卷分析
许昌市____九年级数学上册期中重点试题(含答案解析) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（） A．_﹣y2=1 B．2_+1=0 C． D． 2．若（_+1）2﹣1=0，则_的值等于（） A．±1 B．±2 C．0或2 D．0或﹣2
3．一元二次方程_2﹣4_+5=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．一元二次方程_2+2 _﹣6=0的根是（）
A．_1=_2= B．_1=0，_2=﹣2 C．_1= ，_2=﹣3 D．_1=﹣ ，_2=3
5．关于_的一元二次方程_2﹣5_+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（） A．4 B．0或2 C．1 D．﹣1
6．已知关于_的一元二次方程（k﹣1）_2﹣2_+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1
7．用配方法解方程_2﹣2_﹣1=0，配方后所得方程为（） A．（_+1）2=0 B．（_﹣1）2=0 C．（_+1）2=2 D．（_﹣1）2=2 8．已知一元二次方程_2﹣6_+c=0有一个根为2，则另一根为（） A．2 B．3 C．4 D．8
9．方程_2﹣8_+12=0的两个根是等腰三角形的腰和底，则这个三角形的周长为（）
A．10 B．10或14 C．14 D．不能确定
10．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植_株，则可以列出的方程是（）
A．（3+_）（4﹣0.5_）=15 B．（_+3）（4+0.5_）=15 C．（_+4）（3﹣0.5_）=15 D．（_+1）（4﹣0.5_）=15
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．当m=时，关于_的方程（_﹣2） +2_+6=0是一元二次方程． 12．一元二次方程（a+1）_2﹣a_+a2﹣1=0的一个根为0，则a=． 13．方程_2﹣3_+2=0的根是．
14．若关于_的方程_2+（k﹣2）_+k2=0的两根互为倒数，则k=．
15．关于_的方程_2﹣2_+k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围． 16．分式 中，_取任意实数，分式都有意义，则c的取值范围是：． 17．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成了正方形，则原矩形的长是米．
18．某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，设这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率为_，根据题意可列方程为．
三、解方程：（每小题15分，共15分） 19．（15分）解方程：
（1）_2﹣2_﹣8=0（用配方法解方程） （2）3_（_﹣2）=2（2﹣_） （3）（_﹣6）2=（2_﹣6）2． 四、解答题：（5小题，共51分）
20．已知：实数_满足（_2+_）2﹣（_2+_）﹣6=0，求：代数式_2+_+5的值． 21．（10分）已知关于_的一元二次方程_2+k_﹣3=0
（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．
22．（10分）一间会议室，它的地面是长方形的，长为40米，宽为30米，现在准备在会议室地面的中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相等，而且地毯的面积是会议室地面面积的一半，则地面上未铺地毯的部分宽度是多少米？ 23．（10分）某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样
宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？
24．（12分）某水果商以2元/千克的价格，购进一批苹果，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了尽快减少库存，商户决定降价销售，经调查：每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天要上交管理费24元，若水果商每天欲得盈利200元，则应将苹果每千克售价降低多少元？
许昌市____九年级数学上册期中重点试题(含答案解析)参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（） A．_﹣y2=1 B．2_+1=0 C． D． 考点： 一元二次方程的定义．
分析： 根据只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．
解答： 解：A、方程含有两个未知数，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、不是整式方程，故此选项错误；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确． 故选：D．
点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．若（_+1）2﹣1=0，则_的值等于（） A．±1 B．±2 C．0或2 D．0或﹣2 考点： 解一元二次方程-直接开平方法． 专题： 整体思想．
分析： 先移项，写成（_+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答． 解答： 解：移项得，（_+1）2=1， 开方得，_+1=±1，
解得_1=0，_2=﹣2．故选D．
点评： （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：_2=a（a≥0）；a_2=b（a，b同号且a≠0）；（_+a）2=b（b≥0）；a（_+b）2=c（a，c同号且a≠0）． 法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 3．一元二次方程_2﹣4_+5=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 考点： 根的判别式．
