含causal算子分数阶非线性微分方程的拟线性方法

线性方法

2012正 第32卷第1期 河北大学(自然科学版)

JournalofHebeiUniversity(NaturalScienceEdition) 2O12 Vo1.32NO.1

含causal算子分数阶非线性微分方程的拟线性方法 王培光,李志芳

(1.河北大学电子信息工程学院,河北保定071002;2.河北大学数学与计算机学院,河北保定071002)

摘要:采用拟线性化方法讨论了含causal算子的分数阶非线性微分方程初值问题,通过构造2个单调

迭代序列,证明了它们一致且平方收敛于给出问题的解. 关键词:拟线性方法;causal算子;分数阶微分方程;平方收敛

中图分类号:O175.1文献标志码:A文章编号:1000—1565(2012)01—0001—06 Quasilinearizati0nforsolutionofnonlinearcausal fractionaldifferentialequations WANGPei—guang.LIZhi-fang.

(1.CollegeofElectronicandInformationEngineering,HebeiUniversity,Baoding071002,China;

2.CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity,Baoding071002,China)

Abstract:Byusingthequasilinearizationmethodforcausalfractionaldifferentialequations,theau—

thorsconstructtWOmonotonesequences,thenprovethattheybothconvergeuniformlyandquadratically

tothesolutionofthegivenproblem.

Keywords:quasilinearizationmethod;causaloperator;fractionaldifferentialequations;quadraticcon— vergence MSC2010:34A34

在非线性微分方程解的定性问题的研究中,拟线性化方法得到了广泛的使用口].由于含causal算子微

分方程系统模型可描述现实世界的许多问题,因而引起了人们的广泛关注.文献[2]利用上下解结合单调

迭代方法,给出了一类一致收敛于含causal算子微分方程解的迭代序列.近年来分数阶微分方程引起了人

们的广泛关注[3].然而关于用拟线性化方法研究含causal算子分数阶微分方程初值解的结果并未见到.

本文将利用拟线性化方法对含causal算子的分数阶非线性微分系统两项和的初值问题(简称IVP)

D(￡)一(Qu)()+(Pu)(≠),(O)一0(1)

进行研究,得到解的一致且平方收敛的结果.这里Q,P:E—E是连续causal算子,Dq是Caputo分数阶导

数,0<q<1,E—C(J×R,R)和t∈J—Eo,T]. 收稿日期:2011一O9～21

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10971045);河北省自然科学基金资助项目(A2009000151)

第一作者:王培光(1963--),男,黑龙江哈尔滨人,河北大学教授,博士生导师,主要从事微分方程与控制理论方面的研究 E-mail:pgwang@hbu.edu.cn ?2?河北大学(自然科学版)第32卷 1预备知识

利用下面定义和引理证明主要定理.

定义1如果对于E—cEJ×R,R]中每对元素(z,),使z(s)一(s),有()(￡)一()(￡),其中0≤

S≤￡,t<T,T是任意正实数,则称Q:E—E是Causal算子. 式(1)等价的Volterra分数阶积分方程咖为 (f)一乱.+J.(一s)(()(+(P)(), 其中I1是Gamma函数.

定义2考虑初值问题式(1),若a,∈cq[J,R],满足 Da(￡)≤(()(￡)+(j9)(￡),a(O)≤o, D(￡)≥()(￡)+(Pa)(),卢(0)≥o,

则称a,I9分别是式(1)的耦合下解和耦和上解.

引理1E.若,训∈[.厂,R]分别是式(1)的耦合下解和耦合上解,且(f)≤叫(),t∈J和Q,P∈

[Q,R],其中Q一[(￡,z):()≤z≤叫(￡),t∈刀,则存在式(1)的唯一解z()满足()≤z(￡)≤(t), t∈J.

引理2E设,叫∈[.厂,R],Q∈cEJ×R.,R],若Dqv(t)≤Q(t,硼,叫),D(￡)≥Q(t,,口), Q(t,zl,Y1)一Q(t,z2,Y2)≥一L[(l—2)+(1一Y2)],L≥0,

其中Q是causal算子,zl≥.Tg2,Y1≥Y2,且(O)≤叫(O),则有()≤(),t∈J.

