考点26 基本不等式-高考全攻略之备战2019年高考数学(文)考点一遍过

基本不等式：

abab(a0,b0) 2（1）了解基本不等式的证明过程.

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

一、基本不等式 1．基本不等式：abab 2（1）基本不等式成立的条件：a0,b0. （2）等号成立的条件，当且仅当ab时取等号． 2．算术平均数与几何平均数

设a0,b0，则a、b的算术平均数为的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题

（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当xy时，x＋y有最小值是2P.(简记：积定和最小)

ab，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数2P2（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

44．常用结论

（1）ab2ab(a,bR) （2）

22ba2(a,b同号) abab2)(a,bR) 2（3）ab(ab2a2b2（4）()(a,bR)

22（5）2(ab)(ab)(a,bR)

222a2b2(ab)2（6）ab(a,bR)

24a2b2ab2ab(a0,b0)（7）1122ab二、基本不等式在实际中的应用

1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； 2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及yaxb(a0, xb0)等．

解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．

考向一 利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值的常用技巧：

（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．

（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项

对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项

目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数

有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式

相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.

（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.

典例1 若正数a，b满足A．1 C．9 【答案】B

【解析】解法一：因为

1119的最小值为 1，则aba1b1B．6 D．16

11(b−1)=1， 1，所以a＋b=ab⇒(a−1)·

ab所以

191942=2×3=6(当且仅当a，b=4时取“=”). a1b1a1b13故

19的最小值为6. a1b1

解法三：因为

111， 1，所以b1aba1所以

199(b1)296(当且仅当b=4时取“=”)． a1b1b1故

19的最小值为6. a1b1【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

1．（1）已知x51，求函数y4x1的最大值； 44x5（2）已知x,yR*(正实数集)，且

191，求xy的最小值． xy考向二 基本不等式的实际应用

有关函数最值的实际问题的解题技巧：

（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．

（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.

典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（修和消耗费用为，即

是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维

设备使用的年数．

(设备单价设备维修和消耗费用）

（1）求关于的函数关系式； （2）当

，

时，求这种设备的最佳更新年限．

（2）由（1）可知，当

，

时，

y500500t112500225500500t50050021515500， tt.

当且仅当

答：这种设备的最佳更新年限为15年．

【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过

相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型axb2ab(a0,b0,x0)上靠拢. x

2．要制作一个体积为9m3，高为1m的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？

考向三 基本不等式的综合应用

基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：

（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．

（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.

典例3 下列不等式一定成立的是 A．lg(x2)lgx(x0) C．x12|x|(xR) 【答案】C

【解析】对于A：x2对于B：sinx2214B．sinxD．

12(xk,kZ) sinx11(xR) x21111x(当x时，x2x)，A不正确； 424112(sinx(0,1])，sinx2(sinx[1,0))，B不正确； sinxsinx2对于C：x2|x|1(|x|1)0(xR)，C正确； 对于D：故选C.

【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.

1(0,1](xR)，D不正确. 2x1

224xy1m恒成立,则m的最大值为 3．设正实数x,y满足x,y1,不等式

2y12x1A．22 C．8

B．42 D．16

典例4 设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S20176051，则

14的最小值为______． a4a2014【答案】

3 2

【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

4．已知函数ylogaxm2n2恒过定点3,2，其中a0且a1，m,n均为正数，则的最小值是_____________.

11m12n

1．函数yxA．1(x0)取得最小值时，x的值为 4xB．

1 21 2C．1

2．已知a,b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是 A．a+b≥2C．|+|≥2 3．

A． C．

4．已知x,y,z为正实数，则

（

）的最大值为

D．2

B．+≥2 D．a2+b2>2ab

B． D．

xyyz的最大值为

x2y2z2B．

A．23 52 24 52 3C．D．

5．若正实数a，b满足ab1，则 A．

11有最大值4 ab1 4B．ab有最大值

C．ab有最小值

D．a2b2有最小值2 26．高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第层楼时,上下楼造成的不满意度为,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室应在楼 A． C．

B． D．

7．若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值范围是

A．(-∞,-8]∪[0,+∞) C．[-8,4)