分析： 把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．
解答： 解：∵a=1，b=﹣4，c=5， ∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4_1_5=﹣4＜0， 所以原方程没有实数根． 故选：D．
点评： 本题考查了一元二次方程a_2+b_+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 4．一元二次方程_2+2 _﹣6=0的根是（）
A．_1=_2= B．_1=0，_2=﹣2 C．_1= ，_2=﹣3 D．_1=﹣ ，_2=3 考点： 解一元二次方程-公式法． 专题： 计算题．
分析： 找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据_= ，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解． 解答： 解：∵a=1，b=2 ，c=﹣6 ∴_= = = =﹣ ±2 ，
∴_1= ，_2=﹣3 ； 故选：C．
点评： 此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
5．关于_的一元二次方程_2﹣5_+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（） A．4 B．0或2 C．1 D．﹣1 考点： 一元二次方程的解．
分析： 本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解． 解答： 解：∵_=1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得p2﹣2p+1=0，解此方程得到p=1．故本题选C．
点评： 本题逆用一元二次方程解的定义易得出p的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，此题二次项系数是1，不用考虑．因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
6．已知关于_的一元二次方程（k﹣1）_2﹣2_+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义． 专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
解答： 解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0， 解得：k＜2，且k≠1． 故选：D．
点评： 此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
7．用配方法解方程_2﹣2_﹣1=0，配方后所得方程为（）
A．（_+1）2=0 B．（_﹣1）2=0 C．（_+1）2=2 D．（_﹣1）2=2 考点： 解一元二次方程-配方法． 专题： 计算题．
分析： 先把常数项1移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到（_﹣1）2=2． 解答： 解：_2﹣2_=1， _2﹣2_+1=2， （_﹣1）2=2． 故选D．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（_+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 8．已知一元二次方程_2﹣6_+c=0有一个根为2，则另一根为（） A．2 B．3 C．4 D．8 考点： 根与系数的关系． 专题： 计算题．
分析： 利用根与系数的关系来求方程的另一根． 解答： 解：设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=4． 故选C．
点评： 本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：_1，_2是方程_2+p_+q=0的两根时，_1+_2=﹣p，_1_2=q，反过来可得p=﹣（_1+_2），q=_1_2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
9．方程_2﹣8_+12=0的两个根是等腰三角形的腰和底，则这个三角形的周长为（）
A．10 B．10或14 C．14 D．不能确定
考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 分析： 先解方程求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系
定理，求出答案即可． 解答： 解：_2﹣8_+12=0， 解方程得：_=6或2，
①当等腰三角形的三边为2，2，6时，不符合三角形三边关系定理，此时等腰三角形不存在；
②当等腰三角形的三边为2，6，6时，符合三角形三边关系定理，此时等腰三角形的周长为2+6+6=14； 故选C．
点评： 本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，能求出符合三角形三边关系定理的三边长是解此题的关键． 10．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植_株，则可以列出的方程是（）
A．（3+_）（4﹣0.5_）=15 B．（_+3）（4+0.5_）=15 C．（_+4）（3﹣0.5_）=15 D．（_+1）（4﹣0.5_）=15
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 销售问题．
分析： 根据已知假设每盆花苗增加_株，则每盆花苗有（_+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5_）元，由题意得（_+3）（4﹣0.5_）=15即可． 解答： 解：设每盆应该多植_株，由题意得 （3+_）（4﹣0.5_）=15， 故选：A．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数_平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．当m= ±2 时，关于_的方程（_﹣2） +2_+6=0是一元二次方程． 考点： 一元二次方程的定义．
