比的应用（一）
专题简析：
我们已经学过比的知识,都知道比和分数、除法其实是一回事,所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。
例题1。
24
甲数是乙数的 ,乙数是丙数的 ,甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
35【思路导航】甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5
甲、乙、丙三数的比 8：12：15
答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。 练习1
45
1、 甲数是乙数的 ,乙数是丙数的 ,甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
5844
2、 甲数是乙数的 ,甲数是丙数的 ,甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
5931
3、 甲数是丙数的 ,乙数是丙数的2 ,甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
72
例题2。
光明小学将五年级的140名学生,分成三个小组进行植树活动,已知第一小组和第二小组人数的比是2：3,第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各有多少人？ 【思路导航】先求出三个小组人数的连比,再按求出的连比进行分配。 ①一、二两组人数的比 2：3
二、三两组人数的比 4：5 一、二、三组人数的比 8：12：15 ②总份数：8+12+15＝35
8
③第一组：140× ＝32（人）
3512
④第二组：140× ＝48（人）
3515
⑤第三组：140× ＝60（人）
35
答：第一小组有32人,第二小组有48人,第三小组有60人。
练习2
1、 某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田,它们之间的比是7：2,棉田与其他作物面积
的比6：1。每种作物各是多少公亩？
2、 黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5：4,第二组与
第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？
3、 科技组与作文组人数的比是9：10,作文组与数学组人数的比是5：7。已知数学组与科
技组共有69人。数学组比作文组多多少人？
例题3。
甲、乙两校原有图书本数的比是7：5,如果甲校给乙校650本,甲、乙两校图书本数的比就是3：4。原来甲校有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知,原来甲校图书的本数是两校图书
73
总数的 ,由于甲校给了乙校650本,这时甲校的图书占两校图书总数的 ,
7+53+47313甲校给乙校的650本图书,相当于两校图书总数的 － ＝ 。
7+53+484
737
650÷（ － ）× ＝2450（本）
7+53+47+5
答：原来甲校有图书2450本。
练习3
1、 小明读一本书,已读的和未读的页数比是1：5。如果再读30页,则已读和未读的页数之
比为3：5。这本书共有多少页？
2、 甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后,甲、乙两包糖的重量比
为7：5。原来甲包有多少克糖？ 1
3、 五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的 ,二班与三班参
3
加比赛人数的比是11：13,二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？
例题4。
1
从前有个农民,临死前留下遗言,要把17头牛分给三个儿子,其中大儿子分得 ,二儿子分
211
得 ,小儿子分得 ,但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来39一位邻居顺利地把17头牛分完了,你知道这到底是怎么回事吗？
1111717【思路导航】因为 + + ＝ , ﹤1,就是说三兄弟并未将全部牛分完,所以我们求出三
2391818
个儿子分牛头数的连比,最后再按比例分配。
111
① 三个儿子分牛头数的连比： ： ： ＝9：6：2
239② 总份数：9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：
9
17× ＝9（头）
176
17× ＝6（头）
172
17× ＝2（头）
17
答：大儿子分得9头,二儿子分得6头,小儿子分得2头。 练习4
111
1、 图书室取出一批书,按照一年级得 ,二年级得 ,三年级得 ,正好是41本,各年级各得
237多少本？
2、 古罗马富豪约翰逊再临终前,对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个男孩,
就把遗产的三分之二给儿子,母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三分之一给女儿,三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎―― 一男一女,这是他没有预料到的。求出接近于遗嘱条件,把遗产分给三个继承人的比。 （1） 从儿子、母亲、女儿所得的比例来看,他们三人所得的遗产的比是（ ）：（ ）：（ ）。
1
（2） 从母亲至少得遗产的 来看,儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：（ ）。
