高等几何习题

一、填空题

1．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、 、 、 等四个方面组成的。

2．绝对几何学的公理体系是由四组， ， 条公理构成的。

3．罗巴切夫斯基函数(x)当平行矩x 时，其对应的平行角连续递减。 4．斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是 。 5．两个射影点列成透视对应的充要条件是 。 6．欧氏平面上添加了 后，成为仿射平面。

7．共线4点A,B,C,D，若满足 ，则称点对A,B与点对C,D互成调和共轭。 8．平面内两点I(1,i,0),J(1,i,0)称为平面内的 。

9．罗巴切夫斯基函数(x)当平行矩x连续递增时，其对应的平行角 。 10．球面三角形的三角和常小于 而大于 。球面三角形中两角和减去第三角常小于 。

11．射影变换T是对合的充要条件是 。 12．共线4点A,B,C,D，若满足(AB,CD)1，则称点对A,B与点对C,D互成 。 13．平面内两点 、 称为平面内的圆点。 14．几何学公理法从开始到形成，大体经历了 阶段。 15．《几何原本》被认为是用 建立的几何学。

16．欧几里得第五公设叙述为： 17．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 。 18．罗巴切夫斯基平面几何的平行公理叙述为 19．罗氏平面上三角形内角和 二直角。

20．布里安香定理叙述为 。 21．欧氏直线上添加了 后，成为仿射直线。

22．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是 。 23．通过圆点的任意虚直线称为 。 24．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是 . 25． 叫做对偶运算。

26．在欧氏平面上萨开里四边形是矩形，而在罗氏平面上，萨开里四边形 . 27．笛沙格定理叙述为 28．不共底又非透视对应的二射影点列恒可表示成 个透视对应的积。 29．二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是 .

30．巴斯加定理叙述为 31．《 》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得。 二、计算题

1．求4点（AB，CD）的交比，其中A(2,1,1), B(1,1,1),C(1,0,0),D(1,5,5)。

2．求射影对应式，使直线L上的坐标是1，2，3的三点对应直线L上的坐标为1,2,3 的三点。

23．求点P(1,2,1)关于二阶曲线2X14X1X26X1X3X30的极线方程。

24．求过点(1,i,0)上的实直线。

5．求重叠一维基本形的射影变换660自对应元素的参数。 6．求由两对对应元素1与

1，0与2所决定的对合方程。 27．求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点2u13u2u30 的直线的坐标。

228．求点P(5,2,7)关于二阶曲线2X13X2X36X1X22X1X34X1X30的极线

2方程。

9．求4直线(l1l2,l3l4)的交比，其中l1,l2,l3,l4分别为 xy0,2xy0,xy0,3xy0.

10．求射影对应式，使直线L上的坐标是0,1,3的三点对应直线L上的坐标为0,2,6的三点。

11．求直线x1x24x30上无穷远点的齐次坐标。 12．设点A(1,1,1),B(1,1,1),C(1,0,1),(AB,CD)2，求点D的坐标。

13．求连接(1i,2i,1)与(1i,2i,1)的直线方程。

14．求射影对应式，使直线L上的坐标是0,2,1的三点对应直线L上的坐标为1,3,0的

三点。

215．求点P(2,1,1)关于二阶曲线4X13X1X2X20的极线方程。

2三、证明题

21．求证：u13u1u2u20决定的点在相互垂直的两条直线上。

22．已知共面三点形ABC与ABC是透视的，求证六直线AB,AC,BC,BA,CA,CB属于同一个二级曲线。

3．设四点P1(3,1),P2(7,5),Q1(6,4),Q2(9,7)，求证：(P1P2,Q1Q2)1。

4．设A,B在二阶曲线c上，C,D不在c上，AC,BD分别交c于P,Q；AD,BC分别交c 于U,V。求证：CD,PQ,UV共点。

5．直线AB和CD交于U，AC和BD交于V，U、V分别交AD、BC于F、G，BF 交AC于L。求证：LG、CF、AU交于一点。 6．设直线OX与三点形ABC三边BC,CA,AB分别交于A,B,C，证明：

O(AB,CX)(AB,CO)

7．设三点形ABC与A'B'C'是透视的，BC'与B'C，CA'与C'A，AB'与A'B分别交于

L,M,N。证明BC,B'C',MN三线共点。

四、综合题

1．作已知点P关于二阶曲线C的极线。 P

2．作出下图的对偶图形。

3．作出下图的对偶图形。

C 4．作图证明：给定直线p上四个不同点A,B,C,D，建立一个射影对应使得

p(A,B,C,D)p(C,D,A,B)

5．已知P点在二阶曲线上，求作点P的极线。