证明设一+￡E(3),一一￡E(3),其中E口(3Lt)表示的0<q<1阶导数,￡>0是 任意小的实数,则有叫.>叫,<和叫.(O)>硼(0)>(O).由已知条件可得 D0(￡)=D(f)一3Eq(3Lt)≤Q(￡,硼,∞)一3Eg(3Lt)≤ Q(￡,,硼.)+E.(3)一3kE(3.)≤ Q(￡,0,0)+2LsE(3Lt)一3kE(3Lt)< Q(f,0,硼o). 同理可得

D.(￡)一D.叫(￡)+3E(3)≥Q(,,)+3工￡E(3Lt)≥ Q(f,,)一LeE口(3)+3LsE(3Lt)≥ Q(t,0,)一2LeE(3Lt)+3E(3Lt.)>

Q(￡,,0).

下面证明(t)<硼.(￡),t∈J.假设不然,则存在to∈(O,明使0(.)一Wo(),7-)0(￡)<.(￡),0≤t<to

成立,由此可得D.(.)≥D训.(￡.),则进一步有

Q(￡,叫o(o),硼0())>D0()≥D硼0(￡o)>Q(,(),Vo()), 此不等式与

Q(,训o(￡o),o(￡o))一Q(￡,Vo(),0(o))

矛盾,其中()一砌.(.).因此(￡)<叫.(￡),t∈J成立.

在()一eE(3Lt)一0(￡)<叫0(￡)一硼(￡)+eE(3Lt)中令e一0,则有(￡)≤硼(),t∈.,.证毕.

引理3对于Caputo线性分数阶微分方程 D\":,lu+(Qu)(t),\"(0)一0,

第1期王培光等:含Causal算子分数阶非线性微分方程的拟线性方法?3? 其中Q∈CqEJ,R],且对q为H~lder连续,其唯一解 (￡)一\"oEq()+I(￡一s)q-Eq,((一s)q)(Qu)(s)ds,t∈J, 其中 Eq(∑k=l ,㈤一

分别是含1个参数和2个参数的Mittag—Leffler方程. 2主要结果

定理1假设下列条件成立:

(A)口.,∈Cq[J,R],a.(￡)≤(￡),t∈J,满足 Dao(￡)≤(邸o)(￡)+(邱o)(), D‰(￡)≥(Qo)(￡)+(Pao)();

(A2)Q,P∈C[Q,R],Frechet导数Qf,P,Q和P存在,连续且满足()(￡)≥0,(P)(￡)≤0,(￡,) ∈Q.

(A3)()()≤0和(P)(￡)≤0,(￡,)∈n,

则存在2个单调序列{a}和{)一致且平方收敛于式(1)的唯一解.

证明由(QU)(t)≥0,(PU)(￡)≤0,对U≥有下列不等式成立 (Qu)()≤(Q)()+(Q)(\"一)(￡),(2) (P\")()≤()(￡)+(P)(\"一)(f).(3)

对于任意的口.(￡)≤\".≤U≤(￡),t∈J;Q,P满足

L(u1一U2)≥(1)(￡)一(Qu2)()≥一L(u1一z),L>0,(4) L(u1一U2)≥(P1)(￡)一(P2)(￡)≥一L(u1一U2).(5) 考虑下面初值问题 fDqu(￡)一F(,ao,;)一

{(qo)(￡)+(Qo)(一)(f)+(P卢o)()+(Pao)(一)(￡),(6) I【\"(0)一U0; rD(￡)一G(t,a0,;)一

{(.)(￡)+(Q.)(一口.)()+(Pa0)(￡)+(Pa.)(\"一ao)(￡),(7) I【v(0)一\"o,

其中口.(O)≤M.≤(0). 由不等式(2),(3)和(A)可知

D口o(￡)≤(0)(￡)+(邱o)()三F(t,a0,;);

Do()≥(Qo)(￡)+(Pao)()≥(邸o)()+(Q.po)(ao一)(f)+ (邱o)(￡)+(Pao)(口.一)(￡)兰F(t,a,;口o);

D.ao(￡)≤(q9o)(￡)+(o)(￡)≤(o)(￡)+(Qo)(J岛一口o)(￡)+ (o)()+(Qao)(一口o)(￡)三G(t,Olo,;) Do(￡)≥(.)(￡)+(Pao)(￡)三G(t,口o,;a0).