31
3、 甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％,乙比丙多做 。三人各做多少个？
3
例题5。
两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1,另一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合,混合液中酒精与水的体积之比是多少？ 【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系,分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几再
解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比
33
＝
1+34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比
44 ＝ 1+45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 3431 + ＝
4520④ 水占一个瓶子容积的比
3192－ ＝ 2020⑤ 混合液中酒精与水的比 319
： ＝31：9
2020
答：混合液中酒精与水的比是31：9。
练习5
1、 两块一样重的合金,一块合金中铜与锌的比是2：5,另一块合金中铜与锌的比是1：3。
现将两块合金合成一块,求出锌合金中铜与锌的比。
2、 将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1,乙队已修
的与剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？ 5
3、 光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的 ,照这样的速度计算,全年可超产
8
1000台。这个工厂上半年生产电视机多少台？
答案：
练1
1、 4：5：8 2、 4：5：9 3、 6：35：14 练2
1、 棉田：粮田：其他＝21：6：1 21+6+1＝28
21
粮田：61600× ＝46200公亩
286
棉田：61600× ＝13200公亩
281
其他：61600× ＝2200公亩
28
2、 第一、二、三组人数的比是15：12：8
15÷（12+8－15）×（15+12+8）＝105人
3、 科技组、作文组、数学组的人数的比是9：10：14 69÷（9+14）×（14－10）＝12人 练3 1、 2、 3、 练4
111
1、 一、二、三年级的比是 ： ： ＝21：14：6
237 21+14+6＝41 21
一年级：41× ＝21本
4114
二年级：41× ＝14本
416
三年级：41× ＝6本
41
2、 （1）儿子：母亲＝2：1 母亲：女儿＝2：1,从儿子、母亲、女儿所得的比来看,三人所得遗产的比是4：2：1。
11
（2）对立遗嘱人的愿望可解释为：他要给母亲至少留下 遗产,因此母亲应得 ,余下
332
的 按4：1分给儿子和女儿,儿子、母亲、女儿所得的比是8：5：2。 33、 甲：900×30％＝270个 1+3＝4 乙：（900－270）×
4
＝360个 3+4
31
30÷（ － ）＝144页
3+51+5474
130÷（ － ）× ＝480克
4+17+54+1
11
8÷（13－11）×（11+13）÷（1－ ）× ＝48人
33
丙：900－270－360＝270个
练5
1、 把一块合金的质量看作“1”
2115
铜一共是 + ＝
5+21+3281541
锌一共是2－ ＝
2828
1541
新合金中铜与锌的比是 ： ＝15：41
28281215292、 × + × ＝
22+125+242
55
3、 1000÷（ ×2－1）× ＝2500台
88
第十五周 比的应用（二）
专题简析：
比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。
11
例题1 甲、乙两个学生放学回家,甲要比乙多走 的路,而乙走的时间比甲少 ,求甲、乙两
511人速度的比。
甲路程乙路程
【思路导航】因为 速度＝路程÷时间,所以,甲、乙速度的比＝ ：
甲时间乙时间1
（1）甲、乙路程的比：（1+ ）：1＝6：5
51
（2）甲、乙时间的比：1：（1－ ）＝11：10
1165
（3）甲、乙速度的比： ： =12：11
1110 答：甲、乙速度的比是12：11。 练习1
11
1、 小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多 ,小芳用的时间比小明多 。求小明
58
和小芳速度的比。27:20
11
2、 甲走的路程比乙多 ,乙用的时间比甲多 。求甲、乙的速度比。5:3
34
3、 一个人步行每小时走5千米,如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人骑自行
车的速度和步行速度的比是多少？3:1
例题2 制造一个零件,甲需6分钟,乙需5分钟,丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任务分配给他们三个人,要求在相同的时间内完成,每人应该分配到多少个零件？
【思路导航】先求出工作效率的比,然后根据同一时间内,工作总量的比等于工作效率的比进
行解答。
甲、乙、丙工作效率的比： 111
： ： ＝15：18：20
654.5 总份数：15+18+20＝53 15
甲 ：1590× ＝450（个）
5318
乙 ：1590× ＝540（个）
5320
丙 ：1590× ＝600（个）
53