8．若对任意正数x，不等式A．1

B．(-∞,-4) D．(-∞,-8]

1a恒成立，则实数a的最小值为 x21xB．2 C．2 2D．

1 29．已知x1，y1，且log2x，

A．最小值2 C．最大值2

1，log2y成等比数列，则xy有 4

B．最小值2 D．最大值2

，则

的最小值为

10．如图，在△ABC中，点

是线段上两个动点，且

A． C． 11．已知正实数

A．2 C．

12．在锐角△ABC中，

的最小值为 A．4 C．6 13．函数

最小值为

B．5 D．7

的图象恒过定点，若定点在直线

上，则

的

为角

所对的边，且

满足

当

B． D． 取最小值时，

B． D．

，若

，则

的最大值为

A．13 C．16

B．14 D．12

14．已知满足，的最大值为，若正数

B． D．

满足，则的最小值为

A．9 C． 15．当x>0时，f(x)2x的最大值为 . x21=

,当

时,函数

16．已知函数=

gx的最小值为 . fx取得最小值时，

_ ．

17．在公比为的正项等比数列中，,则当

18．已知

,,则

的最小值为 .

19．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机

器运转时间x(单位：年)的关系为yx18x25(xN)，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

20．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括

保养费和维修费两部分.每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为：第一年1.2万元，第二年1.6万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增. (1)求该系统使用n年的总费用(包括购买设备的费用)；

(2)求该系统使用多少年报废最合算(即该系统使用多少年平均费用最少).

2*21．已知函数

(1)若(2)当

,求当

).

时函数的最小值;

时,函数有最大值-3,求实数的值.

22．(1)设x,y是正实数,且2x+y=4,求lg x+lg y的最大值.

(2)若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),求(a+1)(b+2)的最小值.

23．已知在△ABC中，，，分别为角，，所对的边长，且

（1）求角的值； （2）若

，求

的取值范围．

．

1．（2017山东文科）若直线

xy1(a＞0，b＞0)过点(1,2),则2a+b的最小值为___________． aba2．（2018天津文科）已知a,bR，且a3b60，则21的最小值为 . b83．（2015重庆文科）设a,b>0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为___________．

4．（2015天津文科）已知a0,b0,ab8, 则当a的值为___________时，log2alog22b取得最大值. 5．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为

4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是___________．

6．（2018江苏）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，ABC120，ABC的平分线交AC于点

D，且BD1，则4ac的最小值为___________．

变式拓展 1．【解析】（1）

x5，4x50，故54x0, 4y4x11154x4.

4x554x54x1254x54x12,

54xy242，

当且仅当54x13，即x1或x（舍去）时，等号成立， 54x2故当x1时，ymax2.

2．【解析】设该长方体的容器长为xm，则宽为则y9102x9m，又设该容器的造价为y元， x991510019010x， xx因为x9992x6（当且仅当x即x3时取“=”）， xxx所以ymin250．

答：该容器长为3米时，容器的总造价最低，为250元． 3．【答案】C

4．【答案】

4 3【解析】由题意得：3﹣m﹣2n=1，故m+2n=2，即（m+1）+2n=3， 故

1111112nm1222nm14=（+++1）≥+=， ）[（m+1）+2n]=（1+m12n3m12n3m12n33m12n34． 3当且仅当m+1=2n时“=”成立，故填

考点冲关 1．【答案】B 【解析】 x0,x112x1， 4x4x当且仅当x2．【答案】C

11时取等号,此时x，故选B. 4x2【解析】当a,b都是负数时,A不成立； 当a,b一正一负时,B不成立； 当a=b时,D不成立， 因此只有选项C是正确的. 3．【答案】B 【解析】∵

，∴

，

∴3aa6（

3aa69，当且仅当

22，即时等号成立，

∴

4．【答案】C

）的最大值为．故选B．

【解析】由题意可得：x22121y2xy,z2y22yz， 2222结合不等式的性质有：xyz2xyyz，

当且仅当xzxyyz22， y时等号成立，即2xy2z222所以

xyyz2的最大值为. 2222xyz【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值. 5．【答案】B

