北京市第二中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题(解析版)

一、单选题

2x,x>01．已知fx=，则f2+f2的值为（ ）

fx+1,x0A．2 【答案】C

B．4 C．5 D．6

【分析】利用函数fx的解析式，计算出f2、f2的值，即可得解.

2【详解】由题意可得f224，f2f1f0f11，

因此，f2f2415. 故选：C.

2．若函数f(x)3ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是（ ） A．a1 5B．a1或a1 5C．1a1 5D．a1

【答案】B

【分析】由零点存在定理求解．

【详解】因为函数单调，根据函数零点的性质知，f1与f1一正一负，且f(1)a1，

f(1)5a1

a10a101所以或，解得a或a1，

55a105a10故选B.

【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题．

3．函数y2sin(x)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是

A．y2sin(2x)

4C．y2sin(x3) 8πB．y2sin(2x)

4x7D．y2sin()

216【答案】B

【分析】由图知A＝2，

T＝2kπ（k∈Z）即可求，可求得ω＝2，再由ω+ 2228T5， 2882得，从而可得此函数的解析式． 【详解】由图知A＝2，∴T＝π， ∴ω2＝2kπ（k∈Z）2．又ω+ ，

T28（k∈Z），

284∴函数的解析式是y＝2sin（2x+2kπ）＝2sin（2x）．

44∴＝2kπ2＝2kπ故选B．

）的部分图象确定其解析式，确定的值是关键，【点睛】本题考查由y＝Asin（ωx+ 也是难点，属于中档题．

4．设双曲的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 A．2 【答案】D

B．3 C．31 2D．51 2x2y2【分析】设该双曲线方程为22（得点B（0，b），焦点为F（c，0），1a＞0，b＞0），abb直线FB的斜率为,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形

c整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.

【详解】

bx2y2设该双曲线方程为22（可得它的渐近线方程为yx，焦点为F1a＞0，b＞0），aab0bb， （c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为kFBc0c∵直线FB与直线yb2ac,

bbbx互相垂直，1,

caab2c2a2，c2a2ac,

e2e10,

e15, 2双曲线的离心率e＞1， ∴e=51,故选D. 2【解析】双曲线的简单性质

5．已知xln，ylog52，

ze2，则

1A．xyz 【答案】D

B．zxy C．zyx D．yzx

111111，ze21，所以yzx，【详解】xln1，ylog52，log252ee2选D.

6．函数f(x)loga(6ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是（ ） A．(0,1) C．(1,3] 【答案】B

【分析】由条件利用对数函数的性质，复合函数的单调性，可得a的不等式组，由此求得a的范围．

【详解】解：由函数f(x)loga(6ax)在0,2上为减函数， 可得函数t6ax在0,2上大于零，且t为减函数，且a1，

B．(1,3) D．[3,)

a1故有，求得1a3，

62a0故选：B．

【点睛】易错点睛：该题考查了复合函数单调性相关知识，同时也考查了对数函数定义域的要求，而同学们在做题时常常丢掉定义域的限制条件，属于易错题型．考虑复合函数的单调性需遵循原则“同增异减”，即内层函数和外层函数单调性相异时，符合函数才会单调减，作为对数的底，所以有a0，所以内层函数单调减，所以外层函数必须单调增，故a1，还需保证真数在定义域上恒大与0，只需保证正数部分最小值大于0即可．

7．在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a2b23bc,sinC23sinB，

则角A为 A．30 【答案】A

【详解】试题分析：

因为sinC23sinBc23b， 那么结合a2b23bca26b2，

B．60

C．120

D．150

c2b2a23=所以cosA=，

2cb2所以A=300，故答案为A 【解析】正弦定理与余弦定理

点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题. 8．对任意的锐角,，下列不等关系中正确的是（ ） A．sin()sinsin C．cos()sinsin 【答案】D

【分析】根据锐角三角函数值的范围结合两角和差公式判断A、B；令15，结合倍角公式检验判断C；根据三角函数的单调性判断D. sin1,0cos、cos1 【详解】若,为锐角，则0sin、sin()sincoscossin1sin1sinsinsin，A错误； sin()sincoscossin1cos1coscoscos，B错误；

B．sin()coscos D．cos()coscos

332令15，则cos()cos300，即cos()

42∵cos3012sin215∴sinsinC错误；

令fcos()

2323 ，则sin215243os(4sin21523且sinsin0，则c4)nsinsi，

π∵(0,π)，则f在(0,)上单调递减，则ff0

2∴cos()cos

又∵cos0，则cos()coscos，D正确； 故选：D.