由于(Q)()≤0和(P)()≤0,可得F(t,口.,;)和G(t,a.,;\")分别对于和是非增的.由引 理1可知式(6)和(7)存在唯一解(n,),满足ao≤a,≤,t∈J. ?4?河北大学(自然科学版)第32卷 即

Da1(￡)一F(,口o,;); DI91(￡)一G(,口o,;口1). 由不等式(2)和(3)可得

D(a)(￡)一(邸o)(￡)+(Qo)(J91一)(z)+(邱o)(￡)+(PO/o)(p?一po)≤

(邸1)()+(Qo)(一)()+(Qo)(o)(￡)+

(邱)(￡)+(P卢)(一卢)(￡)+(Pao)(p一)(￡)一 (.)(￡)+(邱)(￡)+[(P)()一(Pao)()]('一)(￡)≤ (Q81)()+(邱1)();

D1()=(Q.)()+(Q.)(a1一a.)()+(.)()+(Pa0)(口1一O/o)(￡)≥ (1)(￡)+(Qa1)(a0一a1)(￡)+(Qo)(a1一ao)(￡)十 (1)()+(P口o)(口.一a1)(￡)+(Pao)(口1一ao)()一 ()(￡)+()(￡)+[(Qj9.)()一(Qa1)(￡)](a.一a.)(t)≥ (Q1)(￡)+(1)().

因为(Q\")(￡)关于\"是非减的,(P)(￡)关于乱是非增的,因此应用引理2,可得a(￡)≤(￡),t∈J即

d.(￡)≤a()≤()≤(￡),t∈J.(8) 考虑下面一组初值问题 D(￡)一F(￡,a1,;),(0)一0,(9) D(￡)一G(￡,口l,;),口(O)一o,(10) 可推出下列不等式

D1(￡)≤(1)()+(邱1)(￡)三F(t,a1,;); D()≥()()+()()≥(邸)()+(Q1)(al一)(￡)+

(邱1)(￡)+(P口1)(口1一)(￡)三F(t,口1,;口1); D()≤()(￡)+(邱)(￡)≤(邸)()+(Q-)(一口t)(￡)+ (1)(￡)+(Pa)(一a1)()三 G(t,口1,;);

D1(￡)≥(1)(￡)+(1)(￡)兰G(t,口1,;口1).

由引理1可知式(9)和式(10)存在唯一解az,使a.≤a.,』92≤,t∈J成立.同样由于 D.a2()≤(q}92)(￡)+(邱2)(); D2()≥(2)(￡)+(2)().

则应用引理2可得口.()≤(￡),t∈J.综上可知 O/0≤a≤口2≤≤≤, 如此继续下去,可得

ao≤O/1≤z≤…≤a≤≤…≤≤≤,(11)

其中单调序列{a(￡)),{(￡))是下列线性方程初值问题 Da井1()一F(t,口,;1),O~rH-1(O)=Uo,(12) D井1()=G(t,a,;口计1),+l(0)=o(13)

的解.综上所述很容易得知{a(f)),{(￡))序列一致收敛于式(1)的唯一解.

下面证明收敛速度是2次的.为了证明收敛速度是2次,设P(￡):()一a(￡),(￡)一()一(￡),

其中\"()是式(1)的唯一解.利用a,的定义,中值定理以及(A),有

第1期王培光等:含causal算子分数阶非线性微分方程的拟线性方法?5? DP()=D()一Da(￡)一

(Q)()+(Pu)()一r-(邸,广)()+(Q,r)(一)(f)+ (,r)()+(P口)(一)(￡)]一 一

(Q)q一1()一(Pa)q~-l(￡)一(Q1)[q一q1]()一 (Pa1)Eq一q,r1](￡)≤

[(Q口1)(￡)一(Q甜)(￡)]g,广(￡)+ [(尸d,r)()一(P)()]q,r()+响(￡)=

(Q1)q1()一(P1)[q,广1+1]g,r1()+Mq(￡)≤ (N+3N)

ql(￡)+(￡)+Mq(t), 即

cDqp.(￡)≤Mq()+(N1+导N2)gl()+N2z(￡),(14)