6．【答案】B

【解析】由题意知同学们总的不满意度当且仅当

,即

时,不满意度最小,

,

则同学们认为最适宜的教室应在3楼,故选B． 7．【答案】D

9x4xx43+4=0得4+a==-(3+)≤【解析】由9+(4+a)·23x=-4,即a≤-8, x33x

x

当且仅当3=2时等号成立. 8．【答案】D

【解析】由题意可得a由于

x

x恒成立． 2x1x1x11x1（当且仅当时取等号），故的最大值为， 221x12x1x2x11，即a的最小值为，故选D． 22a9．【答案】A

10．【答案】D

【解析】易知x，y均为正，设

共线，

，

，

则

，

，

141141y4x1y4x9xy552， xy2xy2xy2xy2当且仅当

y4x24，即x,y时等号成立. 33xy则的最小值为，故选D．

11．【答案】C

【解析】根据题意，

ca2ab4b2a4b12413， ，所以ababba时取等号，

，

当且仅当所以当

，即

时取得最大值，故选C．

12．【答案】C

13．【答案】D 【解析】函数

时，函数

的图象恒过定点

的值恒为， ，

又点在直线上，，

又当且仅当则

时取“=”，

，故选D．

，

的最小值为

14．【答案】B

【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示：

15．【答案】1

【解析】∵x>0，∴f(x)2x221， 21x1x2x当且仅当x16．【答案】

1，即x=1时取等号． x

gx3x22x13x13x13x1===(, 【解析】由题意可得当且仅当12131fx22x22x22x2x即x3时取等号).

31 417．【答案】

【解析】2a2a622a42222当且仅当aq4q42q82，4222qqq时取得最小值，

则18．【答案】

，故答案为.

【解析】因为a＞b＞0,ab=1，所以a-b＞0,

22ab2abab2所以ab2ababab2ab2=

ab

当且仅当19．【答案】5 8

时取等号,故答案为.

【解析】每台机器运转x年的年平均利润为

y2518(x)， xx而x>0，故

y182258， x当且仅当x=5时等号成立，

此时年平均利润最大，最大值为8万元．

21．【解析】(1)

因为

,所以

时,yx,

11x11. x1x1所以yx1当且仅当x1所以当

112x11,即x1x1113, x1时取等号,

时函数的最小值为3.

22．【解析】(1)因为x>0,y>0,所以由基本不等式得≥,

因为2x+y=4,所以≤2,所以xy≤2,当且仅当2x=y时,等号成立,

2xy4x1 ,解得, 由2xyy2所以当x=1,y=2时,xy取得最大值2, 所以lg x+lg y=lg(xy)≤lg 2,

当且仅当x=1,y=2时,lg x+lg y取得最大值lg 2. (2)因为ab-4a-b+1=0,所以b=所以

(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+因为a>1,所以a-1>0. 所以原式=6(a-1)+

+15≥2

+15=27.

×2+1=6a+

+1=6a+8+

+1=6(a-1)+

+15.

,ab=4a+b-1.

2

当且仅当(a-1)=1,即a=2时等号成立.

故所求最小值为27.

23．【解析】（1）依题意由正弦定理可得：

则

.

又

．

. .

，

（2）由余弦定理知：

（当且仅当，

又故

，

的取值范围是

．

时成立），

直通高考 1．【答案】8

【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式． 2．【答案】

【解析】由可知，且，

因为对于任意x，当且仅当

恒成立，结合基本不等式的结论可得：，即

时等号成立.

.

综上可得的最小值为.

【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ①a,bR,a2b22ab，当且仅当ab时取等号；

②a,bR，ab2ab，当且仅当ab时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 3．【答案】32

4．【答案】4

log2alog22b1122log2ablog164,当a2b时取等【解析】log2alog22b222442号,结合a0,b0,ab8,可得a4,b2. 5．【答案】30

【解析】总费用为4x成立．

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 6．【答案】9

【解析】由题意可知，

,由角平分线性质和三角形面积公式得

60090090064(x)42900240，当且仅当x，即x30时等号

xxx，化简得，

因此当且仅当

时取等号，则

的最小值为.