9．已知函数f(x)asinxbcosx（a、b为常数，a0,xR）在xπ处取得最小值，43π则函数yfx是（ ）

4A．奇函数且它的图象关于点(π,0)对称

3πB．奇函数且它的图象关于点,0对称

2D．偶函数且它的图象关于点(π,0)对称

3πC．偶函数且它的图象关于点,0对称

2【答案】A

3π【分析】由题意先求出f(x)的最简形式，即可得到函数yfx，再根据三角函

4数性质对选项逐一判断

【详解】f(x)asinxbcosxa2b2sin(x)，其中

sinba2b2,cosaa2b2，

若f(x)在x所以

π处取得最小值，则sin()1，

44π3π5π2kπ,kZ即2kπ,kZ，

4425π5π2kπ)a2b2sin(x)， 4422所以f(x)absin(x所以f(3π3π5πx)a2b2sin(x)a2b2sin(x)a2b2sinx， 4443πx)是奇函数，且图象关于点(π,0)对称． 4可得函数f(故选：A

10．设x1,x2,x3,x4,x5是1，2，3，4，5的一个排列，若xixi1xi1xi20对一切i{1,2,3}恒成立，就称该排列是“交替”的．“交替”的排列的数目是（ ）

A．16 【答案】C

B．24 C．32 D．40

【分析】由“交替”数列的定义得需满足x1x2，x2>x3，x3x4，x4>x5或

x1>x2，x2x3，x3>x4，x4x5，分别讨论x2,x4的取值可得选项.

【详解】由已知得：当i1时，x1x2x2x30，当i=2时，x2x3x3x40，当i3时，x3x4x4x50，

所以“交替”数列需满足，x1x2，x2>x3，x3x4，x4>x5或x1>x2，x2x3，x3>x4，x4x5， 当x1x2，x2>x3，x3x4，x4>x5时，

x2,x4取最大的两个数4和5时，x1，x3，x5取1，2，3的全排列，所以共有的“交替”数

3列为A22A312个；

x2,x4取3和5时，先取与3相邻的数只能1和2，待与3相邻的数取定后，与5相邻的

22数只能是4，所以共有的“交替”数列为A2A24个，

所以满足x1x2，x2>x3，x3x4，x4>x5的“交替”数列共有12+416个； 同理，满足x1>x2，x2x3，x3>x4，x4x5的“交替”数列有16个， 所以“交替”的排列的数目是32， 故选：C

二、填空题

11．设(2x1)6a6x6a5x5【答案】364

【分析】利用赋值法计算可得

665【详解】因为(2x1)=a6x+a5x+a1xa0，则a1a3a5__________．（用数字作答）

+a1x+a0，

令x=1，则1=a0+a1++a5+a6①，

+a4a5+a6②，

令x=1，则729=a0a1+∴①－②得2a1+a3+a5=728， 所以a1+a3+a5=364， 故答案为：364

12．已知A，B是抛物线C:y24x上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则直线AB的方程为__________． 【答案】y=x

【分析】先由题意判断得x1x2，再由点差法求得从而利用点斜式即可求得直线AB的方程. 【详解】依题意，设A(x1,y1),B(x2,y2)，

若x1x2，则直线AB:x2，由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为2,0，显然不符合题意，故x1x2，

因为A，B是抛物线C:y24x上的两点，

y1y24，由此得到kAB=1，x1x2y1y2y12=4x1y1y2422yy4x4x所以2，两式相减得，1， 212，整理得xxyyy=4x121222因为线段AB的中点为M(2,2)， y1y22，即y1y24， 2y1y24k又AB，所以kAB1， x1x24所以

所以直线AB的方程为y2x2，即y=x. 故答案为：y=x.

13．设定义在R上的函数fx同时满足以下条件：①fxf(x)0；

x②fxf(x2)；③当0x1时，fx21，则

1ff(1)23ff(2)25f________. 2【答案】21

【分析】由题得函数fx为奇函数且周期为2，再根据函数的奇偶性和周期求解. 【详解】依题意知：函数fx为奇函数且周期为2， 则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f10.

135∴ff(1)ff(2)f

222111f0ff(0)f

222111fff(0)f

2221ff(0)

221201

1221

故答案为：21.

**14．数列an中，a12,apqapaqp,qN，记bm为an中在区间(0,m]mN中

的项的个数，则数列bm的前127项和S127__________． 【答案】642

【分析】令p1,qn，则an12an，确定数列an是等比数列，求出通项公式，然后分析bm的取值情况可求解.