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。 练习2
1、 加工一个零件,甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟。现在有1825个零件需要甲、乙、
丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务,那么各应加工多少个？700、600、525 2、 甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5分钟,比乙制造
2
一个零件所用的时间多25％,丙制造一个零件所用的时间比甲少 。甲、乙、丙各制造
5了多少个零件？240、300、400
3、 加工某种零件要三道工序,专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48
个,32个,28个,现有118名工人,要使每天三道工序完成的零件个数相同,每道工序应安排多少工人？28、42、48
例题3 两个服装厂一个月内生产服装的数量是6：5,两厂西服价格的比是11：10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？ 【思路导航】因为产值＝价格×产量,所以
甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量）：（乙价格×乙产量） 两厂的产值比为：（11×6）：（10×5）＝66：50
66
甲厂产值为：6960× ＝3960（元）
66+5050
乙厂产值为：6960× ＝3000（元）
66+50
答：两厂的产值分别是3960万元和3000万元。
练习3
1、 甲、乙两个长方形长的比是4：5,宽的比是3：2,面积的和是242平方厘米。求甲、乙
两个长方形的面积分别是多少平方厘米？132、110
2、 苹果和梨的单价的比是6：5,王大妈买的苹果和梨的重量的比是2：3,共花去18元。
王大妈买苹果和梨各花了多少元？8、10
3、 大、小两种苹果,其单价比是5：4,重量比是2：3。把两种苹果混合,成为100千克的混
合苹果,单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？5、4
▲例题4 A、B两种商品的价格比是7：3。如果它们的价格分别上涨70元,它们的价格比就是7：4,这两种商品原来的价格各是多少元？
【思路导航】
解法一：因为A、B两种商品涨价的数值相同,所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格
差不变,所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝7：3＝21：9 现价格比＝7：4＝28：16
【 这样前后项的差都是12,价格涨了（28－21）＝7份,是70元】 70÷（28－21）＝10元 A：10×21＝210（元） B：10×9＝90（元）
解法二：由于两种商品的价格差不变,选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。 （1）原来A商品的价格是价格差的几倍 7
7÷（7－3）＝
4
（2）后来A商品的价格是价格差的几倍 7
7÷（7－4）＝
3 （3）A、B两种商品的价格差是 77
70÷（ － ）＝120（元）
34
（4）原来A商品的价格是
120÷（7－3）×7＝210（元） （5） 原来B商品的价格是
120÷（7－3）×3＝90（元）
答：A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。 练习4
用两种思路解答下列应用题：
1、 甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3。甲队给乙队54吨水泥后,甲、乙两队水
泥重量的比是3：4。原来甲队有水泥多少吨？216 4
2、 甲书架上的书是乙书架上的 ,两书架上各增加154本后,甲书架上的书是乙书架上的
75
,甲、乙两书架上原来各有多少本书？56、98 6
▲兄弟两人,每年收入的比是4：3,每年支出的比是18：13。从年初到年底,他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？7200、5400
例题5 如图是甲、乙、丙三地的线路图,已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1：2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地,李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地,他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？
甲 丙 乙 【思路导航】
解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比,从而求出王刚和李华所用的时间,再求出各
自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比
12
： ＝5：4
410
王刚所用的时间
1÷（5－4）×5＝5（小时）
甲地到丙地的路程 4×5＝20（千米）
甲、乙两地的路程
20×（1+2）＝60（千米）
解法二：如果李华每小时行4×2＝8千米,他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时多行10