其中<,<,a<<g-,U<<,I(Q)(￡)I≤M,I(P)(f)I≤M2,l(Q)()I≤ N,l(PU)(￡)I≤N2和M—M1+M2. 同理,

Dq(￡)一D(t)一DU()=

(Q1)(￡)+(Q,r1)(口一a1)(f)+(1)(f)+ (Pa,r1)(口一a1)()一(Q)(￡)一(Pu)()一 (Q)(口,r1一)()+(P)(口1一)()+

(Q1)(口一a1)(￡)+(Pa1)(口一Olin-1)(￡)一 一

(Q)1(￡)一(Pa)P~-i()+(Q,r1)P~-I(￡)一 (Q1)(￡)+(Pa,r1)P~-I(￡)一(P口,r1)(￡)一 [一(Q)()+(Q)(￡)](￡)+[一(P)(￡)+ (P口1)()]p1()一(Q1)p()一(P口1)()≤

[(Q口1)(￡)一(Qa)()]乡(￡)+E(P口)()一(P)(￡)]p,广()一 [(Q.)()+(P口,r)()]户()一

(Q1)(1一口1)p,r1(￡)一(P)户l(￡)一 [(Q)(￡)+(Pa)()](),

其中a,广1<,<,a,r1<1<l,a1<口1<.但

(Q1)(一1一口,r1)(￡)一(Q)[q,rl+夕]p(￡)≤N1E-}p~1()+专q,r2(￡)]. 因此

cDqq.(￡)≤Mp()+(N.+3N)户()+q,r 2(￡),(15)

其中M,N,N就是前面定义的常数.可以把不等式(14)和不等式(15)写成矢量的形式Dr≤Arn+

其一(),A一(;7o111/1,B一,gn,,1N2N1+3NzN2+3N1N,应用引理3,把Br看作强迫项给出

≤(￡)≤r(￡一s)r.r.(A(t0E—s)).Br1(s)ds≤≤r(￡)≤l(￡一s)?.(A(一s))?Br1(s)≤J0 .6.河北大学(自然科学版)第32卷 令L一~----

BE,(AT1\"BE(AT)可以得到令一 口, )可以得到 定理证毕. 参考文献: T . q

Bma ,

xIrl()IEq,(ATa),￡∈.,. 口J

maxIr(￡)I≤LmaxIrn--1(￡)I. J

I-1-1LAKSHMIKANTHAMV,VATSALAAS.Generalizedquasmnearizationfornonlinearproblems[M].Dordrecht:Klu— werAcademicPublishers,1998.

1-23LAKSHMIKANTHAMV,LEELAS,DRICIZahiaetc.Theoryofcausaldifferentialequations[M].WorldScientific: AtlantisPress,2009.

[3]GENGFengjie.Differentialequationsinvolvingcausaloperatorswithnonlinearperiodicboundaryconditions[J].Mathe—

maticalandComputerModelling,2008,48,859—866.

[4]JANKOWSKIT.Boundaryvalueproblemswithcausaloperators[J].NonlinearAnalysis,2008,68:3625—3632.

Es]DIETHELMK,FORDNJ.Analysisoffractionaldifferentialequations[J].AnalAppl,2002,265(2):229—248.

[63CAPUTOM.LinearmodelsofdissipationwhoseQisalmostindependent[J].GeophysJRAstron,1967,13(5):529—539.

[7]VASNUDHARADEVIJ,MCREAFA,DRICIZ.Generaizedquasilinearizationforfractionaldifferentialequations[J].

CompMathAppl,2010,59(3):1057—1062.

[83VASNUDHARADEVIJ,SUSEELACH.Quasilinearizationforfractionaldifferentialequations[J].Communicationsin AppliedAnalysis,2008,12(4):407—418.

[9]VASNUDHARADEVIJ.GeneralizedmonotonemethodforperiodicboundaryvalueproblemsofCaputofractionaldiffer—

Ⅱ

entialequations[J].CommunicationsinAppliedAnalysis,2008,12(4),399—406. [1O]王培光,高玮.集值微分方程初值问题的拟线性化方法[J].河北大学:自然科学版,2011,31(1):1—6.

WANGPeiguang,GAOWei.Quasilinearizationofinitialvalueproblemforsetdifferentialequati0ns[J]JournalofHebei

University:NaturalScienceEdition,2011,31(1):1—6. (责任编辑:王兰英)