【详解】由题意，令p1,qn，则an12an， 所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，

n所以an2，nN ,

依题意，

当m=1时，b10， 当1m3时，bm1， 当3m7时，bm2， 当7m15时，bm3， 当15m31时，bm4， 当31m63时，bm5， 当63m127时，bm6， 所以S127b1b2b127b1(b2b3)(b4b5b6b7)(b64b127)

0122438416532664642.

故答案为:642.

15．已知定义域为0,的函数yfx满足：对任意x0,，恒有f2x2 fx成立；当x1,2时，fx2x，给出如下结论：

m①对任意mZ，都有f20；

②函数yfx的值域为0,；

n③存在nZ，使得f219；

④“函数yfx在区间a,b上是严格减函数”的充要条件是“存在kZ，使得(a,b)2k,2k1”.

其中所有正确结论的序号是__________ 【答案】①②④

【解析】根据函数递推关系计算f(2m)，判断①．求出x(1,2]时，函数的值域，然后

n由递推关系确定函数在(0,)上的值域，判断②④．解方程f219判断③．

【详解】①由题意f(2)220，又f2x2 fx，∴f(22)2f(2)，

f(23)2f(22)22f(2)，依此类推可得f(2m)2m1f(2)0，mN*，

1f(2)0，m是负整数时，设mk,kN*，2111111f(2k)f(k)f(k1)k1f()kf(1)0，∴mZ时，f(2m)0，

222222f(1)①正确；

2x)2f(x)②x(1,2]，f(x)2x[0,1)，又f(x(2n,2n1]时，f(x)2nf(2,4]，当x(x 时，f(x)2f()[0,2)，

2x)[0,2n)，∴x1时，f(x)的值域是n2[0,1)[0,2)[0,2n)[0,)，

111又x(,1]时，f(x)f(2x)[0,)，依此类推0x1时，都有f(x)0，

222综上f(x)在(0,)上的值域是[0,)．②正确；

③当n0且nZ时，f(2n1)2(2n1)12n1，不可能等于9，

n111nnnn当nN*时，f21f21n2f(1n)221n219，

2222n10，与nZ矛盾．③错误；

④根据函数上面的推导知f(x)在(2n,2n1]上单调递减，f(2n1)0，nZ，因此函数

yfx在区间a,b上是严格减函数的充要条件是存在kZ，使得(a,b)2k,2k1，

④正确．

故答案为：①②④．

【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的定义，考查函数的单调性与值域，分段函数值的计算．关键在求函数的值域．我们在x1时，通过函数性质f(2x)2f(x)得出f(x)在(2n,2n1]的值域是[0,2n)，然后由这无数的集合求并集得出x1时函数值的取值范围．

三、解答题

16．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核． (1)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；

(2)考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈，设选出的3人中男

员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；

(3)考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为s1，s2，试比较s1与s2的大小．（只需写出结论） 【答案】(1)男员工抽取3人，女员工抽取2人 9(2)分布列见解析，数学期望为

52(3)s12s2

2222

【分析】（1）求出男员工与女员工的人数比，从而利用分层抽样求出抽取的5人中男、女员工的人数；（2）求出X的可能取值及对应的概率，求出分布列，数学期望；（3）计算出这5名员工笔试成绩与考核成绩的平均值，进而求出s1，s2，比较出大小. 【详解】(1)男员工与女员工的人数比例为27:183:2，所以抽取的5人中男员工的人数为5323人，女员工人数为52人， 323222(2)X的可能取值为1,2,3，

221C1C3C3C23313C23PX13，PX23，PX33，

C510C55C510所以X的分布列为： X P 1 2 3 310 35 110

数学期望为EX3639 105105(3)设这5名员工笔试成绩的平均数为x1考核成绩的平均数为x22788589929688，

595881021069998，

5222278888588898892889688所以s21538，

s21959888981029810698999852222238

22所以s1s2.

17．若存在△ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题： (1)求A的大小； (2)求cosB和a的值. 条件①：sinC33； 14条件②：ba1；

5条件③：bcosA；

2条件④：a7c. 3【答案】(1)见解析； (2)见解析.