－8＝2千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内,李华比应行的路程多行了10×1＝10千米。据此,可求出王刚从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间
10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时） 甲、乙两地的路程
4×5×（1+2）＝60（千米） ▲解法三：如果王刚每小时行10÷2＝5千米,就能和李华同时到达。由此可见,王刚走完甲地
到丙地的路程,用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度相比,所用的时间相差
111
1小时。再根据1千米的路程,两种速度所用的时间相差 － ＝ 小时。最
4520
后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程
11
1÷（ － ）＝20（千米）
410÷2
甲、乙两地的路程
20×（1+2）＝60（千米）
答：甲、乙两地相距60千米。
练习5
1、 一辆汽车在甲、乙两站间行驶,往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽车去
时每小时行45千米,返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？72
▲甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时,甲、乙工作效率的比是6：5。甲、乙每5
小时各做多少个？乙：（3000× －2400）÷1＝100个、甲：120
6
2、 下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的比是
2：3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地,一辆客车同时以每小时50千米的速度从乙地开往丙地,客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的路程？500
甲 丙 乙 答案： 练1
1
1、 小明与小芳路程的比是（1+ ）：1＝6：5
5
1
小明与小芳时间的比是1：（1+ ）＝8：9
8
65
小明与小芳速度的比是： ： ＝27：20
891
2、 甲、乙路程的比是（1+ ）：1＝4：3
3
1
甲、乙时间的比是1：（1+ ）：1＝4：5
443
甲、 乙速度的比是 ： ＝5：3
45
3、 （1）骑自行车每行1千米用的时间为：60÷5－8＝4分钟
60
（2）骑车与步行的速度的比是 ：5＝3：1
4练2
111
1、 甲、乙、丙效率的比是 ： ： ＝28：25：21
33.54 总份数：28+25+21＝73
28
甲应加工的个数：1825× ＝700个
7325
乙应加工的个数：1825× ＝600个
7321
丙应加工的个数：1825× ＝525个
732、 （1）5÷（1+25％）＝4分钟
2
（2）5×（1－ ）＝3分钟
5111
（3） ： ： ＝12：15：20
543（4）12+15+20＝47 12
（5）甲：940× ＝240个
4715
乙：940× ＝300个
4720
丙：940× ＝400个
47111
3、 （1） ： ： ＝14：21：24
483228（2）14+21+24＝59
14
（3）第一道工序：118× ＝28名
5921
第二道工序：118× ＝42名
5924
第三道工序：118× ＝48名
59
练3
1、 （1）甲、乙两个长方形面积的比是：（4×3）：（5×2）＝6：5
（2）甲、乙两个长方形的面积分别是：
6
甲：242× ＝132平方厘米
6+55
乙：242× ＝110平方厘米
6+5
2、 苹果与梨的总价比为： （6×2）：（5×3）＝4：5 4 苹果：18× ＝8元
4+55
梨 ：18× ＝10元
4+5
3、 两样苹果的总价：4.4×100＝440元 两种苹果总价的比：（5×2）：（4×3）＝5：6
5
大苹果的总价：440× ＝200元
5+62
大苹果的重量：100× ＝40千克
2+3大苹果的单价：200÷40＝5元 小苹果的单价：5÷5×4＝4元 练4
1、 解法一：54÷（4－3）×4＝216吨
解法二：54÷（
434 － ）× ＝216吨 4+34+34+3
2、 解法一：甲、乙原来的比是4：7
甲、乙后来的比是5：6＝15：18
甲书架上原有的书：154÷（15－4）×4＝56本 乙书架上原有的书：154÷（18－7）×7＝98本
解法二：由于甲、乙两个书架上本数的差没有变,因此,以甲、乙两个书架上本书的差为单位“1”来考虑。
甲、乙两个书架上相差的本数
54
154÷（ － ）＝42本
6－57－4
原来甲、乙两个书架上的本数 甲：42÷（7－4）×4＝56本 乙：42÷（7－4）×7＝98本
3、 解法一：兄、弟二人收入的是4：3＝20：15 兄、弟二人支出的比是18：13
兄一年的收入是720÷（20－18）×20＝7200元 弟一年的收入是720÷（15－13）×15＝5400元 解法二：兄弟二人的收入相差
418
720÷（ － ）＝1800元
4－318－13兄、弟每年的收入各是：
兄：1800÷（4－3）×4＝7200元
弟：1800÷（4－3）×3＝5400元 练5
11
1、 解法一：4÷（ + ）＝72千米
4530
30
解法二：45×（4× ）＝72千米
45+305
2、 乙：（3000× －2400）÷1＝100个
6
6
甲：100× ＝120个
53、 （1）乙地到丙地的路程
11
1÷（ － ）＝300千米
5040÷2×3 （2）甲、乙两地之间的路程 2
300×（1+ ）＝500千米
3
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