分析： 根据一元二次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
解答： 解：∵方程（_﹣2） +2_+6=0是一元二次方程， ∴m2﹣2=2，解得m=±2． 故答案为：±2．
点评： 本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键． 12．一元二次方程（a+1）_2﹣a_+a2﹣1=0的一个根为0，则a= 1 ． 考点： 一元二次方程的定义． 专题： 计算题；待定系数法．
分析： 根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
解答： 解：∵一元二次方程（a+1）_2﹣a_+a2﹣1=0的一个根为0， ∴a+1≠0且a2﹣1=0， ∴a=1． 故答案为：1．
点评： 本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为a_2+b_+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．
13．方程_2﹣3_+2=0的根是 1或2 ． 考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 因式分解．
分析： 由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解． 解答： 解：因式分解得，（_﹣1）（_﹣2）=0， 解得_1=1，_2=2． 故答案为：1或2．
点评： 本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，
要会灵活运用．
14．若关于_的方程_2+（k﹣2）_+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ． 考点： 根与系数的关系． 专题： 判别式法．
分析： 根据已知和根与系数的关系_1_2= 得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值． 解答： 解：∵_1_2=k2，两根互为倒数， ∴k2=1， 解得k=1或﹣1；
∵方程有两个实数根，△＞0， ∴当k=1时，△＜0，舍去， 故k的值为﹣1． 故答案为：﹣1．
点评： 本题考查了根与系数的关系，根据_1，_2是关于_的一元二次方程a_2+b_+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则_1+_2=﹣ ，_1_2= 进行求解．
15．关于_的方程_2﹣2_+k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围 k＜1 ．
考点： 根的判别式．
分析： 关于_的方程_2﹣2_+k=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于k的不等式，从而求得k的范围． 解答： 解：∵a=1，b=﹣2，c=k，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4_1_k=4﹣4k＞0， 解得：k＜1．
点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根．
16．分式 中，_取任意实数，分式都有意义，则c的取值范围是： c＞1 ． 考点： 分式有意义的条件． 分析： 分式有意义，分母不等于零． 解答： 解：依题意得：_2+2_+c≠0， 令y=_2+2_+c，
因为抛物线开口方向向上，则该抛物线与_轴无交点时，_取任意实数，y＞0， 则△=4﹣4c＜0， 解得c＞1． 故答案是：c＞1．
点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义?分母为零； （2）分式有意义?分母不为零；
（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
17．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成了正方形，则原矩形的长是 12 米． 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 几何图形问题．
分析： 根据“如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可． 解答： 解：∵长减少2m，菜地就变成正方形， ∴设原菜地的长为_米，则宽为（_﹣2）米， 根据题意得：_（_﹣2）=120， 解得：_=12或_=﹣10（舍去）， 故答案为：12．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
18．某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，设这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率为_，根据题意可
列方程为 3000（1+_）2=3630 ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程． 专题： 增长率问题．
分析： 等量关系为：9月份净化污水吨数=7月份净化污水吨数_（1+平均每月增长的百分率）2，把相关数值代入即可求解．
解答： 解：∵7月份净化污水3000吨，平均每月增长的百分率为_， ∴8月份净化污水3000_（1+_），
∴9月份净化污水3000_（1+_）_（1+_）=3000_（1+_）2， ∴可列方程为：3000（1+_）2=3630， 故答案为：3000（1+_）2=3630．
点评： 本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为_，则经过两次变化后的数量关系为a（1±_）2=b．得到9月份净化污水吨数的等量关系是解决本题的关键． 三、解方程：（每小题15分，共15分）