【分析】若选择①②④：

(1)由正弦定理可得sinA的值，结合ba1，可求0A(2)由题意可得ac，可得0C2，即可得解A的值；

2，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，

利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式可求cosB，进而可求sinB，利用正弦定理即可求解a的值． 若选择①③④：

5(1)利用正弦定理可得sinA的值，由于bcosA，可得范围A，即可求解A的

22值；

(2)由题意利用大边对大角可求0C2，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的

5值，利用两角和的余弦公式可求cosB，进而可求sinB，由于bcosA，可求b的值，

2根据正弦定理可得a．

【详解】(1)共有①②③、①②④、①③④、②③④四种选法，

根据条件②可知b＞a，B＞A，则A为锐角；根据条件③可知cosA＜0，A为钝角； 故②和③不能同时选择，故仅可选①②④或①③④. 若选择①②④： ∵a7asinC333c，sinC，由正弦定理可得sinA，

c2314∵ba1，∴ab，可得0A若选择①③④：

2，可得A3．

∵a7asinC333c，sinC，由正弦定理可得sinA，

c231452在ABC中，∵bcosA，∴A，∴A．

223(2)若选择①②④： 在ABC中，a∵sinC7c，∴ac，∴0C， 3213332，可得cosC1sinC，

14143331131， 2142147∴cosBcos[(AC)]cos(AC)sinAsinCcosAcosC∴sinB1cos2B43， 7433由正弦定理可得7，可得7b8a，

2ba∵ba1，∴a7． 若选择①③④： 在ABC中，∵a∵sinC7c，∴ac，∴0C， 3213332，可得cosC1sinC，

141433311311， 21421414∴cosBcos[(AC)]cos(AC)sinAsinCcosAcosC∴sinB1cos2B53， 145bsinA5∵bcosA，∴b25，由正弦定理可得a1sinB2218．设f(x)exsinx函数. (Ⅰ)求函数f(x)单调递增区间；

(Ⅱ)当x[0,]时，求函数f(x)的最大值和最小值.

332【答案】（Ⅰ）[2k,2k]kz；（Ⅱ）e4，0

4423527． 5314x【详解】试题分析：（Ⅰ）因为通过对函数f(x)exsinx求导可得f'(x)2esin(x)，

4所以要求函数f(x)的单调递增区间即要满足f'(x)0，即解sin(x)0可得x的范围.

4本小题要处理好两个关键点：三角的化一公式；解三角不等式. （Ⅱ）因为由（Ⅰ）可得函数f(x)在上[2k所以可得x[0,4,2k3],kZ递增，又因为x0,,433]是单调增区间，x[,]是单调减区间.从而可求结论. 44试题解析：（Ⅰ）f(x)ex(sinxcosx)

2exsin(x)

4f(x)0,sin(x)0.

42kx42k,即2k3x2k, 44f(x)单调区间为[2k4,2k3],kZ 4（Ⅱ）x0,,由知（Ⅰ）知，x[0,323f(0)0,f()0,f()e4,

4233]是单调增区间，x[,]是单调减区间 44所以,

【解析】1.函数的导数解决单调性问题.2.区间限制的最值问题.3.解三角不等式.

x2y2219．已知椭圆C:221ab0的离心率为，短轴长为4；

ab2(1)求C的方程；

(2)过点P3,0作两条相互垂直的直线上l1和l2，直线l1与C相交于两个不同点A，B，在线段AB上取点Q，满足

AQAP ，直线l2交y轴于点R，求PQR面积的最小值．QBPB【答案】(1)(2)1.

x28y241；

c2b【分析】（1）由题可得2b4,e1，即得；

aa221t2（2）由题可设l1的方程为xty3，利用韦达定理法可得PQ，进而可得

3tPR31t2，然后利用面积公式及基本不等式即求.

c2b【详解】(1)由题可得2b4,e1， a2a∴a22,b2， ∴椭圆C的方程为

2x28y241；

(2)由题可知直线l1的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为xty3，

Ax1,y1,Bx2,y2,Qx0,y0，

xty322由x2y2，可得t2y6ty10，

14811222由36t4t232t80，可得t，或t，

22∴y1y26t1,y1y22， t2t22AQAPy0y1y1， 由及P,A,Q,B四点共线，知

y2y0y2QBPB222y1y21t2， ∴y06ty1y23t2t21t2则PQ1ty0，

3t21∵l1和l2相互垂直，则l2的方程为xy3，令x0，得y3t，

t12∴R0,3t，PR13t31t，

t111t21t2112PQRSPQPR31tt∴面积为1， 223t2t2t当且仅当t11，即t1等号成立， t22所以PQR面积的最小值为1.

220．已知函数fxaxx，gxblnx，且曲线fx与gx在x1处有相同的切

线.

