体育局要组织一次蓝球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)
计划安排28场比赛，问应邀请多少支球队参加比赛？
类型四 数字问题
例题1一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5，把十位上的数字与个位上数字互换
后再乘以原数得736，求原来两位数。
类型五 一元二次方程与一元一次方程的综合应用问题
例题 某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金10.89万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数
递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．
（1）求A品牌产销线2018年的销售量；
（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数
类型六 一元二次方程与一元一次方程组的综合问题
例题1 青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
类型七 一元二次方程与一次函数的综合问题
例题1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示。
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系； （2）若该经营部希望日均获利1350元，则销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，日均获利最多？最多为多少元？
类型八 一元二次方程与不等式的综合问题
例题1为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720
万元．
（1）求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率； （2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a万元，请求出a的取值范围．
知识点2 用一元二次方程解决营销问题
类型一 营销利润问题
例题1 某百货大楼服装柜在销售中发现：‘宝乐’牌童装进价为60元，当售价为100元时，
每天可售出20件。为了迎接‘十•一’国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装的售价应定为多少元？
例题2某百货大楼服装柜在销售中发现：‘宝乐’牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接‘十•一’国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？
例题2某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且
两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
类型二 营销策划问题 例题3 2013
年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，
房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元． （1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
例题4某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
知识点3 用一元二次方程解几何问题
类型一 规则图形的应用
例题1 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为则可列方程为
米，
A． B．
C． D．
2.若等腰梯形的面积为160cm2，上底比高长4cm，下底比高长20cm，则这个梯形的
高为（ ）
A、8cm B、20cm C、8cm或20cm D、以上都不对
3. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20cm2 的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm
例题2如图所示，在Rt△ABC中．∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4cm2． （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm． （3）在（1）中△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
例题3如图是由三个边长分别为
6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将
它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A. 1或9 B. 3或5 C. 4或6 D. 3或6
例题4在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2． （1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
例题5如图，一块长
5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹
17. 80（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
知识点4 列可化为一元二次方程的分式方程解应用题
类型一 采购问题
例题1某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元．问第二次采购玩具多少件？ （说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）
类型二 营销问题
例题1 商场销售某种商品，今年四月份销售了若干件，共获毛利润3万元（每件商品毛利
润=每件商品的销售价格一每件商品的成本价格）．五月份商场在成本价格不变的情况下，把这种商品的每件销售价降低了4元，但销售量比四月增加了500件，从而所获毛利润比四月份增加了2千元．问调价前，销售每件商品的毛利润是多少元？
类型三 行程问题
例题1从甲站到乙站有150千米,一列快车和一列慢车同时从甲站开出,1小时后,快车在慢车
前12千米,快车到达乙站比慢车早25分钟.快车和慢车每小时各走几千米?
类型四 工程问题
例题1随着铁路客运量的不断增长，重庆火车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，
该火车站从去年开始启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
1. （2011山东）如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点E、F，BE⊥DF交DF的延长线于E，已知∠A=30du3,BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ） A.23 B.33 C.4 D.43 2.如图 ，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F。 （1）求证：△ABF≌△ECF；
（3）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形。
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