知识归纳：函数应用题的几种常见模型 (2)

函数应用题的几种常见模型

函数应用题主要有以下几种常见模型： 1、一次函数模型

例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？

分析：每月所赚的钱=卖报收入的总价—付给报社的总价。而收入的总数分为三部分：①在卖出400份的20天里，收入为0.5x20；②在可卖出250份的10天里在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为0.525010；③没有卖掉的(x250)份报纸可退回报社，报社付出(x250)0.0810的钱。注意写出函数式的定义域。

解：设每天应从报社买x份，易知250x400。设每月赚y元，得：

y0.5x200.525010(x250)0.08100.35x30

0.3x1050,x[250,400]

因为y0.3x1050在其定义域上为增函数，

所以，当x400时，每月所获的利润最大，最大值为ymax12010501170（元）。

答：每天应从报社买进400份，才能使每月所获的利润最大，每月可赚1170元。

评注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长,即为增函数，一次项系数为负时为减函数。

2、二次函数模型

例2某工厂生产的商品A，若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政

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府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商品A征收附加税率为p%时，每年销售额将减少10p万件。据此，试问：

（1）若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元，求p的范围； （2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时p的值。 分析：将税务部门对商品A征收的税金表示出来，注意考虑一些实际情况。 解：（1）设每年征收的税金为y万元，则y80(8010p)p%，

p0由题意得：8010p0，

80(8010p)p%96解之得：2p6。 所以，p的范围是[2,6]。

p0（2）由题意知：，

8010p00p8，

由y80(8010p)p%8(p4)2128，

当p4时，ymax128。

答：当税率为4%时，税务部门获得最高税金128万元。

评注：在第二问即二次函数求最值问题，一定要注意隐含条件8010p0。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。

3、指数函数模型

例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：

（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系； （2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；

（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；

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（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年增长率应该控制在多少？

分析：本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律。

解：（1）1年后该城市人口总数为：

y1001001.2%100(11.2%)，

2年后该城市人口总数为：

y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2， 3年后该城市人口总数为：

y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3，

x年后该城市人口总数为： y100(11.2%)x。

（2）10年以后该城市人口总数为：y100(11.2%)10112.7（万）。 （3）设x年以后该城市人口将达到120万人， 即100(11.2%)x120， xlog1.0121.215（年）。

（4）设年增长率为x，依题意有：100(1x)20120， 即(1x)201.2，

由计算器计算得：1x1.009， x0.0090.9%，

即年增长率应控制在0.9%以内。

评注：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。通常可以表示为

yN(1p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为 时间)的形式。

4、分段函数模型

例4通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间

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的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越大），经过实验分析得知：

t224t100,0t10, f(t)240,10t207t380,20t40（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？ （2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

分析：对于分段函数，分别求出f(t)各段中的最大值，通过比较就可以求出

f(t)的最大值。

解：（1）当0t10时，f(t)t224t100(t12)2244是增函数，且f(10)240。

当20t40时，f(t)7t380是减函数，且f(20)240。 所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟。 （2）f(5)195,f(25)205，

所以，讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中。 （3）当0t10时，令f(t)t224t100180，则t4。 当20t40时，令f(t)7t380180，则t28.57。

所以，学生的注意力在180以上所持续的时间28.57424.5724。 所以，经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。 评注：对于一些较复杂的问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题，需先后或年同时构造、利用几个函数模型，即分段函数模型方可。

5、幂函数模型

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例5在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其强度

I与电线半径r的三次方成正比。

（1）写出函数解析式；

（2）若电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，求电流通过半径为r毫米的电线时，其电流强度的表达式；

（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为5毫米，计算该电流的强度。 解：（1）Ikr3（k为常数）。 （2）由（1）知：320k43， 解得：k5。

所以，电流通过半径为r毫米的电线时，其电流强度的表达式为I5r3。 （3）由（2）中电流强度的表达式，将r5代入得：I553625安。 评注：本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题，关键是分清各个量的物理意义及相关关系。

6、对数函数模型

例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2氧量。

（1）计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解：（1）由题意，当燕子静止时，它的速度v0， 所以，05log2O， 10O，单位是m/s，其中O表示燕子的耗10解得：O10个单位。 （2）由耗氧量是O80得：

v5log2805log2815(m/s)。 10 5 / 5