19．（15分）（____秋?许昌县校级月考）解方程： （1）_2﹣2_﹣8=0（用配方法解方程） （2）3_（_﹣2）=2（2﹣_） （3）（_﹣6）2=（2_﹣6）2．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
分析： （1）先把常数项移到等号的右边，然后进行配方，进而得到方程的根； （2）方程提取公因式（_﹣2），进而得到（_﹣2）（3_﹣2）=0，解两个一元一次方程即可；
（3）利用平方差公式得到[（_﹣6）+（2_﹣6）][（_﹣6）﹣（2_﹣6）]=0，整理后得到_（_﹣4）=0，解方程即可求解． 解答： 解：（1）∵_2﹣2_﹣8=0， ∴_2﹣2_=8， ∴_2﹣2_+1=8+1， ∴（_﹣1）2=9，
∴_﹣1=±3， ∴_1=4，_2=﹣2；
（2）∵3_（_﹣2）=2（2﹣_） ∴3_（_﹣2）+2（_﹣2）=0， ∴（_﹣2）（3_﹣2）=0， ∴_﹣2=0或3_﹣2=0， ∴_1=2，_2= ；
（3）∵（_﹣6）2=（2_﹣6）2，
∴[（_﹣6）+（2_﹣6）][（_﹣6）﹣（2_﹣6）]=0， ∴﹣_（3_﹣12）=0， ∴_（_﹣4）=0， ∴_1=0，_2=4．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 四、解答题：（5小题，共51分）
20．已知：实数_满足（_2+_）2﹣（_2+_）﹣6=0，求：代数式_2+_+5的值． 考点： 换元法解一元二次方程．
分析： 设_2+_=t，则由原方程得到关于t的一元二次方程，通过解该方程得到_2+_的值；然后将其代入所求的代数式进行求值． 解答： 解：设_2+_=t，则 t2﹣t﹣6=0， 整理，得
（t﹣3）（t+2）=0， 解得t=3或t=﹣2（舍去）， 即_2+_=3，
所以_2+_+5=3+5=8，即_2+_+5的值为8．
点评： 本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
21．（10分）已知关于_的一元二次方程_2+k_﹣3=0
（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程． 考点： 根的判别式；解一元二次方程-配方法．
分析： （1）先进行判别式得到△=k2+12，再根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）代入k的值得出一元二次方程，用配方法解方程即可． 解答： （1）证明：△=k2+12， ∵k2≥0， ∴k2+12＞0，
∴不论k为何实数，方程总会有两个不相等的实数根； （2）当k=2时，方程为_2+2_﹣3=0， _2+2_+1=1+3 （_+1）2=4 _+1=±2 _1=1，_2=﹣3．
点评： 本题考查了一元二次方程a_2+b_+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及利用配方法解一元二次方程．
22．（10分）一间会议室，它的地面是长方形的，长为40米，宽为30米，现在准备在会议室地面的中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相等，而且地毯的面积是会议室地面面积的一半，则地面上未铺地毯的部分宽度是多少米？ 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 几何图形问题．
分析： 等量关系为：地毯的长_地毯的宽=会议室面积的一半，把相关数值代入求得合适的解即可．
解答： 解：设地面上未铺地毯的部分宽度是_米． （40﹣2_）（35﹣2_）= _40_30，
解得_1=30（不合题意，舍去），_2=5． ∴_=5．
答：地面上未铺地毯的部分宽度是5米．
点评： 考查一元二次方程的应用；得到地毯的边长是解决本题的易错点；得到地毯面积的等量关系是解决本题的关键．
23．（10分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？ 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 几何图形问题．
分析： 设道路的宽为_m，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2_）m，宽为（20﹣_）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2_）（20﹣_）=6_78． 解答： 解：设道路的宽为_m，由题意得： （30﹣2_）（20﹣_）=6_78， 解得_=2或_=﹣16（舍去）， 答：通道应设计成2米．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
24．（12分）某水果商以2元/千克的价格，购进一批苹果，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了尽快减少库存，商户决定降价销售，经调查：每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天要上交管理费24元，若水果商每天欲得盈利200元，则应将苹果每千克售价降低多少元？ 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 销售问题．
分析： 设应将水果售价降低_元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣_），由于这种水果每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价_元，则每天售出数量为：200+ 千克．本题的等量关系为：每千克的利润_每天售出数量﹣固定成本=200． 解答： 解：设应将水果售价降低_元．
根据题意，得[（3﹣2）﹣_]（200+ ）﹣24=200． 原式可化为：50_2﹣25_+3=0， 解这个方程，得_1=0.2，_2=0.3．
因为购买成本不超过600元，_=0.3不符合题意，舍去， 故_=0.2．
答：应将水果售价降低0.2元．
点评： 本题考查理解题意的能力，关键是求出每千克的利润，求出总销售量，从而得到利润．根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
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