（Ⅰ）求实数a,b的值；

（Ⅱ）求证：fxgx在0,上恒成立；

n（Ⅲ）当n6,时，求方程fxxngx在区间1,e内实根的个数.

【答案】(Ⅰ)a1,b1；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)2. 【详解】（Ⅰ）∵f1a1，g10，f1g1， ∴a1.

∵fx2ax1，gxb， x∴f12a1，g1b. ∵f1g1，即2a1b， ∴b1.

2（Ⅱ）证明：设uxfxgxxxlnxx0，

ux2x112x1x1. xx令ux0，则有x1.

当x变化时，ux,ux的变化情况如下表：

∴uxu10，即fxgx在0,上恒成立.

2n（Ⅲ）设hxngxfxxnlnxx，其中x1,e，

2n2n2xx22n. hx2xxx令hx，则有x2n. 2当x变化时，hx,hx的变化情况如下表：

2nnnhxhln1 3ln310. ∴极大值222henn2e2nnennen，

xx设txxe，其中x6,，则tx1e0，

∴tx在6,内单调递减，txt60，

n∴xex，故he0，而h11.

结合函数hx的图象，可知hx在区间1,e内有两个零点，

nn∴方程fxxngx在区间1,e内实根的个数为2.

21．已知各项均为整数的数列AN:a1,a2,i2,3,,aNN3,NN.满足a1aN0，且对任意

aN.

,N，都有|aiai1|≤1.记S(AN)a1a2（1）若a13，写出一个符合要求的A6； （2）证明：数列AN中存在ak使得ak0；

（3）若S(AN)是N的整数倍，证明：数列AN中存在ar使得S(AN)Nar. 【答案】（1）3,2,1,1,0,1(答案不唯一)；（2）证明见解析（3）证明见解析. 【分析】（1）根据条件写出A6，满足相邻项相差为0或1，a60即可；

（2）假设a10,aN0，把AN中的所有负数组成集合T，取T中最大值为am，可证明

am10，若a10,aN0，考虑数列BN:a1,a2,am10； （3）设tmt,aN，同上处理得am10，即

S(An)，则tZ.An中最大值为M0，最小值为m0，可得NaNM，设在数列AN中，aim，ajM，ji2，构造数列B：

a1a2Nait,ai1t,,ajt，则数列B至少有3项，利用（2）存在r，art0，art，若ij，

构造数列B：tai,tai1,,taj，同理得证． 【详解】解：（1）3,2,1,1,0,1.答案不唯一. （2）因为a1aN0，所以a1,aN异号. 假设a10,aN0.

设T{i|ai0,i{1,2,3,,N}}.因为a10，所以T.

又因为T是有限自然数集，所以可设T中的最大数为m，1mN1.. 令km1，则ak³0.

因为|akak1|akak11，所以ak1ak11am1. 因为0ak1，且ak为整数，所以ak0.

因此若数列AN:a1,a2,,aN(N3)满足a10,aN0，且对任意i2,3,,N，

都有|aiai1|≤1， 则存在ak使得ak0.

若a10,aN0，则数列a1,a2,,aN满足a10,aN0， 且对任意i2,3,,N，都有|(ai)(ai1)||aiai1|1， 故存在ak使得ak0，即存在ak使得ak0. 综上，数列AN中存在ak使得ak0. （3）设tS(An)，则tZ. N,aN中的最大值为M设数列AN:a1,a2,0，最小值为m0.

aNM.

因为NmS(AN)NM，所以mt设在数列AN中，aim，ajM.

a1a2N若ij，因为|aiaj|Mm1(1)2，所以ji2. 设数列B:ait,ai1t,,ajt，则数列B至少有3项. 因为(ait)(ajt)(mt)(Mt)0，且对任意k1,2,,ji， 都有|(aikt)(aik1t)||aikaik1|1，

所以由（2）可知存在art使得art0，r{i1,i2,,j1}.，即t若ij，设数列C:taj,taj1,,tai.

同理，存在tar使得tar0r{j1,j2,,i1}.，即tS(An)ar. NS(An)ar. N综上，若S(AN)是N的整数倍，则数列AN中存在ar使得S(AN)Nar.

【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是问题的转化，第（2）小题在负数向正数转化时中间一定会出现0，这里出现一个技巧，在正数向负数转化时（当然也会出现0），取相反数构成新数列，问题变为刚解决的问题，负数向正数转化．第（3）小题利用极端思想，取数列中的最大值M和最小值m，由最小值到最大值间的数列（原数列的一部分），构造数列{akt}（或{tak}）利用（2）的结论得证．